【331229】22．2　相似三角形的判定(第3课时)

第3课时　相似三角形的判定(3)

【学习目标】

1．经历三角形相似的判定定理2的探索及证明．

2．能应用判定定理2判定两个三角形相似解决相关问题．

【学习重点】

三角形相似的判定定理2及应用．

【学习难点】

三角形相似的判定定理2的证明．

旧知回顾：

1．相似三角形的定义是什么？

三边成比例，三角分别相等的两个三角形相似．

2．判定两个三角形相似，你有哪些方法？

方法1：通过定义(不常用)；方法2：通过平行线(条件特殊，使用起来有局限性)；方法3：判定定理1，两角分别相等的两个三角形相似(不需要边的条件、使用灵活)．

基础知识梳理

阅读教材P₇₉页的内容，回答以下问题：

三角形相似的判定定理2是什么？如何证明？

如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．(简称：两边成比例且夹角相等的两三角形相似．)

探究：已知，如图，在△A′B′C′和△ABC中，∠A′＝∠A，＝.求证：△A′B′C′∽△ABC.

证明：在△ABC的边AB上，截取AD＝A′B′，过点D作BC的平行线DE交AC于E，则∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC.∵＝，AD＝A′B′，∴＝.∵＝，∴＝，A′C′＝AE.∵∠A＝∠A′，∴△ADE≌△A′B′C′(SAS)，∴△A′B′C′∽△ABC.

你还有其他方法来证明吗？

例：如图所示，＝＝，则下列结论不成立的是(　D　)

A．△ABD∽△ACE　　　　　　B．△BOE∽△COD

C．∠B＝∠C D．BE∶CD＝3∶2

例1：如图所示，△ABD∽△ACE.求证：△ADE∽△ABC.

证明：∵△ABD∽△ACE，∴＝，∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE.

例2：如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AB＝2，CD＝3，BC＝7，在BC上找一点P，使以A、B、P为顶点的三角形和△CDP相似，并求BP的长．

解：若∠B＝∠C，则可分＝或＝两种情况．∴设BP＝x，PC＝7－x，得＝或＝，解得x＝，解得x＝1或6.∴BP的长为1或6或.

例3：如图，已知正方形ABCD中，P是BC上一点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP.

【分析】欲证△ADQ∽△QCP，通过观察发现两个三角形已经具备一角对应相等，即∠D＝∠C，此时，可再寻求此对等角的两对邻边对应成比例．

证明：设正方形的边长为a.∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝BC＝CD＝a.∵Q是CD的中点，∴DQ＝QC＝a.∵BP＝3PC，∴PC＝a，∴＝＝，＝＝，∴＝.又∵∠D＝∠C＝90°，∴△ADQ∽△QCP.

基础知识训练

1．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D在AC上，且AD＝2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与△ABC相似，则AE＝1.5或．

(第1题图) (第2题图)

2．如图，∠1＝∠2，添加一个条件＝，使得△ADE∽△ABC.

3．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠ABD＝∠ACD，试找出图中的相似三角形，△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC．

本课内容反思

1．收获：________________________________________________________________________

2．困惑：________________________________________________________________________