【331228】22．2　相似三角形的判定(第2课时)

第2课时　相似三角形的判定(2)

【学习目标】

1．经历三角形相似的判定定理1的探索及证明过程．

2．能应用定理1判定两个三角形相似，解决相关问题．

【学习重点】

三角形相似的判定定理1及应用．

【学习难点】

三角形相似的判定定理1的证明．

旧知回顾：

1．全等三角形的判定方法有哪几种？

解：SSS、SAS、ASA、AAS、(HL)一共五种．

2．如何判定两个三角形相似？

解：需证明对应角相等，对应边成比例．

3．△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，剪个△ABC，将∠A和∠A′两边重合，顶点A，A′重合，你有什么结论？

解：两个三角形相似，因为BC∥B′C′.

基础知识梳理

阅读教材P₇₈页的内容，回答以下问题：

相似三角形的判定定理1是什么？如何推导？

相似三角形判定定理1：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．(简称：两角分别相等的两个三角形相似)．

探究：已知：如图在△A′B′C′和△ABC中，∠A′＝∠A，∠B′＝∠B.求证：△A′B′C′∽△ABC.

证明：在△ABC的AB上截BD＝B′A′，过D作DE∥AC，交BC于E.∴△ABC∽△DBE.∵∠BDE＝∠A，∠A＝∠A′，∴∠BDE＝∠A′.∵∠B＝∠B′，BD＝B′A′，∴△DBE≌△B′A′C′.∴△ABC∽△A′B′C′.

例：判断题

(1)有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似．(　√　)

(2)所有的直角三角形都相似．(　×　)

(3)有一个角相等的两个等腰三角形相似．(　×　)

(4)顶角相等的两个等腰三角形相似．(　√　)

例1：如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上，AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽△EGC∽△EAB．

例2：已知：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，垂足分别为点B、点D，C在线段BD上，AC⊥CE.求证：AB·DE＝BC·CD.

【分析】欲证AB·DE＝BC·CD，可证＝，则证明△ABC∽△CDE即可，由题意可知∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠A＝90°，则∠2＝∠A.于是Rt△ABC∽Rt△CDE.

证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，∴∠B＝∠D＝90°，又∠1＋∠A＝90°，∠1＋∠2＝90°，∴∠A＝∠2，∴△ABC∽△CDE，∴＝，即AB·DE＝BC·CD.　　

例3：如图所示，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ACD＝∠ABC，求证：AC²＝AB·AD.

证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，又∵∠ACD＝∠ABC，∴△ADC∽△ACB，∴＝，∴AC²＝AB·AD.

基础知识训练

1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB于点E，BD＝10，AC＝BC，DE＝6．

(第1题图) (第2题图)

2．如图，等边三角形ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，当∠APD＝60°时，CD的长为．

3．如图，已知∠1＝∠2＝∠3，求证：△ABC∽△ADE.

证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAC＝∠3＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE.∵∠2＝∠3，∠AFE＝∠DFC，∴180°－∠2－∠DFC＝180°－∠3－∠AFE，即∠E＝∠C，∴△ABC∽△ADE.

本课内容反思

1．收获：________________________________________________________________________

2．困惑：________________________________________________________________________