【323461】2023九年级数学上册 第二章 一元二次方程单元达标测（新版）北师大版

一元二次方程

　

一、精心选一选：

1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　）

A．ax²+bx+c=0 B．x²+2x=x²﹣1 C．3（x+1）²=2（x+1） D． + ﹣2=0

2．用配方法解方程：x²﹣4x+2=0，下列配方正确的是（　　）

A．（x﹣2）²=2 B．（x+2）²=2 C．（x﹣2）²=﹣2 D．（x﹣2）²=6

3．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（　　）

A．36（1﹣x）²=36﹣25 B．36（1﹣2x）=25 C．36（1﹣x）²=25 D．36（1﹣x²）=25

4．若关于x的一元二次方程x²+（k+3）x+k=0的一个根是﹣2，则另一个根是（　　）

A．2 B．1 C．﹣1 D．0

5．若b（b≠0）是方程x²+cx+b=0的根，则b+c的值为（　　）

A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2

6．关于x的方程（a﹣5）x²﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（　　）

A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5

7．已知关于x的方程x²﹣（2k﹣1）x+k²=0有两个不相等的实数根，那么k的最大整数值是（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1

8．若方程x²+mx+1=0和方程x²﹣x﹣m=0有一个相同的实数根，则m的值为（　　）

A．2 B．0 C．﹣1 D．无法确定

9．用13m的铁丝网围成一个长边靠墙面积为20m²的长方形，求这个长方形的长和宽，设平行于墙的一边为xm，可得方程（　　）

A．x（13﹣x）=20 B． C． D．

10．如图，菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程x²+（2m﹣1）x+m²+3=0的根，则m的值为（　　）

A．﹣3 B．5 C．5或﹣3 D．﹣5或3

　

二、细心填一填：

11．一元二次方程3x（x﹣2）=﹣4的一般形式是______，该方程根的情况是______．

12．方程2﹣x²=0的解是______．

13．配方x²﹣8x+______=（x﹣______）²．

14．设a，b是方程x²+x﹣2013=0的两个不相等的实数根，则a²+2a+b的值为______．

15．若一个三角形的三边长均满足方程x²﹣6x+8=0，则此三角形的周长为______．

16．科学研究表明，当人的下肢长与身高之比为0.618时，看起来最美．某成年女士身高为153cm，下肢长为92cm，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为______cm．（精确到0.1cm）

　

三、耐心答一答：

17．用指定的方法解方程

（1）（x+2）²﹣25=0（直接开平方法）

（2）x²+4x﹣5=0（配方法）

（3）（x+2）²﹣10（x+2）+25=0（因式分解法）

（4）2x²﹣7x+3=0（公式法）

18．当x取什么值时，代数式 x（x﹣1）与 （x﹣2）+1的值相等？

19．已知关于x的一元二次方程5x²+kx﹣10=0一个根是﹣5，求k的值及方程的另一个根．

20．在高尔夫球比赛中，某运动员打出的球在空中飞行高度h（m） 与打出后飞行的时间t（s）之间的关系是h=7t﹣t²．

（1）经过多少秒钟，球飞出的高度为10m；

（2）经过多少秒钟，球又落到地面．

21．阅读下面的例题：

解方程：x²﹣|x|﹣2=0

解：（1）当x≥0时，原方程化为x²﹣x﹣2=0，解得：x₁=2，x₂=﹣1（不合题意，舍去）．

（2）当x＜0时，原方程化为x²+x﹣2=0，解得：x₁=1（不合题意，舍去），x₂=﹣2

∴原方程的根是x₁=2，x₂=﹣2．

请参照例题解方程x²﹣|x﹣3|﹣3=0，则此方程的根是______．

22．已知关于x的方程x²﹣2（m+1）x+m²=0

（1）当m取值范围是多少时，方程有两个实数根；

（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．

23．已知a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对的边，且关于x的方程（c﹣b）x²+2（b﹣a）x+（a﹣b）=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．

24．在我校的周末广场文艺演出活动中，舞台上有一幅矩形地毯，它的四周镶有宽度相同的花边（如图）．地毯中央的矩形图案长8米、宽6米，整个地毯的面积是80平方米．求花边的宽．

25．某电脑销售商试销某一品牌电脑（出厂为3000元/台）以4000元/台销售时，平均每月可销售100台，现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来1月份平均销售量的基础上，经2月份的市场调查，3月份调整价格后，月销售额达到576000元．已知电脑价格每台下降100元，月销售量将上升10台．

（1）求1月份到3月份销售额的月平均增长率；

（2）求3月份时该电脑的销售价格．

26．某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售．这批干果销售结束后，店主从销售统计中发现：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第x天的总销量y₁（千克）与x的关系为y₁=﹣x²+40x；乙级干果从开始销售至销售的第t天的总销量y₂（千克）与t的关系为y₂=at²+bt，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：

t	1	2	3
y2	21	44	69

（1）求a、b的值；

（2）若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克和6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的毛利润是多少元？

（3）问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克？

（说明：毛利润=销售总金额﹣进货总金额．这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计）

　

《一元二次方程》

参考答案与试题解析

　

一、精心选一选：

1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　）

A．ax²+bx+c=0 B．x²+2x=x²﹣1 C．3（x+1）²=2（x+1） D． + ﹣2=0

【解答】解：A、a=0时，不是一元二次方程，错误；

B、原式可化为2x+1=0，是一元一次方程，错误；

C、原式可化为3x²+4x+1=0，符合一元二次方程的定义，正确；

D、是分式方程，错误．

故选C．

　

2．用配方法解方程：x²﹣4x+2=0，下列配方正确的是（　　）

A．（x﹣2）²=2 B．（x+2）²=2 C．（x﹣2）²=﹣2 D．（x﹣2）²=6

【解答】解：把方程x²﹣4x+2=0的常数项移到等号的右边，得到x²﹣4x=﹣2，

方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x²﹣4x+4=﹣2+4，

配方得（x﹣2）²=2．

故选：A．

　

3．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（　　）

A．36（1﹣x）²=36﹣25 B．36（1﹣2x）=25 C．36（1﹣x）²=25 D．36（1﹣x²）=25

【解答】解：第一次降价后的价格为36×（1﹣x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，

为36×（1﹣x）×（1﹣x），

则列出的方程是36×（1﹣x）²=25．

故选：C．

　

4．若关于x的一元二次方程x²+（k+3）x+k=0的一个根是﹣2，则另一个根是（　　）

A．2 B．1 C．﹣1 D．0

【解答】解：设方程的另一个根是x，

依题意得 ，

解之得x=1，

即方程的另一个根是1．

故选B．

　

5．若b（b≠0）是方程x²+cx+b=0的根，则b+c的值为（　　）

A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2

【解答】解：把x=b代入方程x²+cx+b=0得到：b²+bc+b=0即b（b+c+1）=0，又∵b≠0，∴b+c=﹣1，

故本题选B．

　

6．关于x的方程（a﹣5）x²﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（　　）

A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5

【解答】解：分类讨论：

①当a﹣5=0即a=5时，方程变为﹣4x﹣1=0，此时方程一定有实数根；

②当a﹣5≠0即a≠5时，

∵关于x的方程（a﹣5）x²﹣4x﹣1=0有实数根

∴16+4（a﹣5）≥0，

∴a≥1．

∴a的取值范围为a≥1．

故选：A．

　

7．已知关于x的方程x²﹣（2k﹣1）x+k²=0有两个不相等的实数根，那么k的最大整数值是（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1

【解答】解：∵a=1，b=﹣（2k﹣1），c=k²，方程有两个不相等的实数根

∴△=b²﹣4ac=（2k﹣1）²﹣4k²=1﹣4k＞0

∴k＜

∴k的最大整数为0．

故选C．

　

8．若方程x²+mx+1=0和方程x²﹣x﹣m=0有一个相同的实数根，则m的值为（　　）

A．2 B．0 C．﹣1 D．无法确定

【解答】解：由方程x²+mx+1=0得x²=﹣mx﹣1，由方程x²﹣x﹣m=0得x²=x+m．

则有﹣mx﹣1=x+m，即x=﹣1．

把x=﹣1代入方程x²+mx+1=0，

得方程1﹣m+1=0，从而解得m=2．

故选A．

　

9．用13m的铁丝网围成一个长边靠墙面积为20m²的长方形，求这个长方形的长和宽，设平行于墙的一边为xm，可得方程（　　）

A．x（13﹣x）=20 B． C． D．

【解答】解：平行于墙的一边为xm，那么垂直于墙的有2个边，等于（铁丝长﹣x）÷2，

∴ ．

故选B．

　

10．如图，菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程x²+（2m﹣1）x+m²+3=0的根，则m的值为（　　）

A．﹣3 B．5 C．5或﹣3 D．﹣5或3

【解答】解：由勾股定理可得：AO²+BO²=25，

又有根与系数的关系可得：AO+BO=﹣2m+1，AO•BO=m²+3

∴AO²+BO²=（AO+BO）²﹣2AO•BO=（﹣2m+1）²﹣2（m²+3）=25，

整理得：m²﹣2m﹣15=0，

解得：m=﹣3或5．

又∵△＞0，

∴（2m﹣1）²﹣4（m²+3）＞0，解得m＜﹣ ，

∴m=﹣3，

故本题选A．

　

二、细心填一填：

11．一元二次方程3x（x﹣2）=﹣4的一般形式是　3x²﹣6x+4=0　，该方程根的情况是　无实数根　．

【解答】解：3x（x﹣2）=﹣4，

3x²﹣6x+4=0，

∵△=（﹣6）²﹣4×3×4=﹣12＜0，

∴无实数根．

故答案为：3x²﹣6x+4=0；无实数根．

　

12．方程2﹣x²=0的解是　 　．

【解答】解：移项，得x²=2

开方，得x=± ．

　

13．配方x²﹣8x+　16　=（x﹣　4　）²．

【解答】解：∵所给代数式的二次项系数为1，一次项系数为﹣8，等号右边正好是一个完全平方式，

∴常数项为（﹣8÷2）²=16，

∴x²﹣8x+16=（x﹣4）²．

故答案为16；4．

　

14．设a，b是方程x²+x﹣2013=0的两个不相等的实数根，则a²+2a+b的值为　2012　．

【解答】解：∵a，b是方程x²+x﹣2013=0的两个不相等的实数根，

∴a²+a﹣2013=0，

∴a²+a=2013，

又∵a+b=﹣ =﹣1，

∴a²+2a+b=（a²+a）+（a+b）=2013﹣1=2012．

故答案为：2012．

　

15．若一个三角形的三边长均满足方程x²﹣6x+8=0，则此三角形的周长为　6，10，12　．

【解答】解：解方程x²﹣6x+8=0得x₁=4，x₂=2；

当4为腰，2为底时，4﹣2＜4＜4+2，能构成等腰三角形，周长为4+2+4=10；

当2为腰，4为底时4﹣2=2＜4+2不能构成三角形，

当等腰三角形的三边分别都为4，或者都为2时，构成等边三角形，周长分别为6，12，故△ABC的周长是6或10或12．

　

16．科学研究表明，当人的下肢长与身高之比为0.618时，看起来最美．某成年女士身高为153cm，下肢长为92cm，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为　6.7　cm．（精确到0.1cm）

【解答】答：设高跟鞋鞋跟的高度为x，

根据题意列方程得：（92+x）÷（153+x）≈0.618，

解得x≈6.69，精确到0.1cm为，6.7cm．

　

三、耐心答一答：

17．用指定的方法解方程

（1）（x+2）²﹣25=0（直接开平方法）

（2）x²+4x﹣5=0（配方法）

（3）（x+2）²﹣10（x+2）+25=0（因式分解法）

（4）2x²﹣7x+3=0（公式法）

【解答】解：（1）（x+2）²﹣25=0（直接开平方法）

x+2=±5

∴x₁=3，x₂=﹣7．

（2）x²+4x﹣5=0（配方法）

（x+2）²=9

x+2=±3

∴x₁=﹣5，x₂=1；

（3）（x+2）²﹣10（x+2）+25=0（因式分解法）

（x+2﹣5）（x+2﹣5）=0

∴x₁=x₂=3；

（4）2x²﹣7x+3=0（公式法）

x=

x₁=3，x₂= ．

　

18．当x取什么值时，代数式 x（x﹣1）与 （x﹣2）+1的值相等？

【解答】解：根据题意得：

x（x﹣1）= （x﹣2）+1，

3x（x﹣1）=2（x﹣2）+6，

3x²﹣3x=2x﹣4+6，

3x²﹣3x﹣2x+4﹣6=0，

3x²﹣5x﹣2=0，

（3x+1）（x﹣2）=0，

3x+1=0或x﹣2=0，

x₁=﹣ ，x₂=2．

　

19．已知关于x的一元二次方程5x²+kx﹣10=0一个根是﹣5，求k的值及方程的另一个根．

【解答】解：根据二次方程根与系数的关系，可得x₁•x₂=﹣2，x₁+x₂=﹣ ，

而已知其中一根为﹣5，有（﹣5）•x₂=﹣2，可得x₂= ，

又有x₁+x₂=﹣ ，解可得k=23；

答：k=23，另一根为 ．

　

20．在高尔夫球比赛中，某运动员打出的球在空中飞行高度h（m） 与打出后飞行的时间t（s）之间的关系是h=7t﹣t²．

（1）经过多少秒钟，球飞出的高度为10m；

（2）经过多少秒钟，球又落到地面．

【解答】解：（1）把h=10代入函数解析式h=7t﹣t²得，

7t﹣t²=10，

解得t₁=2，t₂=5，

答：经过2秒或5秒，球飞出的高度为10m；

（2）把h=0代入函数解析式h=7t﹣t²得，

7t﹣t²=0，

解得t₁=0（为球开始飞出时间），t₂=7（球又落到地面经过的时间），

答：经过7秒钟，球又落到地面．

　

21．阅读下面的例题：

解方程：x²﹣|x|﹣2=0

解：（1）当x≥0时，原方程化为x²﹣x﹣2=0，解得：x₁=2，x₂=﹣1（不合题意，舍去）．

（2）当x＜0时，原方程化为x²+x﹣2=0，解得：x₁=1（不合题意，舍去），x₂=﹣2

∴原方程的根是x₁=2，x₂=﹣2．

请参照例题解方程x²﹣|x﹣3|﹣3=0，则此方程的根是　x₁=﹣3，x₂=2　．

【解答】解：（1）当x≥3时，原方程化为x²﹣（x﹣3）﹣3=0，

即x²﹣x=0

解得x₁=0（不合题意，舍去），x₂=1（不合题意，舍去）；

（2）当x＜3时，原方程化为x²+x﹣3﹣3=0

即x²+x﹣6=0，

解得x₁=﹣3，x₂=2．

所以原方程的根是x₁=﹣3，x₂=2．

　

22．已知关于x的方程x²﹣2（m+1）x+m²=0

（1）当m取值范围是多少时，方程有两个实数根；

（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．

【解答】解：（1）由题意知：△=b²﹣4ac=[﹣2（m+1）]²﹣4m²=[﹣2（m+1）+2m][﹣2（m+1）﹣2m]=﹣2（﹣4m﹣2）=8m+4≥0，

解得m≥ ．

∴当m≥ 时，方程有两个实数根．

（2）选取m=0．（答案不唯一，注意开放性）

方程为x²﹣2x=0，

解得x₁=0，x₂=2．

　

23．已知a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对的边，且关于x的方程（c﹣b）x²+2（b﹣a）x+（a﹣b）=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．

【解答】解：∵x的方程（c﹣b）x²+2（b﹣a）x+（a﹣b）=0有两个相等的实数根，

∴△=b²﹣4ac=0，且c﹣b≠0，即c≠b．

∴4（b﹣a）²﹣4（c﹣b）（a﹣b）=0，

则4（b﹣a）（b﹣a+c﹣b）=0，

∴（b﹣a）（c﹣a）=0，

∴b﹣a=0或c﹣a=0，

∴b=a，或c=a．

∴此三角形为等腰三角形．

　

24．在我校的周末广场文艺演出活动中，舞台上有一幅矩形地毯，它的四周镶有宽度相同的花边（如图）．地毯中央的矩形图案长8米、宽6米，整个地毯的面积是80平方米．求花边的宽．

【解答】解：设花边的宽为x米，

根据题意得（2x+8）（2x+6）=80，

解得x₁=1，x₂=﹣8，

x₂=﹣8不合题意，舍去．

答：花边的宽为1米．

　

25．某电脑销售商试销某一品牌电脑（出厂为3000元/台）以4000元/台销售时，平均每月可销售100台，现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来1月份平均销售量的基础上，经2月份的市场调查，3月份调整价格后，月销售额达到576000元．已知电脑价格每台下降100元，月销售量将上升10台．

（1）求1月份到3月份销售额的月平均增长率；

（2）求3月份时该电脑的销售价格．

【解答】解：（1）设1月份到3月份销售额的月平均增长率为x，

由题意得：400000（1+x）²=576000，

1+x=±1.2，x₁=0.2，x₂=﹣2.2（舍去）

∴1月份到3月份销售额的月平均增长率为20%；

（2）设3月份电脑的销售价格在每台4000元的基础上下降y元，

由题意得：（4000﹣y）（100+0.1y）=576000，

y²﹣3000y+1760000=0，（y﹣800）（y﹣2200）=0，

∴y=800或y=2200，

当y=2200时，3月份该电脑的销售价格为4000﹣2200=1800＜3000不合题意舍去．

∴y=800，3月份该电脑的销售价格为4000﹣800=3200元．

∴3月份时该电脑的销售价格为3200元．

　

26．某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售．这批干果销售结束后，店主从销售统计中发现：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第x天的总销量y₁（千克）与x的关系为y₁=﹣x²+40x；乙级干果从开始销售至销售的第t天的总销量y₂（千克）与t的关系为y₂=at²+bt，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：

t	1	2	3
y2	21	44	69

（1）求a、b的值；

（2）若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克和6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的毛利润是多少元？

（3）问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克？

（说明：毛利润=销售总金额﹣进货总金额．这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计）

【解答】解：（1）根据表中的数据可得

．

答：a、b的值分别是1、20；

（2）甲级干果和乙级干果n天售完这批货．

﹣n²+40n+n²+20n=1140

n=19，

当n=19时，y₁=399，y₂=741，

毛利润=399×8+741×6﹣1140×6=798（元），

答：卖完这批干果获得的毛利润是798元．

（3）设从第m天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克，则甲、乙级干果的销售量为m天的销售量减去m﹣1天的销售量，

即甲级水果第m天所卖出的干果数量：（﹣m²+40m）﹣[﹣（m﹣1）²+40（m﹣1）]=﹣2m+41．

乙级水果第m天所卖出的干果数量：（m²+20m）﹣[（m﹣1）²+20（m﹣1）]=2m+19，

（2m+19）﹣（﹣2m+41）≥6，

解得：m≥7，

答：第7天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克．