【323421】2023九年级数学上册 第3章 图形的相似3.4.1 相似三角形的判定练习（新版）湘教

《3.4.1 相似三角形的判定》

　

一、填空题

1．　　三角形一边的　　和其他两边　　，所构成的三角形与原三角形相似．

2．如果两个三角形的　　对应边的　　，那么这两个三角形相似．

3．如果两个三角形的　　对应边的比相等，并且　　相等，那么这两个三角形相似．

4．如果一个三角形的　　角与另一个三角形的　　，那么这两个三角形相似．

5．在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=56°，∠B=28°，∠A′=56°，∠C′=28°，那么这两个三角形能否相似的结论是　　，理由是　　．

6．在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=48°，∠C=102°，∠A′=48°，∠B′=30°，那么这两个三角形能否相似的结论是　　，理由是　　．

7．在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=34°，AC=5cm，AB=4cm，∠A′=34°，A′C′=2cm，A′B′=1.6cm，那么这两个三角形能否相似的结论是　　，理由是　　．

8．在△ABC和△DEF中，如果AB=4，BC=3，AC=6，DE=2.4，EF=1.2，FD=1.6．那么这两个三角形能否相似的结论是　　，理由是　　．

9．如图，△ABC的两条高AD、BE交于点H，则图中的相似三角形共有　　对．

10．如图所示，▱ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，此图中的相似三角形共有　　对．

　

二、选择题

11．如图，不能判定△ABC∽△DAC的条件是（　　）

A．∠B=∠DAC B．∠BAC=∠ADC C．AC²=DC•BC D．AD²=BD•BC

12．如图，在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是（　　）

A．5 B．8.2 C．6.4 D．1.8

13．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（　　）

A． B． C． D．

　

三、解答题

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．

（1）图中有哪两个三角形相似？

（2）求证：AC²=AD•AB；BC²=BD•BA；CD²=AD•BD；

（3）若AD=2，DB=8，求AC，BC，CD的长；

（4）若AC=6，DB=9，求AD，CD，BC的长；

（5）求证：AC•BC=AB•CD．

15．如图所示，如果D、E、F分别在OA、OB、OC上，且DF∥AC，EF∥BC．求证：

（1）OD：OA=OE：OB；

（2）△ODE∽△OAB；

（3）△ABC∽△DEF．

16．如图，已知AB∥CD，AD，BC相交于E，F为EC上一点，且∠EAF=∠C．

求证：（1）∠EAF=∠B；（2）AF²=FE•FB．

17．已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，以AD为直径的半圆与BC相切于E点．求证：AB•CD=BE•EC．

18．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为点B，点D是⊙O上的一点，且AD∥OC．求证：AD•BC=OB•BD．

19．已知：如图，在⊙O中，CD过圆心O，且CD⊥AB，垂足为D，过点C任作一弦CF交⊙O于F，交AB于E．求证：CB²=CF•CE．

20．已知D是BC边延长线上的一点，BC=3CD，DF交AC边于E点，且AE=2EC，试求AF与FB的比．

21．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AH⊥BC于H，以AB和AC为边在Rt△ABC外作等边△ABD和△ACE，试判断△BDH与△AEH是否相似，并说明理由．

22．如图，在△ABC中，∠C=90°，P为AB上一点，且点P不与点A重合，过点P作PE⊥AB交AC边于E点，点E不与点C重合，若AB=10，AC=8，设AP的长为x，四边形PECB的周长为y，求y与x之间的函数关系式．

　

《3.4.1 相似三角形的判定》

参考答案与试题解析

　

一、填空题

1．　平行于　三角形一边的　直线　和其他两边　相交　，所构成的三角形与原三角形相似．

【考点】相似三角形的判定．

【分析】平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所得的三角形与原三角形的三边对应成比例．所以所构成的三角形与原三角形相似．

【解答】解：平行于三角形一边的 直线和其他两边 相交，所构成的三角形与原三角形相似．

故答案是：平行于；直线；相交．

【点评】本题考查了相似三角形的判定．（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；

（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；

（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；

（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．

　

2．如果两个三角形的　三组　对应边的　比相等　，那么这两个三角形相似．

【考点】相似三角形的判定．

【分析】由三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；即可求得答案．

【解答】解：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．

故答案为：三组，比相等．

【点评】此题考查了相似三角形的判定．注意熟记相似三角形的判定定理是关键．

　

3．如果两个三角形的　两组　对应边的比相等，并且　夹角对应　相等，那么这两个三角形相似．

【考点】相似三角形的判定．

【分析】由两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；即可求得答案．

【解答】解：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角对应相等，那么这两个三角形相似．

故答案为：两组，夹角对应．

【点评】此题考查了相似三角形的判定．注意熟记相似三角形的判定定理是关键．

　

4．如果一个三角形的　两个　角与另一个三角形的　两个角对应相等　，那么这两个三角形相似．

【考点】相似三角形的判定．

【分析】根据“两角法”来判定两个三角形相似．

【解答】解：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．

故答案为：两个，两个角对应相等．

【点评】本题考查了相似三角形的判定．两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．

　

5．在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=56°，∠B=28°，∠A′=56°，∠C′=28°，那么这两个三角形能否相似的结论是　△ABC∽△A′C′B′　，理由是　有两组角对应相等的两个三角形相似　．

【考点】相似三角形的判定．

【分析】由已知条件易得∠A=∠A′，∠B=∠C′，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断两三角形相似．

【解答】解：∵∠A=56°，∠B=28°，∠A′=56°，∠C′=28°，

∴∠A=∠A′，∠B=∠C′，

∴△ABC∽△A′C′B′．

故答案为△ABC∽△A′C′B′；有两组角对应相等的两个三角形相似．

【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．

　

6．在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=48°，∠C=102°，∠A′=48°，∠B′=30°，那么这两个三角形能否相似的结论是　△ABC∽△A′B′C′　，理由是　有两组角对应相等的两个三角形相似　．

【考点】相似三角形的判定．

【专题】常规题型．

【分析】先根据三角形内角和定理计算出∠B=30°，于是得到∠A=∠A′，∠B=∠B′，所以根据有两组角对应相等的两个三角形相似可证明∴△ABC∽△A′B′C′．

【解答】解：∵∠A=48°，∠C=102°，

∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=30°，

而∠A′=48°，∠B′=30°，

∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，

∴△ABC∽△A′B′C′．

故答案为△ABC∽△A′B′C′；有两组角对应相等的两个三角形相似．

【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．

　

7．在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=34°，AC=5cm，AB=4cm，∠A′=34°，A′C′=2cm，A′B′=1.6cm，那么这两个三角形能否相似的结论是　△ABC∽△A′B′C′　，理由是　两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似　．

【考点】相似三角形的判定．

【专题】常规题型．

【分析】先计算出 = ， = ，得到 = ，加上∠A=∠A′=34°，于是根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断两三角形相似．

【解答】解：∵AC=5cm，AB=4cm，A′C′=2cm，A′B′=1.6cm，

∴ = = ， = ，

∴ = ，

而∠A=∠A′=34°，

∴△ABC∽△A′B′C′．

故答案为△ABC∽△A′B′C′；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．

【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．

　

8．在△ABC和△DEF中，如果AB=4，BC=3，AC=6，DE=2.4，EF=1.2，FD=1.6．那么这两个三角形能否相似的结论是　△ABC∽△DEF　，理由是　三组对应边的比相等的两个三角形相似　．

【考点】相似三角形的判定．

【分析】先求出两三角形对应边的比，进而可得出结论．

【解答】解：∵ = = ， = = ， = = ，

∴ = = ，

∴△ABC∽△DEF．

故答案为：△ABC∽△DEF，三组对应边的比相等的两个三角形相似．

【点评】本题考查的是相似三角形的判定定理，熟知三组对应边的比相等的两个三角形相似是解答此题的关键．

　

9．如图，△ABC的两条高AD、BE交于点H，则图中的相似三角形共有　6　对．

【考点】相似三角形的判定．

【分析】根据相似三角形的判定定理进行解答即可．

【解答】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴∠ADC=∠ADB=∠AEB=∠BED=90°，

∴△AEH∽△ADC∽△BDH∽△BEC，

∴共有6对相似三角形．

故答案为：6．

【点评】本题考查的是相似三角形的判定定理，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．

　

10．如图所示，▱ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，此图中的相似三角形共有　6　对．

【考点】相似三角形的判定；平行四边形的性质．

【分析】根据平行四边形的对边平行，再根据平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似找出相似三角形即可得解．

【解答】解：在▱ABCD中，

∵AB∥CD，

∴△ABE∽△FDE，△ABG∽△FCG；

∵AD∥BC，

∴△ADE∽△GBE，△FDA∽△FCG，

∴△ABG∽△FDA，△ABD∽△BCD

∴图中相似三角形有6对．

故答案为：6．

【点评】本题考查了相似三角形的判定，主要利用了平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似，要注意△ABG与△FDA都与△FCG相似，所以也相似，这也是本题容易出错的地方．

　

二、选择题

11．如图，不能判定△ABC∽△DAC的条件是（　　）

A．∠B=∠DAC B．∠BAC=∠ADC C．AC²=DC•BC D．AD²=BD•BC

【考点】相似三角形的判定．

【专题】常规题型．

【分析】已知有公共角∠C，则A、B选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；D选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似．

【解答】解：已知△ABC和△DCA中，∠ACD=∠BAC；如果△ABC∽△DAC，需满足的条件有：

①∠DAC=∠B或∠ADC=∠BAC；

②AC²=DC•BC；

故选D．

【点评】此题主要考查学生对相似三角形判定方法的运用．

　

12．如图，在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是（　　）

A．5 B．8.2 C．6.4 D．1.8

【考点】相似三角形的性质；平行四边形的性质．

【专题】压轴题．

【分析】由△CBF∽△CDE，根据相似三角形的对应边对应成比例，可知BF：DE=BC：DC，即BF=BC：DC×DE．又四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可知BC=AD=6，DC=AD=10，易知DE=3，从而求出BF的长．

【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，

∴CD=10，BC=6，DE=3．

∵△CBF∽△CDE，

∴BF：DE=BC：DC，

∴BF=6÷10×3=1.8．

故选D．

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质及相似三角形的性质：平行四边形的对边相等．相似三角形的对应边成比例．

　

13．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（　　）

A． B． C． D．

【考点】相似三角形的判定．

【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．

【解答】解：根据题意得：AB= = ，AC=2，BC= = ，

∴BC：AC：AB=1： ： ，

A、三边之比为1： ： ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；

B、三边之比 ：2 ：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；

C、三边之比为1： ：2 ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；

D、三边之比为2： ： ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．

故选A．

【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．

　

三、解答题

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．

（1）图中有哪两个三角形相似？

（2）求证：AC²=AD•AB；BC²=BD•BA；CD²=AD•BD；

（3）若AD=2，DB=8，求AC，BC，CD的长；

（4）若AC=6，DB=9，求AD，CD，BC的长；

（5）求证：AC•BC=AB•CD．

【考点】相似三角形的判定与性质．

【分析】（1）由条件可知∠A=∠DCB，∠ACD=∠B，可证得△ACD∽△ABC∽△CDB；

（2）利用（1）可得到 = ， = ， = ，可证得结论；

（3）代入（2）中结论可求得；

（4）同（3）代入（2）可求得；

（5）利用面积相等即可得出结论．

【解答】（1）解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，

∴∠ADC=∠ACB，

∴∠ACD+∠A=∠A+∠B=90°，

∴∠ACD=∠B，

∴△ACD∽△ABC，△ACD∽△CDB，

同理可证得△CDB∽△ABC，

∴相似的三角形有：△ACD和△ABC，△ACD和△CDB，△CDB和△ABC；

（2）证明：∵△ACD∽△ABC，

∴ = ，

∴AC²=AD•AB，

同理可得 = ， = ，

∴BC²=BD•AB，CD²=AD•BD；

（3）解：∵AD=2，DB=8，

∴CD²=AD•BD=2×8=16，

∴CD=4，

又∵AB=AD+BD=10，

∴AC²=AD•AB=2×10=20，BC²=BD•AB=8×10=80，

∴AC=2 ，BC=4 ；

（4）解：∵AC=6，DB=9，且AB=AD+BD，

∴AC²=AD（AD+BD），即6²=AD²+9AD，

解得AD=3或（﹣12舍去），

∴CD²=AD•BD=3×9=27，

∴CD=3 ，

∴AB=AD+BD=12，

∴BC²=BD•AB=9×12=108，

∴BC=6 ；

（5）证明：∵S_△ABC= AC•BC，且S_△ABC= CD•AB，

∴AC•BC=CD•AB．

【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握直角三角形中角之间的关系是解题的关键，注意方程思想的应用．

　

15．如图所示，如果D、E、F分别在OA、OB、OC上，且DF∥AC，EF∥BC．求证：

（1）OD：OA=OE：OB；

（2）△ODE∽△OAB；

（3）△ABC∽△DEF．

【考点】相似三角形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】（1）根据平行于三角形一边的直线截其他两边所得的新三角形与原三角形相似就可以得出结论；

（2）根据OD：OA=OE：OB由∠AOB=∠AOB就可以得出△ODE∽△OAB；

（3）由△ODE∽△OAB就可以得出 就可以得出结论．

【解答】证明：（1）∵DF∥AC，EF∥BC，

∴△ODF∽△OAC，△OEF∽△OBC，

∴ ， ，

∴OD：OA=OE：OB；

（2）∵OD：OA=OE：OB，∠DOE=∠AOB，

∴△ODE∽△OAB．

（3）∵△ODE∽△OAB，

∴ ，

∴ ．

∴△ABC∽△DEF．

【点评】本题考查了平行于三角形一边的直线截其他两边所得的新三角形与原三角形相似的判定方法的运用，相似三角形的性质的运用，相似三角形的判定的运用，解答时证明三角形相似是关键．

　

16．如图，已知AB∥CD，AD，BC相交于E，F为EC上一点，且∠EAF=∠C．

求证：（1）∠EAF=∠B；（2）AF²=FE•FB．

【考点】相似三角形的判定与性质；平行线的性质．

【专题】证明题．

【分析】（1）欲证∠EAF=∠B，通过AB∥CD及已知发现它们都与∠C相等，等量转换即可；

（2）欲证AF²=FE•FB，可证△AFB∽△EFA得出．

【解答】证明：（1）∵AB∥CD，

∴∠B=∠C，

又∵∠EAF=∠C，

∴∠EAF=∠B；

（2）在△AFB与△EFA中，

∵∠EAF=∠B，∠AFB=∠EFA，

∴△AFB∽△EFA，

∴ ，

即AF²=FE•FB．

【点评】乘积的形式通常可以转化为比例的形式，由相似三角形的性质得出，同时考查了平行线的性质．

　

17．已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，以AD为直径的半圆与BC相切于E点．求证：AB•CD=BE•EC．

【考点】相似三角形的判定与性质；梯形；切线的性质．

【专题】证明题．

【分析】连结AE、ED，由平行线的性质推出∠B=∠C，由AD为直径，得出∠AED=90°，从而证得∠AEB=∠CDE=90°﹣∠DEC，根据相似三角形的判定证得△ABE∽△ECD，由相似三角形的性质即可证得结论．

【解答】解：连结AE、ED，

∵AB∥CD，∠B=90°，

∴∠C=90°，

∴∠B=∠C，

∵AD为直径，

∴∠AED=90°，

∠AEB=∠CDE=90°﹣∠DEC，

∴△ABE∽△ECD，

∴ ，

∴AB•CD=BE•EC．

【点评】本题主要考查了直径所对的圆周角的性质，相似三角形的判定和性质，能证得∠AEB=∠CDE是解题的关键．

　

18．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为点B，点D是⊙O上的一点，且AD∥OC．求证：AD•BC=OB•BD．

【考点】切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】要证AD•BC=OB•BD，即要证AD：OB=BD：BC，于是求证△ABD∽△OCB即可．

【解答】证明：∵BC是⊙O的切线，AB是圆的直径，

∴∠CBO=∠D=90°．

∵AD∥OC，

∴∠COB=∠A．

∴△ABD∽△OCB．

∴AD：OB=BD：BC．

∴AD•BC=OB•BD．

【点评】本题利用了相似三角形的判定和性质求解．

　

19．已知：如图，在⊙O中，CD过圆心O，且CD⊥AB，垂足为D，过点C任作一弦CF交⊙O于F，交AB于E．求证：CB²=CF•CE．

【考点】垂径定理；相似三角形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】连接BF，证所求的对应边成比例线段所在的三角形相似即可，即证△CBE∽△CFB．

【解答】证明：连接FB，（1分）

∵CD过圆心O，且CD⊥AB，

∴ = ．（2分）

∴∠CBE=∠F．

∵∠BCE为公共角，

∴△CBE∽△CFB．（4分）

∴ = ．（5分）

∴CB²=CE•CF．（6分）

【点评】此题考查了垂径定理及相似三角形的判定和性质．

　

20．已知D是BC边延长线上的一点，BC=3CD，DF交AC边于E点，且AE=2EC，试求AF与FB的比．

【考点】平行线分线段成比例．

【分析】过C作CG∥AB交DF于G，于是得到△CDG∽△BDF，△CEG∽△AFE，根据相似三角形的性质得到 ， ，求得BF=4CG，AF=2CG，即可得到结论．

【解答】解：过C作CG∥AB交DF于G，

∴△CDG∽△BDF，△CEG∽△AFE，

∴ ， ，

∵BC=3CD，

∴ = ，

∴ = ，

∴BF=4CG，

∵AE=2EC，

∴ = ，

∴AF=2CG，

∴ = ．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．

　

21．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AH⊥BC于H，以AB和AC为边在Rt△ABC外作等边△ABD和△ACE，试判断△BDH与△AEH是否相似，并说明理由．

【考点】相似三角形的判定；等边三角形的性质．

【分析】首先由在△ABC中，∠BAC=90°，AH⊥BC于H，证得△BHA∽△AHC，即可得 = ，又由以AB和AC为边在Rt△ABC外作等边△ABD和△ACE，可得 = ，∠HBD=∠HAE，则可证得△BDH∽△AEH．

【解答】解：相似．

理由：∵在△ABC中，∠BAC=90°，

∴∠BAH+∠CAH=90°，

∵AH⊥BC，

∴∠AHB=∠CHA=90°，

∴∠ABH+∠BAH=90°，

∴∠BAH=∠CAH，

∴△BAH∽△ACH，

∴ = ，

∵△ABD和△ACE是等边三角形，

∴BA=BD，AC=AE，∠ABD=∠CAE=60°，

∴ = ，∠HBD=∠HAE，

∴△BDH∽△AEH．

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．注意证得△BAH∽△ACH是关键．

　

22．如图，在△ABC中，∠C=90°，P为AB上一点，且点P不与点A重合，过点P作PE⊥AB交AC边于E点，点E不与点C重合，若AB=10，AC=8，设AP的长为x，四边形PECB的周长为y，求y与x之间的函数关系式．

【考点】相似三角形的判定与性质；根据实际问题列一次函数关系式；勾股定理．

【专题】代数几何综合题；数形结合．

【分析】四边形PECB的周长为PE+EC+CB+BP，其中BC在直角△ABC中运用勾股定理可以求出，BP=AB﹣AP=10﹣x，另外两条边均可根据△AEP∽△ABC，借助于比例线段，用含有x的式子表示出来．关键还需求出自变量x的取值范围，这可以令E点运行到C时，求特殊值．

【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°AB=10，AC=8，

∴BC=6．

∵EP⊥AB且∠A为公共角，

∴△AEP∽△ABC，

∴ ．

∵AP=x，

∴ ，

即AE= ，PE= ，

∴ ．

∴ ．

当E与C重合时，CP⊥AB，

∴△APC∽△ACB，

∴CA²=AP•AB，

∴8²=10AP，

AP= ．

因为P与A不重合，E与C不重合，

所以 ．

即 ．

【点评】本题实际还是考查相似三角形的判定以及一次函数在几何图形中的应用．