【327906】2024年北京市中考数学试题

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200735-2024年北京市中考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项:

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（      ）

A． 　　　　B．

C． 　　　　D．

2．如图，直线 和 相交于点 ， .若 ，则 的大小为（      ）

（第3题图）

A. B. C. D.

3．实数 ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（      ）

A． B． C． D．

4．若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为（      ）

A． B． C．4D．16

5．不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

6．为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为 Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到 ，则 的值为（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

7．下面是“作一个角使其等于 ”的尺规作图方法.

（1）如图，以点 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ； （2）作射线 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ；以点 为圆心， 长为半径画弧，两弧交于点 ； （3）过点 作射线 ，则 .

上述方法通过判定 ≌ 得到 ，其中判定 ≌ 的依据是（      ）

A．三边分别相等的两个三角形全等

B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等

8．如图，在菱形 中， ， 为对角线的交点.将菱形 绕点 逆时针旋转 得到菱形 ，两个菱形的公共点为 ， ， ， .对八边形 给出下面四个结论：

①该八边形各边长都相等；

②该八边形各内角都相等；

③点 到该八边形各顶点的距离都相等；

④点 到该八边形各边所在直线的距离都相等。

上述结论中，所有正确结论的序号是（      ）

A．①③

B．①④

C．②③

D．②④

二、填空题

9．若 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是         ．

10．分解因式：            .

11．方程 的解为           .

12．在平面直角坐标系 中，若函数 的图象经过点 和 ，则 的值是           .

13．某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位： ），得到的数据如下：

当一个工件的质量 （单位： ）满足 时，评定该工件为一等品.根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是    .

14．如图， 的直径 平分弦 （不是直径）.若 ，则    .

（第6题图）

15．如图，在正方形 中，点 在 上， 于点 ， 于点 ，若 ， ，则 的面积为           .

16．联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下：

节目	A	B	C	D
演员人数	10	2	10	1
彩排时长	30	10	20	10

已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。

若节目按“ ”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为            min；

若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按           的先后顺序彩排

三、解答题

17．计算：

18．解不等式组：

19．已知 ，求代数式 的值.

20．如图，在四边形 中， 是 的中点， ， 交于点 ， ， .

  

(1)求证：四边形 为平行四边形；

(2)若 ， ， ，求 的长.

21．为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求 类物质排放量不超过 ， ， 两类物质排放量之和不超过 .已知该型号某汽车的 ， 两类物质排放量之和原为 .经过一次技术改进，该汽车的 类物质排放量降低了 ， 类物质排放量降低了 ， ， 两类物质排放量之和为 ，判断这次技术改进后该汽车的 类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由.

22．在平面直角坐标系 中，函数 与 的图像交于点 .

（1） 求 ， 的值；

（2） 当 时，对于 的每一个值，函数 的值既大于函数 的值，也大于函数 的值，直接写出 的取值范围.

【关键点拨】

（2）根据题意画出函数图像，可运用数形结合的思想解决问题.

23．某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.

(1)初赛由 名数师评委和 名学生评委给每位选手打分（百分制） 对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.

.教师评委打分为 ， ， ， ，  ，  ， ，  ， ， .

.学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组 ，第2组 ，第3组 ，第4组 ，第5组 ，第6组 ）：

.评委打分的平均数、中位数、众数如下：

	平均数	中位数	众数
教师评委
学生评委

根据以上信息，回答下列问题：

① 的值为           ， 的值位于学生评委打分数据分组的第          组；

②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为 ，则             （填“ ”“ ”或“ ”）；

(2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：

	评委1	评委2	评委3	评委4	评委5
甲
乙
丙

若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是            ，表中 （ 为整数）的值为            .

24．如图， 是 的直径，点 ， 在 上， 平分 .

（1） 求证： ；

（2） 延长 交 于点 ，连结 交 于点 ，过点 作 的切线交 的延长线于点 .若 ， ，求 半径的长.

25．小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯），在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来，新水杯（记为2号杯）示意图如下，

当1号杯和2号杯中都有 水时，小云分别记录了1号杯的水面高度 （单位：cm）和2号杯的水面高度 （单位：cm），部分数据如下：

/mL	0	40	100	200	300	400	500
/cm	0		2.5	5.0	7.5	10.0	12.5
/cm	0	2.8	4.8	7.2	8.9	10.5	11.8

 

(1)补全表格（结果保留小数点后一位）；

(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画 与 ， 与 之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；

(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：

①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为           cm（结果保留小数点后一位）；

②在①的条件下，将2号杯中的一都分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为           cm（结果保留小数点后一位）．

26．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 .

(1)当 时，求抛物线的顶点坐标；

(2)已知 和 是抛物线上的两点.若对于 ， ，都有 ，求 的取值范围.

27．已知 ，点 ， 分别在射线 ， 上，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，过点 作 的垂线交射线 于点 .

  

(1)如图1，当点 在射线 上时，求证： 是 的中点；

(2)如图2，当点 在 内部时，作 ，交射线 于点 ，用等式表示线段 与 的数量关系，并证明。

28．在平面直角坐标系 中， 的半径为1，对于 的弦 和不在直线 上的点 ，给出如下定义：若点 关于直线 的对称点 在 上或其内部，且 ，则称点 是弦 的“ 可及点”．

(1)如图，点 ， ．

①在点 ， ， 中，点           是弦 的“ 可及点”，其中              ；

②若点 是弦 的“ 可及点”，则点 的横坐标的最大值为          ；

(2)已知 是直线 上一点，且存在 的弦 ，使得点 是弦 的“ 可及点”．记点 的横坐标为 ，直接写出 的取值范围．

参考答案

一、单选题

1. B

解：A．是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；

B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；

C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；

D．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意．

故此题答案为B．

2. B

， ， ， ，故选B.

3. C

解：A、由数轴可知 ，故本选项不符合题意；

B、由数轴可知 ，由绝对值的意义知 ，故本选项不符合题意；

C、由数轴可知 ，而 ，则 ，故 ，故本选项符合题意；

D、由数轴可知 ，而 ，因此 ，故本选项不符合题意．

故此题答案为C．

4. C

∵方程 有两个相等的实数根， ，

∴ ，

∴ ，

解得 ．

故此题答案为C．

5. D

解：画树状图如下：

共有4种等可能的结果，其中两次都取到白色小球的结果有1种，

两次都取到白色小球的概率为 ．

故此题答案为D．

【知识点拨】概率公式：P(白色)=白色小球个数÷所有小球数量.

6. D

，故此题答案为D．

7. A

根据基本作图中，同圆半径相等，判定三角形全等的依据是边边边原理，

故此题答案为A.

8. B

向两方分别延长 ，连接 ，

根据菱形 ， ，则 ， ，

∵菱形 绕点 逆时针旋转 得到菱形 ，

∴点 一定在对角线 上，且 ， ，

∴ ， ，

∵ ，

∴ ≌ ，

∴ ， ，同理可证 ，

∵ ，

∴ ≌ ，

∴ ，

∴ ，

∴该八边形各边长都相等，

故①正确；

根据角的平分线的性质定理，得点 到该八边形各边所在直线的距离都相等，

∴④正确；

根据题意，得 ，

∵ ， ，

∴ ，

∴该八边形各内角不相等；

∴②错误，

根据 ，

∴ ≌ ，

∴ ，

∵ ，

故 ，

∴点 到该八边形各顶点的距离都相等错误，

∴③错误，

故此题答案为B．

二、填空题

9.

解：根据题意得 ，

解得： ．

10.

．

11.

解：

，

解得： ，

经检验： 是原方程的解，

所以，原方程的解为

12. 0

解：∵函数 的图象经过点 和 ，

∴有 ，

∴ ．

13. 160

由题可知10个工件中一等品有8个， 估计这200个工件中一等品的个数为 ，故答案为160.

14. 55

直径 平分弦 ， ， ， ，故答案为55.

15.

解：根据正方形的性质，得 ， ，∴ ，

∵ ，∴ , ，

，∴ ，∴ ，∴ ，

∴ 的面积为 ．

16.      60     

解：①节目D的演员的候场时间为 ，

故答案为：60；

②由题意得节目A和C演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么B在D前面，

∴①按照 顺序，则候场时间为： 分钟；

②按照 顺序，则候场时间为： 分钟；

③按照 顺序，则候场时间为： 分钟；

④按照 顺序，则候场时间为： 分钟；

⑤按照 顺序，则候场时间为： 分钟；

⑥按照 顺序，则候场时间为： 分钟．

∴按照 顺序彩排，候场时间之和最小

 

三、解答题

17.

解：原式 ．

18.

∵ ＜①＜②

∴解不等式①，得 ，

解不等式,②，得 ，

∴不等式组的解集为 ．

19. 3

解：原式

，

∵ ，

∴ ，

∴原式 ．

20. (1)见详解；(2)

（1）证明：∵ 是 的中点， ，∴ ，

∵ ，∴四边形 为平行四边形；

（2）解：∵ ，∴ ，

在 中， ， ，∴ ，

∵ 是 的中点， ，∴ ，

∵四边形 为平行四边形，∴ ，

∴在 中，由勾股定理得 ．

21. 符合，理由见详解

解：设技术改进后该汽车的A类物质排放量为 ，则B类物质排放量为 ，

由题意得： ，

解得： ，

∵ ，

∴这次技术改进后该汽车的 类物质排放量符合“标准”．

22. （1） 【解】将 代入 ，得 ，解得 .将 代入 中，得 ，解得 . （2） . , ， 两个一次函数的表达式分别为 , .当 时，对于 的每一个值，函数 的值既大于函数 的值，也大于函数 的值，即当 时，直线 在直线 和直线 的上方，画出图像如下：

由图像得当直线 与直线 平行时符合题意，此时 ;当 与 轴的夹角大于直线 与直线 平行时与 轴的夹角也符合题意，此时 , 的取值范围为 .

23. (1)① ， ；② ；(2)甲，

（1）①从教师评委打分的情况看， 分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为 ，所以 ，共有45名学生评委给每位选手打分，

所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第 个，从频数分面直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组 ；

②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为 ， ， ， ， ， ， ， ， ；

（）_甲 ，

_甲 ，

_乙 ，

_乙 ，

丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，

依题意，当 _甲丙乙 ，则 ，解得 ,

当 时， _丙乙 ，

此时 _丙 ,

∵ _丙乙 ，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意，

当 时， _丙甲 ，此时 _丙 .

∵ _丙甲 ，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲．

24. （1） 【证明】根据题意，得 ， ， 平分 ， ， ， .（2） 【解】如图， ， 设 ,则 ， .

， , , ， ， ，解得 .取 的中点 ，连结 ，则 . ， ， ， . 是 的切线， ， ，解得 ，即 半径的长为 .

25. (1)1.0(2)见详解(3)1.2，8.5 

（1）解：由题意得，设V与 的函数关系式为： ，

由表格数据得： ，

解得： ，

∴ ，

∴当 时， ，

∴ ；

（2）解：如图所示，即为所画图像，

（3）解：①当 时， ，由图象可知高度差

②由图象可知当两个水杯的水面高度相同时，估算高度约为

26. (1) ；(2) 或 ．

（1）解：把 代入 得， ，

∴抛物线的顶点坐标为 ；

（2）解：分两种情况：

① 当 时，如图，此时 ，

∴ ，

又∵ ，

∴ ；

当 时，如图，此时 ，解得 ，

又∵ ，

∴ .

综上，当 或 ，都有 ．

27. (1)见详解；(2) ，理由见详解

（1）证明：连接 ，

  

由题意得, ， ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴点 是 的中点；

（2）解： ，

在射线 上取点 ，使得 ，取 的中点 ，连接 ，

  

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

又∵ ，

∴ ≌ ，

∴ ， ，

∴ ，

∵ ，

∴ ， ，

∵ 是 的中点，

∴ ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ．

28. (1)① ， ；② ；(2) 或

（1）解：①反过来思考，由相对运动理解，作出 关于 的对称圆 ，

∵若点 关于直线 的对称点 在 上或其内部，且 ，则称点 是弦 的“ 可及点”，

∴点 应在 的圆内或圆上，

∵点 ， ，

∴ ，

而 ，

∴ ,

由对称得 ，

∴ 为等腰直角三角形，

∴ ,

设 半径为 ，则 ,故 在 外，不符合题意；

，故 在 上，符合题意；

，故 在 外，不符合题意，

∴点 是弦 的“ 可及点”，可知 三点共线，

∵ ，

∴ ；

②取 中点为 ，连接 ，

∵则 ，

∴ ，

∴点 在以 为圆心， 为半径的 上方半圆上运动（不包括端点A,B），

∴当点 轴时，点 横坐标最大，

∵ ， ，

∴ ，

∴ ，

∵点 ， ，

∴ ，

∴此时 ，

∴点 的横坐标的最大值为 ；

（2）解：反过来思考，由相对运动理解，作出 关于 的对称圆 ，

∵若点 关于直线 的对称点 在 上或其内部，且 ，则称点 是弦 的“ 可及点”，

∴点 应在 的圆内或圆上，故点 需要在 的圆内或圆上，

作出 的外接圆 ，连接 ，

∴点 在以 为圆心， 为半径的 上运动（不包括端点M,N），

∴ ，

∴ ，

由对称得点 在 的垂直平分线上，

∵ 的外接圆为 ，

∴点 也在 的垂直平分线上，记 与 交于点 ，

∴ ，

∴ ，

随着 的增大， 会越来越靠近 ，当点 与点 重合时，点 在 上，即为临界状态，此时 最大， ，

连接 ，

∵ ，

∴当 最大, 时，此时 为等边三角形，

由上述过程知 ，

∴ ，

∴当 ， 的最大值为2，

设 ，则 ，解得 ，

而记直线 与 交于 ，与 轴交于点 ，过点 作 轴，

当 ，当 时， ，解得 ，

∴与 轴交于点 ，

∴ ，而

∴ 为等边三角形，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ 的取值范围是 或 ．