【327907】2024年福建省中考数学试题

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200749-2024年福建省中考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项:

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1．下列实数中，无理数是（      ）

A． 　　　　B．0　　　　C． 　　　　D．

2．据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，2023年，全球 （《专利合作条约》）国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请量最大的来源国．数据69610用科学记数法表示为（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

3．如图是由长方体和圆柱组成的几何体，其俯视图是（      ）

（第1题图）

A. B. C. D.

4．在同一平面内，将直尺、含 角的三角尺和木工角尺 按如图方式摆放，若 ，则 的大小为（      ）

A. B. C. D.

5．下列运算正确的是（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

6．哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（      ）

A. B. C. D.

7．如图，已知点 在 上， ，直线 与 相切，切点为 ，且 为 的中点，则 等于（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

8．今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长 ，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为 亿元，则符合题意的方程是（      ）

A． 　　　　B．

C． 　　　　D．

9．小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图．其中 与 都是等腰三角形，且它们关于直线 对称，点 ， 分别是底边 ， 的中点， ．下列推断错误的是（      ）

（第11题图）

A. B.

C. D.

10．已知二次函数 的图像经过 ， 两点，则下列判断正确的是（      ）

A. 可以找到一个实数 ，使得

B. 无论实数 取什么值，都有

C. 可以找到一个实数 ，使得

D. 无论实数 取什么值，都有

二、填空题

11．因式分解：      ．

12．不等式 的解集是      ．

13．学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是      ．（单位：分）

14．如图，正方形 的面积为4，点 ， ， ， 分别为边 ， ， ， 的中点，则四边形 的面积为       ．

（第26题图）

15．如图，在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图象与 交于 两点，且点 都在第一象限．若 ，则点 的坐标为      ．

16．无动力帆船是借助风力前行的．如图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角 为 ，帆与航行方向的夹角 为 ，风对帆的作用力 为 ．根据物理知识， 可以分解为两个力 与 ，其中与帆平行的力 不起作用，与帆垂直的力 又可以分解为两个力 与 ， 与航行方向垂直，被舵的阻力抵消； 与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型： ，则      ． （单位： ）（参考数据： ， ）

三、解答题

17．计算： ．

18．如图，在菱形 中，点 ， 分别在 ， 边上， ，求证： ．

19．解方程： ．

20．已知 两地都只有甲、乙两类普通高中学校．在一次普通高中学业水平考试中， 地甲类学校有考生3000人，数学平均分为90分：乙类学校有考生2000人，数学平均分为80分．

(1)求 地考生的数学平均分；

(2)若 地甲类学校数学平均分为94分，乙类学校数学平均分为82分，据此，能否判断 地考生数学平均分一定比 地考生数学平均分高？若能，请给予证明：若不能，请举例说明．

21．如图，已知二次函数 的图象与 轴交于 两点，与 轴交于点 ，其中 ．

(1)求二次函数的表达式；

(2)若 是二次函数图象上的一点，且点 在第二象限，线段 交 轴于点 的面积是 的面积的2倍，求点 的坐标．

22．如图，已知直线 ．

(1)在 所在的平面内求作直线 ，使得 ，且 与 间的距离恰好等于 与 间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

(2)在（1）的条件下，若 与 间的距离为2，点 分别在 上，且 为等腰直角三角形，求 的面积．

23．已知实数 满足 ．

(1)求证： 为非负数；

(2)若 均为奇数， 是否可以都为整数？说明你的理由．

24．在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸 ，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒，小明按照图2的方式裁剪（其中 ），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．

(1)直接写出 的值；

(2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（      ）

A.         B.

C.         D.

(3)

卡纸型号	型号Ⅰ	型号Ⅱ	型号Ⅲ
规格（单位：cm）
单价（单位：元）	3	5	20

现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整 ， 的比例，制作棱长为 的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．

（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）

25．如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ， ，垂足为 的延长线交 于点 ．

(1)求 的值；

(2)求证： ；

(3)求证： 与 互相平分．

参考答案

一、单选题

1. D

根据无理数的定义可得无理数是 ，故此题答案为D．

2. C

，故此题答案为C．

3. C

这个几何体的俯视图是一个圆，圆内部中间有一个矩形.故选C.

4. A

如图，由题知 ， ， ， ．故选A．

（第6题图）

5. B

解： ， 选项错误；

， 选项正确；

， 选项错误；

， 选项错误，

故此题答案为B．

6. B

画树形图如下:

由树形图可知,共有6种等可能的结果，其

中和是偶数的结果有 ， ，共2种， 和是偶数的概率为 ．故选B．

7. A

∵ ， 为 的中点，

∴ .

∵ ，

∴ .

∵直线 与 相切，

∴ ，

∴ .

故此题答案为A．

8. A

解：将去年第一季度社会消费品零售总额设为 亿元，根据题意得

，

故此题答案为A．

9. B

由题意可得 ≌ ， 、 都是等腰三角形，点 ， 分别是底边 ， 的中点， ， ， ， ， ，即 ， ，故A正确； 与 的度数不能确定， 无法证明 与 的关系，故B错误； ≌ ，点 ， 分别是底边 ， 的中点， ，故C正确； ， ， ， ， .① 又 ， .② ①② 得 ，即 ，故D正确．故选B．

10. C

二次函数表达式为 ， 二次函数图像开口向上，且对称轴为直线 ，顶点坐标为 .当 时， ， .当 时， ， ，故A、B错误，不符合题意.当 时， ，由二次函数图像的对称性可知点 和点 关于对称轴对称 在对称轴右侧， 随 的增大而增大， 当 时， ；当 时， ，由二次函数图像的对称性可知点 和点 关于对称轴对称 在对称轴左侧， 随 的增大而减小， 当 时， ，但不一定大于0，故C正确，符合题意；D错误，不符合题意.故选C．

二、填空题

11.

解：

12.

解： ， ， ．

13. 90

解：∵共有12个数，∴中位数是第6和7个数的平均数，

∴中位数是 ．

14. 2

如图，连结 ， 交于点 四边形 是正方形，且面积为 ， ， , 分别为边 , 的中点， 易得 ， .同理可得 ， ， ， 四边形 的面积是 ．故答案为2．

【归纳总结】

对角线互相垂直的四边形的面积等于它的两条对角线长的乘积的一半.

15.

解：如图,连接 ， ,

∵反比例函数 的图象与 交于 两点，且 ，

∴ ， ,

设 ， ，则 ，

∵ ，

∴ ，则 ，

∵点 在第一象限，

∴ ，

把 代入得 ， ，

∴ ， ，经检验, ， 都是原方程的解.

∵ ，

∴ ， .

16. 128

如图， ， ， ， ， .在 中， ， ， ， ， .在 中， ， ， .故答案为128．

三、解答题

17. 4

解：原式 ．

18. 见解析

证明： 四边形 是菱形，

， ，

，

≌ ，

．

19. ．

解： ，

方程两边都乘 ，得 ．

去括号得： ，

解得 ．

经检验， 是原方程的根．

20. (1)86；(2)不能，举例见解析．

（1）由题意，得 地考生的数学平均分为 ．

（2）不能．

举例如下：如 地甲类学校有考生1000人，乙类学校有考生3000人，则 地考生的数学平均分为 ．

因为 ，所以不能判断 地考生数学平均分一定比 地考生数学平均分高．

21. (1) ；(2)

（1）解：将 代入 ，

得 ，解得 ，

所以，二次函数的表达式为 ．

（2）设 ，因为点 在第二象限，所以 ．

依题意，得 ，即 ，所以 ．

由已知，得 ，所以 ．

由 ，解得 （舍去），所以点 坐标为 ．

22. (1)见解析；(2) 的面积为1或 ．

（1）解：如图，

直线 就是所求作的直线．

（2）①当 时，

，直线 与 间的距离为2，且 与 间的距离等于 与 间的距离，根据图形的对称性可知 ，

，

．

②当 时，

分别过点 作直线 的垂线，垂足为 ，

．

，直线 与 间的距离为2，且 与 间的距离等于 与 间的距离， ．

， ，

，

≌ ，

．

在 中，由勾股定理得 ，

．

．

③当 时，同理可得， ．

综上所述， 的面积为1或 ．

23. (1)见详解；(2) 不可能都为整数，理由见解析．

（1）解：因为 ，所以 ．

则

．

因为 是实数，所以 ，所以 为非负数．

（） 不可能都为整数．

理由如下：若 都为整数，其可能情况有① 都为奇数；② 为整数，且其中至少有一个为偶数．

①当 都为奇数时，则 必为偶数．又 ，所以 ．

因为 为奇数，所以 必为偶数，这与 为奇数矛盾．

②当 为整数，且其中至少有一个为偶数时，则 必为偶数．

又因为 ，所以 ．因为 为奇数，所以 必为偶数，这与 为奇数矛盾．

综上所述， 不可能都为整数．

24. (1)2；(2)C；(3)见解析．

（1）解：如图：

上述图形折叠后变成：

由折叠和题意可知， ， ，

∵四边形 是正方形，∴ ，即 ，

∴ ，即 ，

∵ ，∴ ，∴ 的值为 ．

（2）解：根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，

∴C选项符合题意，故此题答案为C．

（3）解：

卡纸型号	型号 Ⅰ	型号 Ⅱ	型号 Ⅲ
需卡纸的数量（单位：张）	1	3	2
所用卡纸总费用（单位：元）	58

根据（1）和题意可得，卡纸每格的边长为 ，则要制作一个边长为 的正方体的展开图形为

∴型号 Ⅲ 卡纸，每张卡纸可制作10个正方体，如图：

型号 Ⅱ 卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如图：

型号 Ⅰ 卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如图：

∴可选择型号 Ⅲ 卡纸2张，型号 Ⅱ 卡纸3张，型号 Ⅰ 卡纸1张，则

（个），

∴所用卡纸总费用为 （元）．

25. (1) ；(2)见详解；(3)见详解

（） ，且 是 的直径，

．

，

在 中， ．

，

在 中， ．

，

；

（2）过点 作 ，交 延长线于点 ．

．

，

≌ ，

．

，

，

，

， ，

． ，

，

，

．

（3）如图，连接 ．

是 的直径，

．

，

．

由（2）知， ，

，

，

．

．

，

．

由（2）知， ，

．

，

，

，

四边形 是平行四边形，

与 互相平分．