【332068】人教版初中数学九年级下册同步测试 第27章 相似（共21页）

第二十七章 相似

测试1 图形的相似

学习要求

1．理解相似图形、相似多边形和相似比的概念．

2．掌握相似多边形的两个基本性质．

3．理解四条线段是“成比例线段”的概念，掌握比例的基本性质．

课堂学习检测

一、填空题

1．________________________是相似图形．

2．对于四条线段a，b，c，d，如果____________与____________(如 )，那么称这四条线段是成比例线段，简称__________________．

3．如果两个多边形满足____________，____________那么这两个多边形叫做相似多边形．

4．相似多边形____________称为相似比．当相似比为1时，相似的两个图形____________．若甲多边形与乙多边形的相似比为k，则乙多边形与甲多边形的相似比为____________．

5．相似多边形的两个基本性质是____________，____________．

6．比例的基本性质是如果不等于零的四个数成比例，那么___________．

反之亦真．即 ______(a，b，c，d不为零)．

7．已知2a－3b＝0，b≠0，则a∶b＝______．

8．若 则x＝______．

9．若 则 ______．

10．在一张比例尺为1∶20000的地图上，量得A与B两地的距离是5cm，则A，B两地实际距离为______m．

二、选择题

11．在下面的图形中，形状相似的一组是( )

12．下列图形一定是相似图形的是( )

A．任意两个菱形 B．任意两个正三角形

C．两个等腰三角形 D．两个矩形

13．要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为50cm，60cm，80cm，三角形框架乙的一边长为20cm，那么，符合条件的三角形框架乙共有( )

A．1种 B．2种 C．3种 D．4种

三、解答题

14．已知：如图，梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，AD∥BC，A′D′∥B′C′，∠A＝∠A′．AD＝4，A′D′＝6，AB＝6，B′C′＝12．求：

(1)梯形ABCD与梯形A′B′C′D′的相似比k；

(2)A′B′和BC的长；

(3)D′C′∶DC．

综合、运用、诊断

15．已知：如图，△ABC中，AB＝20，BC＝14，AC＝12．△ADE与△ACB相似，

∠AED＝∠B，DE＝5．求AD，AE的长．

16．已知：如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，A′，B′，C′，D′分别是OA，OB，OC，OD的中点，试判断四边形ABCD与四边形A′B′C'D′是否相似，并说明理由．

拓展、探究、思考

17．如下图甲所示，在矩形ABCD中，AB＝2AD．如图乙所示，线段EF＝10，在EF上取一点M，分别以EM，MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN∽矩形ABCD，设MN＝x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值?最大值是多少?

测试2 相似三角形

学习要求

1．理解相似三角形的有关概念，能正确找到对应角、对应边．

2．掌握相似三角形判定的基本定理．

课堂学习检测

一、填空题

1．△DEF∽△ABC表示△DEF与△ABC______，其中D点与______对应，E点与

______对应，F点与______对应；∠E＝______；DE∶AB＝______∶BC，AC∶DF＝AB∶______．

2．△DEF∽△ABC，若相似比k＝1，则△DEF______△ABC；若相似比k＝2，则

______， ______．

3．若△ABC∽△A₁B₁C₁，且相似比为k₁；△A₁B₁C₁∽△A₂B₂C₂，且相似比为k₂，则△ABC______△A₂B₂C₂，且相似比为______．

4．相似三角形判定的基本定理是平行于三角形____________和其他两边相交，所_____

____________与原三角形______．

5．已知：如图，△ADE中，BC∥DE，则

①△ADE∽______；

②

③

二、解答题

6．已知：如图所示，试分别依下列条件写出对应边的比例式．

(1)若△ADC∽△CDB；

(2)若△ACD∽△ABC；

(3)若△BCD∽△BAC．

综合、运用、诊断

7．已知：如图，△ABC中，AB＝20cm，BC＝15cm，AD＝12.5cm，DE∥BC．求DE的长．

8．已知：如图，AD∥BE∥CF．

(1)求证：

(2)若AB＝4，BC＝6，DE＝5，求EF．

9．如图所示，在△APM的边AP上任取两点B，C，过B作AM的平行线交PM于N，过N作MC的平行线交AP于D．求证：PA∶PB＝PC∶PD．

拓展、探究、思考

10．已知：如图，E是□ABCD的边AD上的一点，且 ，CE交BD于点F，BF＝15cm，求DF的长．

11．已知：如图，AD是△ABC的中线．

(1)若E为AD的中点，射线CE交AB于F，求 ；

(2)若E为AD上的一点，且 ，射线CE交AB于F，求

测试3 相似三角形的判定

学习要求

1．掌握相似三角形的判定定理．

2．能通过证三角形相似，证明成比例线段或进行计算．

课堂学习检测

一、填空题

1．______三角形一边的______和其他两边______，所构成的三角形与原三角形相似．

2．如果两个三角形的______对应边的______，那么这两个三角形相似．

3．如果两个三角形的______对应边的比相等，并且______相等，那么这两个三角形相 似．

4．如果一个三角形的______角与另一个三角形的______，那么这两个三角形相似．

5．在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝56°，∠B＝28°，∠A′＝56°，∠C′＝28°，那么这两个三角形能否相似的结论是______．理由是________________．

6．在△ABC和△A'B′C′中，如果∠A＝48°，∠C＝102°，∠A′＝48°，∠B′＝30°，那么这两个三角形能否相似的结论是______．理由是________________．

7．在△ABC和△A'B′C′中，如果∠A＝34°，AC＝5cm，AB＝4cm，∠A′＝34°，A'C′＝2cm，A′B′＝1.6cm，那么这两个三角形能否相似的结论是______，理由是____________________．

8．在△ABC和△DEF中，如果AB＝4，BC＝3，AC＝6；DE＝2.4，EF＝1.2，FD＝1.6，那么这两个三角形能否相似的结论是____________，理由是__________________．

9．如图所示，△ABC的高AD，BE交于点F，则图中的相似三角形共有______对．

9题图

10．如图所示，□ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，此图中的相似三角形共有______对．

10题图

二、选择题

11．如图所示，不能判定△ABC∽△DAC的条件是( )

A．∠B＝∠DAC

B．∠BAC＝∠ADC

C．AC²＝DC·BC

D．AD²＝BD·BC

12．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是( )

A．5 B．8.2

C．6.4 D．1.8

13．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是( )

三、解答题

14．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，想一想，

(1)图中有哪两个三角形相似?

(2)求证：AC²＝AD·AB；BC²＝BD·BA；

(3)若AD＝2，DB＝8，求AC，BC，CD；

(4)若AC＝6，DB＝9，求AD，CD，BC；

(5)求证：AC·BC＝AB·CD．

15．如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，OC上，且DF∥AC，EF∥BC．

求证：(1)OD∶OA＝OE∶OB；

(2)△ODE∽△OAB；

(3)△ABC∽△DEF．

综合、运用、诊断

16．如图所示，已知AB∥CD，AD，BC交于点E，F为BC上一点，且∠EAF＝∠C．

求证：(1)∠EAF＝∠B；

(2)AF²＝FE·FB．

17．已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，以AD为直径的半圆与BC相切于E点．

求证：AB·CD＝BE·EC．

18．如图所示，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为点B，点D是⊙O上的一点，且AD∥OC．

求证：AD·BC＝OB·BD．

19．如图所示，在⊙O中，CD过圆心O，且CD⊥AB于D，弦CF交AB于E．

求证：CB²＝CF·CE．

拓展、探究、思考

20．已知D是BC边延长线上的一点，BC＝3CD，DF交AC边于E点，且AE＝2EC．试求AF与FB的比．

21．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AH⊥BC于H，以AB和AC为边在Rt△ABC外作等边△ABD和△ACE，试判断△BDH与△AEH是否相似，并说明理由．

22．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，P是AB上一点，且点P不与点A重合，过点P作PE⊥AB交AC于E，点E不与点C重合，若AB＝10，AC＝8，设AP＝x，四边形PECB的周长为y，求y与x的函数关系式．

测试4 相似三角形应用举例

学习要求

能运用相似三角形的知识，解决简单的实际问题．

课堂学习检测

一、选择题

1．已知一棵树的影长是30m，同一时刻一根长1.5m的标杆的影长为3m，则这棵树的高度是( )

A．15m B．60m C．20m D．

2．一斜坡长70m，它的高为5m，将某物从斜坡起点推到坡上20m处停止下，停下地点的高度为( )

A． B． C． D．

3．如图所示阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影长DE＝1.8m，窗户下檐距地面的距离BC＝1m，EC＝1.2m，那么窗户的高AB为( )

第3题图

A．1.5m B．1.6m C．1.86m D．2.16m

4．如图所示，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距离墙角1.6m，梯上点D距离墙1.4m，BD长0.55m，则梯子长为( )

第4题图

A．3.85m B．4.00m C．4.40m D．4.50m

二、填空题

5．如图所示，为了测量一棵树AB的高度，测量者在D点立一高CD＝2m的标杆，现测量者从E处可以看到杆顶C与树顶A在同一条直线上，如果测得BD＝20m，FD＝4m，EF＝1.8m，则树AB的高度为______m．

第5题图

6．如图所示，有点光源S在平面镜上面，若在P点看到点光源的反射光线，并测得AB＝10m，BC＝20cm，PC⊥AC，且PC＝24cm，则点光源S到平面镜的距离即SA的长度为______cm．

第6题图

三、解答题

7．已知：如图所示，要在高AD＝80mm，底边BC＝120mm的三角形余料中截出一个正方形板材PQMN．求它的边长．

8．如果课本上正文字的大小为4mm×3.5mm(高×宽)，一学生座位到黑板的距离是5m，教师在黑板上写多大的字，才能使该学生望去时，同他看书桌上相距30cm垂直放置的课本上的字感觉相同?

综合、运用、诊断

9．一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.8m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图所示，他先测得留在墙上的影高为1.2m，又测得地面部分的影长为5m，请算一下这棵树的高是多少?

10．(针孔成像问题)根据图中尺寸(如图，AB∥A′B′)，可以知道物像A′B′的长与物AB的长之间有什么关系?你能说出其中的道理吗?

11．在一次数学活动课上，李老师带领学生去测教学楼的高度，在阳光下，测得身高为1.65m的黄丽同学BC的影长BA为1.1m，与此同时，测得教学楼DE的影长DF为12.1m，如图所示，请你根据已测得的数据，测出教学楼DE的高度．(精确到0.1m)

12．(1)已知：如图所示，矩形ABCD中，AC，BD相交于O点，OE⊥BC于E点，连结ED交OC于F点，作FG⊥BC于G点，求证点G是线段BC的一个三等分点．

(2)请你仿照上面的画法，在原图上画出BC的一个四等分点．(要求：写出作法，保留画图痕迹，不要求证明)

测试5 相似三角形的性质

学习要求

掌握相似三角形的性质，解决有关的计算或证明问题．

课堂学习检测

一、填空题

1．相似三角形的对应角______，对应边的比等于______．

2．相似三角形对应边上的中线之比等于______，对应边上的高之比等于______，对应角的角平分线之比等于______．

3．相似三角形的周长比等于______．

4．相似三角形的面积比等于______．

5．相似多边形的周长比等于______，相似多边形的面积比等于______．

6．若两个相似多边形的面积比是16∶25，则它们的周长比等于______．

7．若两个相似多边形的对应边之比为5∶2，则它们的周长比是______，面积比是______．

8．同一个圆的内接正三角形与其外切正三角形的周长比是______，面积比是______．

9．同一个圆的内接正方形与其外切正方形的周长比是______，面积比是______．

10．同一个圆的内接正六边形与其外切正六边形的周长比是______，面积比是______．

11．正六边形的内切圆与它的外接圆的周长比是______，面积比是______．

12．在比例尺1∶1000的地图上，1cm²所表示的实际面积是______．

二、选择题

13．已知相似三角形面积的比为9∶4，那么这两个三角形的周长之比为( )

A．9∶4 B．4∶9 C．3∶2 D．81∶16

14．如图所示，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，AE交BD于点Q，若△DQE的面积为9，则△AQB的面积为( )

A．18 B．27 C．36 D．45

15．如图所示，把△ABC沿AB平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若 ，则此三角形移动的距离AA'是( )

A． B． C．1 D．

三、解答题

16．已知：如图，E、M是AB边的三等分点，EF∥MN∥BC．求：△AEF的面积∶四边形EMNF的面积∶四边形MBCN的面积．

综合、运用、诊断

17．已知：如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是角平分线．

(1)求证：AD²＝CD·AC；

(2)若AC＝a，求AD．

18．已知：如图，□ABCD中，E是BC边上一点，且 相交于F点．

(1)求△BEF的周长与△AFD的周长之比；

(2)若△BEF的面积S_△BEF＝6cm²，求△AFD的面积S_△AFD．

19．已知：如图，Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，DE∥AB．

(1)当△CDE的面积与四边形DABE的面积相等时，求CD的长；

(2)当△CDE的周长与四边形DABE的周长相等时，求CD的长．

拓展、探究、思考

20．已知：如图所示，以线段AB上的两点C，D为顶点，作等边△PCD．

(1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB．

(2)当△ACP∽△PDB时，求∠APB．

21．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD交于O点，若S_△AOD∶S_△DOC＝2∶3，求S_△AOB∶S_△COD．

22．已知：如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，AB＝3，BC＝11，DC＝6．请问：在BC上若存在点P，使得△ABP与△PCD相似，求BP的长及它们的面积比．

测试6 位 似

学习要求

1．理解位似图形的有关概念，能利用位似变换将一个图形放大或缩小．

2．能用坐标表示位似变形下图形的位置．

课堂学习检测

1．已知：四边形ABCD及点O，试以O点为位似中心，将四边形放大为原来的两倍．

(1) (2)

(3) (4)

2．如图，以某点为位似中心，将△AOB进行位似变换得到△CDE，记△AOB与△CDE对应边的比为k，则位似中心的坐标和k的值分别为( )

A．(0，0)，2

B．(2，2)，

C．(2，2)，2

D．(2，2)，3

综合、运用、诊断

3．已知：如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A(－4，2)，B(－2，－4)，C(6，－2)，D(2，4)．试以O点为位似中心作四边形A'B'C'D′，使四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为1∶2，并写出各对应顶点的坐标．

4．已知：如下图，是由一个等边△ABE和一个矩形BCDE拼成的一个图形，其B，C，D点的坐标分别为(1，2)，(1，1)，(3，1)．

(1)求E点和A点的坐标；

(2)试以点P(0，2)为位似中心，作出相似比为3的位似图形A₁B₁C₁D₁E₁，并写出各对应点的坐标；

(3)将图形A₁B₁C₁D₁E₁向右平移4个单位长度后，再作关于x轴的对称图形，得到图形A₂B₂C₂D₂E₂，这时它的各顶点坐标分别是多少?

拓展、探究、思考

5．在已知三角形内求作内接正方形．

6．在已知半圆内求作内接正方形．

答案与提示

第二十七章 相 似

测试1

1．形状相同的图形．

2．其中两条线段的比，另两条线段的比相等，比例线段．

3．对应角相等，对应边的比相等．

4．对应边的比，全等，

5．对应角相等，对应边的比相等．

6．两个内项之积等于两个外项之积，ad＝bc．

7．3∶2． 8． 9．1． 10．1 000．

11．C． 12．B． 13．C．

14．(1)k＝2∶3；(2)A＇B＇＝9，BC＝8；(3)3∶2．

15．

16．相似．

17． 时，S的最大值为

测试2

1．相似，A点，B点，C点，∠B，EF，DE．

2．≌，2，

3．∽；k₁k₂．

4．一边的直线，构成的三角形，相似．

5．①△ABC；②AC，DE；③EC，CE．

6．(1) (2) (3)

7．9.375cm．

8．(1)提示：过A点作直线AF＇∥DF，交直线BE于E＇，交直线CF于F＇．

(2)7.5．

9．提示：PA∶PB＝PM∶PN，PC∶PO＝PM∶PN．

10．OF＝6cm．提示：△DEF∽△BCF．

11．(1) (2)1∶2k．

测试3

1．平行于，直线，相交．

2．三组，比相等．

3．两组，相应的夹角．

4．两个，两个角对应相等．

5．△ABC∽△A＇C＇B＇，因为这两个三角形中有两对角对应相等．

6．△ABC∽△A＇B＇C＇．因为这两个三角形中有两对角对应相等．

7．△ABC∽△A＇B＇C＇，因为这两个三角形中，有两组对应边的比相等，且相应的夹角相等．

8．△ABC∽△DFE．因为这两个三角形中，三组对应边的比相等．

9．6对． 10．6对．

11．D． 12．D． 13．A．

14．(1)△ADC∽△CDB，△ADC∽△ACB，△ACB∽△CDB；

(2)略；

(3)

(4)

(5)提示：AC·BC＝2S_△ABC＝AB·CD．

15．提示：(1)OD∶OA＝OF∶OC，OE∶OB＝OF∶OC；

(2)OD∶OA＝OE∶OB，∠DOE＝∠AOB，得△ODE∽△OAB；

(3)证DF∶AC＝EF∶BC＝DE∶AB．

16．略．

17．提示：连结AE、ED，证△ABE∽△ECD．

18．提示：关键是证明△OBC∽△ADB．

∵AB是⊙O的直径，∴∠D＝90°．

∵BC是⊙O的切线，∴OB⊥BC．

∴∠OBC＝90°．∴∠D＝∠OBC．

∵AD∥OC，∴∠A＝∠BOC．∴△ADB∽△OBC．

∴AD·BC＝OB·BD．

19．提示：连接BF、AC，证∠CFB＝∠CBE

20． 提示：过C作CM∥BA，交ED于M．

21．相似．提示：由△BHA∽△AHC得 再有BA＝BD，AC＝AE．

则： 再有∠HBD＝∠HAE，得△BDH∽△AEH．

22． 提示：可证△APE∽△ACB，则

则

测试4

1．A． 2．B． 3．A． 4．C．

5．3． 6．12．

7．48mm．

8．教师在黑板上写的字的大小约为7cm×6cm(高×宽)．

9．树高7.45m．

10．

11．∵EF∥AC，∴∠CAB＝∠EFD．

又∠CBA＝∠EDF＝90°，∴△ABC∽△FDE．

故教学楼的高度约为18.2m．

12．(1)提示：先证EF∶ED＝1∶3．(2)略．

测试5

1．相等，相似比． 2．相似比、相似比、相似比．

3．相似比． 4．相似比的平方．

5．相似比．相似比的平方． 6．4∶5．

7．5∶2，25∶4． 8．1∶2，1∶4．

9． 10．

11． 12．100m²．

13．C. 14．C． 15．A． 16．1∶3∶5．

17．(1)提示：证△ABC∽△BCD；(2)

18．(1) (2)54cm²． 19．(1) (2)

20．(1)CD²＝AC·DB；(2)∠APB＝120°． 21．4∶9

22．BP＝2，或 或9．

当BP＝2时，S_△ABP∶S_△PCD＝1∶9；

当 时，S_△ABP∶S_△DCP＝1∶4；

当BP＝9时，S_△ABP：S_△PCD＝9∶4．

测试6

1．略． 2．C．

3．图略．A＇(－2，1)，B＇(－1，－2)，C＇(3，－1)，D＇(1，2)．

4．(1)

(2) B₁(3，2)，C₁(3，－1)，D₁(9，－1)，E₁(9，2)；

(3) B₂(7，－2)，C₂(7，1)，D₂(13，1)，E₂(13，－2)．

5．方法1：利用位似形的性质作图法(图16)

图16

作法：(1)在AB上任取一点G＇，作G＇D＇⊥BC；

(2)以G＇D＇为边，在△ABC内作一正方形D＇E＇F＇G＇；

(3)连结BF＇，延长交AC于F；

(4)作FG∥CB，交AB于G，从F，G各作BC的垂线FE，GD，那么DEFG就是所求作的内接正方形．

方法2：利用代数解析法作图(图17)

图17

(1)作AH(h)⊥BC(a)；

(2)求h＋a，a，h的比例第四项x；

(3)在AH上取KH＝x；

(4)过K作GF∥BC，交两边于G，F，从G，F各作BC的垂线GD，FE，那么DEFG就是所求的内接正方形．

6．提示：

正方形EFGH即为所求．