【332016】难点专题：二次函数的综合性问题(选做)

难点专题：二次函数的综合性问题(选做)

——代几结合，突破最值及点的存在性问题

类型一　二次函数中的线段(和、差)或周长最值问题

1．如图，已知抛物线y＝－x²＋mx＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(3，0)．

(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；

(2)点P是抛物线的对称轴直线l上的一个动点，当PA＋PC的值最小时，求点P的坐标．

2．如图，已知抛物线y＝a(x－1)²－3(a≠0)与y轴交于点A(0，－2)，顶点为B.

(1)试确定a的值，并写出B点的坐标；

(2)若某一次函数的图象经过A，B两点，试求出该一次函数的表达式；

(3)试在x轴上求一点P，使得△PAB的周长取最小值．

类型二　二次函数与三角形的综合

一、特殊三角形的存在性问题

3．(2017·怀化中考)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax²＋bx－5与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标．

4．阅读材料：如图①，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，AB的中点P的坐标为(x_p，y_p)．由x_p－x₁＝x₂－x_p，得x_p＝，同理得y_p＝，所以AB的中点坐标为P.由勾股定理得AB²＝|x₂－x₁|²＋|y₂－y₁|²，所以A，B两点间的距离公式为AB＝.

注：上述公式对A，B在平面直角坐标系中其他位置也成立．

解答下列问题：

如图②，抛物线y＝ax²＋bx－3(a≠0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且BO＝OC＝3AO，连接BC.

(1)求抛物线的表达式；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，试求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．

二、面积问题

5．(2017·齐齐哈尔中考)如图，已知抛物线y＝－x²＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．

(1)求此抛物线的表达式；

(2)直接写出点C和点D的坐标；

(3)若点P在第一象限内的抛物线上，且S_△ABP＝4S_△COE，求P点坐标．

类型三　二次函数与特殊四边形的综合

6．二次函数y＝x²的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B，C在二次函数y＝x²的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA＝120°，则菱形OBAC的面积为________．

7．★(2017·临沂中考)如图，抛物线y＝ax²＋bx－3经过点A(2，－3)，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点D在y轴上，且∠BDO＝∠BAC，求点D的坐标；

(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案与解析

1．解：(1)把点B的坐标(3，0)代入抛物线y＝－x²＋mx＋3中，得0＝－3²＋3m＋3，解得m＝2.∴y＝－x²＋2x＋3＝－(x－1)²＋4，∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．

(2)连接BC交抛物线的对称轴直线l于点P，再连接AP，则此时PA＋PC的值最小．设直线BC的表达式为y＝kx＋b，由(1)知点C的坐标为(0，3)，将点B(3，0)，C(0，3)代入y＝kx＋b中，得解得∴直线BC的表达式为y＝－x＋3.当x＝1时，y＝－1＋3＝2，∴当PA＋PC的值最小时，点P的坐标为(1，2)．

2．解：(1)把A(0，－2)代入y＝a(x－1)²－3得－2＝a(0－1)²－3，解得a＝1.∵B为顶点，∴B点的坐标为(1，－3)．

(2)设该一次函数的表达式为y＝kx＋b，将A，B两点的坐标代入表达式得∴∴该一次函数的表达式为y＝－x－2.

(3)将A点关于x轴的对称点记作A′，则A′(0，2)，连接A′B交x轴于点P，则P点即为所求．设直线A′B的表达式为y＝mx＋n，将A′，B两点的坐标代入表达式得

解得∴直线A′B的表达式为y＝－5x＋2.当y＝0时，x＝，∴P点的坐标为.

3．解：(1)∵点A(－1，0)，B(5，0)在抛物线y＝ax²＋bx－5上，∴∴∴抛物线的表达式为y＝x²－4x－5.

(2)令x＝0，则y＝－5，∴C(0，－5)，∴OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝45°.∵OA＝1，OB＝5，∴AB＝6，BC＝5.要使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，则有＝或＝，如图．①当＝时，CD＝AB＝6，∴D(0，1)；②当＝时，∴＝，∴CD＝，∴D.综上所述，点D的坐标为(0，1)或.

4．解：(1)∵抛物线y＝ax²＋bx－3交y轴于点C，∴点C的坐标为(0，－3)，∴OC＝3.∵BO＝OC＝3AO，∴BO＝3，AO＝1，∴点B的坐标为(3，0)，点A的坐标为(－1，0)．∵该抛物线与x轴交于A，B两点，∴解得

∴抛物线的表达式为y＝x²－2x－3.

(2)存在．由(1)知抛物线为y＝x²－2x－3，对称轴为直线x＝1.设P点的坐标为(1，m)．∵B点的坐标为(3，0)，C点的坐标为(0，－3)，∴BC＝3，PB＝，PC＝.∵△PBC是等腰三角形，分以下三种情况：①当PB＝PC时，∴＝，∴m＝－1，∴P点的坐标为(1，－1)；②当BC＝PB时，∴3＝，∴m＝±，∴P点的坐标为(1，)或(1，－)；③当BC＝PC时，∴3＝，∴m＝－3±，∴P点的坐标为(1，－3＋)或(1，－3－)．综上所述，符合条件的P点坐标为(1，－1)或(1，)或(1，－)或(1，－3＋)或(1，－3－)．

5．解：(1)将点A(－1，0)和点B(3，0)代入y＝－x²＋bx＋c得解得∴抛物线的表达式为y＝－x²＋2x＋3.

(2)令x＝0，则y＝3，∴C(0，3)．∵y＝－x²＋2x＋3＝－(x－1)²＋4，∴D(1，4)．

(3)设P(x，y)(x＞0，y＞0)，由(2)知y＝－(x－1)²＋4，即抛物线的对称轴为直线x＝1，易知AB＝4，CO＝3，∴S_△COE＝×1×3＝，S_△ABP＝×4y＝2y.又∵S_△ABP＝4S_△COE，∴2y＝4×，∴y＝3，即－x²＋2x＋3＝3，解得x₁＝0(不合题意，舍去)，x₂＝2，∴P(2，3)．

6．2　解析：连接BC.∵四边形OBAC为菱形，∴AC＝AB＝CO＝BO，BC⊥OA.∵∠OBA＝120°，∴∠CAB＝∠COB＝60°，∴△OBC，△ABC均是正三角形．设OA＝2a，BC＝2b，∴点B的坐标为(b，a)，∴a＝b².易知∠CAO＝30°，∴tan∠CAO＝＝＝，∴a＝b，∴b＝1，a＝.∴菱形OBAC的面积为×OA×BC＝×2a×2b＝2ab＝2.

7．解：(1)令x＝0，则y＝－3，∴C(0，－3)，∴OC＝3.∵OC＝3OB，∴OB＝1，∴B(－1，0)．把A(2，－3)，B(－1，0)代入y＝ax²＋bx－3，得∴∴抛物线的表达式为y＝x²－2x－3.

(2)连接AC，作BH⊥AC交AC的延长线于H，如图①.∵A(2，－3)，C(0，－3)，∴AH∥x轴，∴H(－1，－3)，∴BH＝3，AH＝3，∴∠BAC＝45°.设D(0，m)，则OD＝|m|.∵∠BDO＝∠BAC，∴∠BDO＝45°，∴OD＝OB＝1，∴|m|＝1，∴m＝±1，∴点D的坐标为(0，1)或(0，－1)．

(3)由(1)知抛物线的对称轴为直线x＝1.设M(c，c²－2c－3)，N(1，n)，要使以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，需分以下两种情况讨论：①以AB为边，则AB∥MN，AB＝MN.如图②，过M作ME⊥对称轴直线x＝1于E，过点A作AF⊥x轴于F，记直线AB与对称轴的交点为K，∴AF∥EK，∴∠BKE＝∠BAF.∵AB∥MN，∴∠MNE＝∠BKE，∴∠MNE＝∠BAF.又∵∠NEM＝∠AFB，NM＝AB，∴△NME≌△ABF，∴NE＝AF＝3，ME＝BF＝3，∴|c－1|＝3，∴c＝4或c＝－2，则c²－2c－3＝5，∴M(4，5)或(－2，5)；

②以AB为对角线，BN＝AM，BN∥AM，如图③，则N在x轴上，M与C重合，∴M(0，－3)．综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为(4，5)或(－2，5)或(0，－3)．