【331895】二次函数与一元二次方程复习2

22.2 二次函数与一元二次方程

一、填空题

1.如果抛物线y=－2x²+mx－3的顶点在x轴正半轴上，则m=______.

2.二次函数y=－2x²+x－ ，当x=______时，y有最______值，为______.它的图象与x轴______交点(填“有”或“没有”).

3.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图1所示.

①这个二次函数的表达式是y=______；②当x=______时，y=3；③根据图象回答：当x______时，y>0.

图1 图2

4.某一元二次方程的两个根分别为x₁=－2，x₂=5，请写出一个经过点(－2，0)，(5，0)两点二次函数的表达式：______.(写出一个符合要求的即可)

5.不论自变量x取什么实数，二次函数y=2x²－6x+m的函数值总是正值，你认为m的取值范围是______，此时关于一元二次方程2x²－6x+m=0的解的情况是______(填“有解”或“无解”).

6.某一抛物线开口向下，且与x轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为______(只写一个)，此类函数都有______值(填“最大”“最小”).

7.如图2，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A距地面的距离OA为1 m，球路的最高点B(8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m).

8

9.已知二次函数y=ax²+bx+ c(a≠0)的图象如图1所示，由抛物线的特征你能得到含有a、b、c三个字母的等式或不等式为______(写出一个即可).

10.等腰梯形的周长为60 cm，底角为60°，当梯形腰x=______时，梯形面积最大，等于______.

11.找出能反映下列各情景中两个变量间关系的图象，并将代号填在相应的横线上.

(1)一辆匀速行驶的汽车，其速度与时间的关系.对应的图象是______.

(2)正方形的面积与边长之间的关系.对应的图象是______.

(3)用一定长度的铁丝围成一个长方形，长方形的面积与其中一边的长之间的关系.对应的图象是______.

(4)在220 V电压下，电流强度与电阻之间的关系.对应的图象是______.

12.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个.若这种商品的

零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价______元，最大利润为______元.

二、选择题

13.关于二次函数y=ax²+bx+c的图象有下列命题，其中是假命题的个数是（ ）

①当c=0时，函数的图象经过原点; ②当b=0时，函数的图象关于 y轴对称;

③函数的图象最高点的纵坐标是 ;

④当c>0且函数的图象开口向下时，方程ax²+bx+c=0必有两个不相等的实根( )

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

14.已知抛物线y=ax²+bx+c如图所示，则关于x的方程ax²+bx+c－8=0的根的情况是

A.有两个不相等的正实数根 ; B.有两个异号实数根;

C.有两个相等的实数根 ; D.没有实数根.

15.抛物线y=kx²－7x－7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是( )

A.k>－ ; B.k≥－ 且k≠0; C.k≥－ ; D.k>－ 且k≠0

16.如图6所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形A BCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB=x m，长方形的面积为y m2，要使长方形的面积最大，其边长x应为( )

A. m B.6 m C.15 m D. m

图4 图5 图6

17.二次函数y=x²－4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，△ABC的面积为( )

A.1 B.3 C.4 D.6

18.无论m为任何实数，二次函数y=x²+(2－m)x+m的图象总过的点是( )

A.(－1，0); B.(1，0) C.(－1，3) ; D.(1，3)

19.为了备战2012英国伦敦奥运会，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处的挑射，正好从2.4米高(球门横梁底侧高)入网.若足球运行的路线是抛物线y =ax2+bx+c(如图5所示)，则下列结论正确的是( )

①a<－ ②－ <a<0 ③a －b+c>0 ④0<b<－12a

A.①③ B.①④ C.②③ D.②④

20.把一个小球以20 m/s的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系h=20t－5t^2.当h=20 m时，小球的运动时间为 （ ）

A.20 s B.2 s C.(2 +2) s D.(2 －2) s

21.如果抛物线y=－x²+2(m－1)x+m+1与x轴交于A、B两点，且A点在x轴正半轴上，B点在x轴的负半轴上，则m的取值范围应是( )

A.m>1 B.m>－1 C.m<－1 D.m<1

22.如图7，一次函数y=－2x+3的图象与x、y轴分别相交于A、C两点，二次函数y=x²+bx+c的图象过点c且 与一次函数在第二象限交于另一点B，若AC∶CB=1∶2，那么，这个二次函数的顶点坐标为( )

A.(－ ， ) B.(－ ， ) C.( ， ) D.( ，－ )

23.某乡镇企业现在年产值是15万元，如果每增加100元投资，一年增加250元产值，那么总产值y(万元)与新增加的投资额x(万元)之间函数关系为( )

A.y=25x+15 B.y=2.5x+1.5 C.y=2.5x+15 D.y=25x+1.5

24.如图8，铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之 间的函数关系式是y=－ x²+ x+ ， 则该运动员此次掷铅球的成绩是( )

A.6 m B.12 m C.8 m D.10 m

图7 图8 图9

25.某幢建筑物，从10 m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图9，如果抛物线的最高点M离墙1 m，离地面 m，则水流落地点B离墙的距离OB是( )

A.2 m B.3 m C.4 m D.5 m

三、解答题

26.求下列二次函数的图像与x轴的交点坐标,并作草图验证.

(1)y= x²+x+1; (2)y=4x2-8x+4; (3)y=-3x2-6x-3; (4)y=-3x2-x+4

27若二次函数y=- x2+bx+c的图象与x轴相交于A(-5,0),B(-1,0).

(1)求这个二次函数的关系式;

(2)如果要通过适当的平移,使得这个函数的图象与x轴只有一个交点,那么应该怎样平移?向右还是向左?或者是向上还是向 下?应该平移向个单位?

28. 已知抛物线L;y=ax²+bx+c(其中a、b、c都不等于0), 它的顶点P的坐标是 ,与y轴的交点是M(0,c)我们称以M为顶点,对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线,直线PM为L的伴随直线.

(1)请直接写出抛物线y=2x²-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的关系式:

伴随抛物线的关系式_________________

伴随直线的关系式___________________

(2)若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x²-3和y=-x-3, 则这条抛物线的关系是___________:

(3)求抛物线L:y=ax²+bx+c(其中a、b、c都不等于0) 的伴随抛物线和伴随直线的关系式;

(4)若抛物线L与x轴交于A(x₁,0),B(x₂,0)两点x₂>x₁>0,它的伴随抛物线与x 轴交于C,D两点,且AB=CD,请求出a、b、c应满足的条件.

29.已知二次函数y=-x²+4x-3,其图像与y轴交于点B,与x轴交于A, C 两点. 求△ABC的周长和面积.

●能力提升

30.某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足关系：m=140－2x.

(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函 数关系式;

(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

31.现有铝合金窗框材料8米,准备用它做一个如图所示的长方形窗架( 窗架宽度AB必须小于窗户的高度BC).已知窗台距离房屋天花板2.2米.设AB为x米,窗户的总面积为S(平方米).

(1)试写出S与x的函数关系式;

(2)求自变量x的取值范围.

32.如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x m.

(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？

(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？

33.当运动中的汽车撞到物体时，汽车所受到的损坏 程度可以用“撞击影响”来衡量.某型汽车的撞击影响可以用公式I=2v2来表示，其中v(千米/分)表示汽车的速度;

(1)列表表示I与v的关系.

(2)当汽车的速度扩大为原来的2倍时，撞击影响扩大为原来的多少倍？

34.如图7，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线， 当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.

(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式;

(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手， 问：球出手时，他跳离地面的高度是多少.

35.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数的图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系).

(1)根据图象你可获得哪些 关于该公司的具体信息？(至少写出三条)

(2)还能提出其他相关的问题吗？若不能，说明理由；若能，进行解答，并与同伴交流.

参考答案

1.2 2. 大 － 没有

3.①x2－2x ②3或－1 ③<0 或>2 4. y=x2－3x－10

5 . m>  无解 6.y=－x2+x－1 最大

7 .y=－ x2+2x+1 16.5

8 . 2 9.b2－4ac>0(不唯一)

10 . 15 cm cm2

11.(1)A (2 )D (3)C (4)B

12. 5 625

13.B 14.C 15.B 16.D 17.B 18.D 19.B

20.B 21. B 22.A 23.C 24.D

25.B〔提示：设水流的解析式为y=a(x－h)2+k,

∴A(0，10)，M(1， ).

∴y=a(x－1)2+ ，10=a+ .

∴a=－ .

∴y=－ (x－1)2+ .

令y=0得x=－1或x=3得B(3，0),

即B点离墙的距离OB是3 m

26.(1)没有交点;(2)有一个交点(1,0);(3)有一个交点(-1,0);(4)有两个交点( 1,0),( ,0),草图略.

27(1)∵y= x2+bx+c,把A(-5,0),B(-1,0)代入上式,得

∴ , ,

∴y= .

(2)∵y= =

∴顶点坐标为(-3,2),

∴欲使函数的图象与x轴只有一个交点,应向下平移2个单位.

28(1)y=-2x2+1,y=-2x+1.

(2)y=x2-2x-3

(3)∵伴随抛物线的顶点是(0,c),

∴设它的解析式为y=m(x-0)2+c(m≠0).

∴设抛物线过P ,

∴

解得m=-a,∴伴随抛物线关系式为y=-ax2+c.

设伴随直线关系式为y=kx+c(k≠0).

∵P 在此直线上,∴ , ∴k= .

∴伴随直线关系式为y= x+c

(4)∵抛物线L与x轴有两交点,∴△1=b2-4ac>0,∴b2<4ac.

∵x2>x1>0,∴x1+ x2= - >0,x1x2= >0,∴ab<0,ac>0.

对于伴随抛物线y=-ax2+c,有△2=02-(-4ac)=4ac>0.由-ax2+c=0,得x= .

∴ ,∴CD=2 .

又AB=x2-x1= .

由AB=CD ,得 =2 , 整理得b2=8ac,综合b2>4ac,ab<0,ac>0,b2=8 ac,得a,b,c满足的条件为b2=8ac且ab<0,(或b2=8ac且bc<0).

29.令x=0,得y=-3,故B点坐标为(0,-3).

解方程-x2+4x-3=0,得x1=1,x2=3.

故A、C两点的坐标为(1,0),(3,0).

所以AC=3-1=2,AB= ,BC= , OB=│-3│=3.

C△ABC=AB+BC+AC= .

S△ABC= AC·OB= ×2×3=3.

30．(1)y=－2x2+180x－2800.

(2)y=－2x2+180x－2800

=－2(x2－90x)－2800

=－2(x－45)2+1250.

当x=45时，y最大=1250.

∴每件商品售价定为45元最合适，此销售利润最大，为1250元.

31．(1)S=4x- x2;(2)1.2≤x<1.6

32(1)依题意得

鸡场面积y=－

∵y=－ x2+ x= (x2－50x)

=－ (x－25)2+ ,

∴当x=25时，y最大= ,

即鸡场的长度为25 m时，其面积最大为 m2.

(2)如中间有几道隔墙，则隔墙长为 m.

∴y= ·x=－ x2+ x

=－ (x2－50x ) =－ (x－25)2+ ,

当x=25时，y最大= ,

即鸡场的长度为25 m时，鸡场面积为 m2.

结论：无论鸡场中间有多少道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，其长都是25 m.

33(1)如下表

(2)I=2·(2v)2=4×2v2­­.

当汽车的速度扩大为原来的2倍时，撞击影响扩大为原来的4倍.

3 4(1)设抛物线的表达式为y= ax2+bx+c.

由图知图象过以下点：(0，3.5)，(1.5，3.05).

∴抛物线的表达式为y= －0.2x2+3.5.

(2)设球出手时，他跳离地面的高度为h m，则球出手时，球的高度为

h+1.8+0.25=(h+2.05) m,

∴h+2.05=－0.2×(－2.5)2+3.5,

∴h=0.2(m).