【331893】二次函数与一元二次方程

二次函数与一元二次方程

一、选择题（共14小题）

1．小兰画了一个函数y=x²+ax+b的图象如图，则关于x的方程x²+ax+b=0的解是（　　）

A．无解 B．x=1 C．x=﹣4 D．x=﹣1或x=4

2．下列关于二次函数y=ax²﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（　　）

A．没有交点

B．只有一个交点，且它位于y轴右侧

C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧

D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧

3．二次函数y=a（x﹣4）²﹣4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（　　）

A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2

4．若二次函数y=x²+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x²+bx=5的解为（　　）

A．x₁=0，x₂=4 B．x₁=1，x₂=5 C．x₁=1，x₂=﹣5 D．x₁=﹣1，x₂=5

5．已知抛物线y=﹣ x²+ x+6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C．若D为AB的中点，则CD的长为（　　）

A． B． C． D．

6．如图，抛物线y=﹣2x²+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C₁，将C₁向右平移得C₂，C₂与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C₁、C₂共有3个不同的交点，则m的取值范围是（　　）

A．﹣2＜m＜ B．﹣3＜m＜﹣ C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m＜﹣

7．二次函数y=x²+x+c的图象与x轴的两个交点A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁＜x₂，点P（m，n）是图象上一点，那么下列判断正确的是（　　）

A．当n＜0时，m＜0 B．当n＞0时，m＞x₂

C．当n＜0时，x₁＜m＜x₂ D．当n＞0时，m＜x₁

8．如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞4

9．下列图形中阴影部分的面积相等的是（　　）

A．②③ B．③④ C．①② D．①④

10．已知抛物线y=x²﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m²﹣m+2014的值为（　　）

A．2012 B．2013 C．2014 D．2015

11．“如果二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（　　）

A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b

12．设二次函数y₁=a（x﹣x₁）（x﹣x₂）（a≠0，x₁≠x₂）的图象与一次函数y₂=dx+e（d≠0）的图象交于点（x₁，0），若函数y=y₁+y₂的图象与x轴仅有一个交点，则（　　）

A．a（x₁﹣x₂）=d B．a（x₂﹣x₁）=d C．a（x₁﹣x₂）²=d D．a（x₁+x₂）²=d

13．若二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x₁，0）、（x₂，0），且x₁＜x₂，图象上有一点M（x₀，y₀），在x轴下方，则下列判断正确的是（　　）

A．a（x₀﹣x₁）（x₀﹣x₂）＜0 B．a＞0

C．b²﹣4ac≥0 D．x₁＜x₀＜x₂

14．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的图象如图，ax²+bx+c=m有实数根的条件是（　　）

A．m≥﹣2 B．m≥5 C．m≥0 D．m＞4

二、填空题（共6小题）

15．关于x的一元二次方程ax²﹣3x﹣1=0的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a的取值范围是　　　　　　．

16．已知抛物线p：y=ax²+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x²+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为　　　　　　．

17．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为　　　　　　．

18．已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为　　　　　　．

19．已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴的公共点是（﹣4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线　　　　　　．

20．已知抛物线y=x²﹣k的顶点为P，与x轴交于点A，B，且△ABP是正三角形，则k的值是　　　　　　．

三、解答题（共10小题）

21．已知抛物线y=（x﹣m）²﹣（x﹣m），其中m是常数．

（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；

（2）若该抛物线的对称轴为直线x= ．

①求该抛物线的函数解析式；

②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．

22．如图，抛物线y=x²+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）．请解答下列问题：

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长．

注：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣ ．

23．已知关于x的一元二次方程：x²﹣（m﹣3）x﹣m=0．

（1）试判断原方程根的情况；

（2）若抛物线y=x²﹣（m﹣3）x﹣m与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．

（友情提示：AB=|x₂﹣x₁|）

24．已知关于x的方程kx²+（2k+1）x+2=0．

（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；

（2）当抛物线y=kx²+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y₁），Q（1，y₂）是此抛物线上的两点，且y₁＞y₂，请结合函数图象确定实数a的取值范围；

（3）已知抛物线y=kx²+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．

25．已知二次函数y=﹣x²+2x+m．

（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；

（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．

26．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．

（1）请直接写出D点的坐标．

（2）求二次函数的解析式．

（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．

27．抛物线y=x²﹣4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点C是此抛物线的顶点．

（1）求点A、B、C的坐标；

（2）点C在反比例函数y= （k≠0）的图象上，求反比例函数的解析式．

28．已知二次函数y=x²﹣4x+3．

（1）用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；

（2）求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．

29．如图，抛物线y=﹣x²+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为（﹣1，0）．

（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标．

（2）求△EMF与△BNF的面积之比．

30．已知二次函数y=x²﹣2mx+m²+3（m是常数）．

（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；

（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？

2016年人教版九年级数学上册同步测试：22.2 二次函数与一元二次方程

参考答案与试题解析

一、选择题（共14小题）

1．小兰画了一个函数y=x²+ax+b的图象如图，则关于x的方程x²+ax+b=0的解是（　　）

A．无解 B．x=1 C．x=﹣4 D．x=﹣1或x=4

【分析】关于x的方程x²+ax+b=0的解是抛物线y=x²+ax+b与x轴交点的横坐标．

【解答】解：如图，∵函数y=x²+ax+b的图象与x轴交点坐标分别是（﹣1，0），（4，0），

∴关于x的方程x²+ax+b=0的解是x=﹣1或x=4．

故选：D．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．

2．下列关于二次函数y=ax²﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（　　）

A．没有交点

B．只有一个交点，且它位于y轴右侧

C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧

D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧

【专题】压轴题．

【分析】根据函数值为零，可得相应的方程，根据根的判别式，公式法求方程的根，可得答案．

【解答】解：当y=0时，ax²﹣2ax+1=0，

∵a＞1

∴△=（﹣2a）²﹣4a=4a（a﹣1）＞0，

ax²﹣2ax+1=0有两个根，函数与有两个交点，

x= ＞0，

故选：D．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用了函数与方程的关系，方程的求根公式．

3．二次函数y=a（x﹣4）²﹣4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（　　）

A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2

【分析】根据抛物线顶点式得到对称轴为直线x=4，利用抛物线对称性得到抛物线在1＜x＜2这一段位于x轴的上方，而抛物线在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，于是可得抛物线过点（2，0），然后把（2，0）代入y=a（x﹣4）²﹣4（a≠0）可求出a的值．

【解答】解：∵抛物线y=a（x﹣4）²﹣4（a≠0）的对称轴为直线x=4，

而抛物线在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，

∴抛物线在1＜x＜2这一段位于x轴的上方，

∵抛物线在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，

∴抛物线过点（2，0），

把（2，0）代入y=a（x﹣4）²﹣4（a≠0）得4a﹣4=0，解得a=1．

故选A．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．△=b²﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

4．若二次函数y=x²+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x²+bx=5的解为（　　）

A．x₁=0，x₂=4 B．x₁=1，x₂=5 C．x₁=1，x₂=﹣5 D．x₁=﹣1，x₂=5

【分析】根据对称轴方程﹣ =2，得b=﹣4，解x²﹣4x=5即可．

【解答】解：∵对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，

∴﹣ =2，

解得：b=﹣4，

解方程x²﹣4x=5，

解得x₁=﹣1，x₂=5，

故选：D．

【点评】本题主要考查二次函数的对称轴和二次函数与一元二次方程的关系，难度不大．

5．已知抛物线y=﹣ x²+ x+6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C．若D为AB的中点，则CD的长为（　　）

A． B． C． D．

【专题】压轴题．

【分析】令y=0，则﹣ x²+ x+6=0，由此得到A、B两点坐标，由D为AB的中点，知OD的长，x=0时，y=6，所以OC=6，根据勾股定理求出CD即可．

【解答】解：令y=0，则﹣ x²+ x+6=0，

解得：x₁=12，x₂=﹣3

∴A、B两点坐标分别为（12，0）（﹣3，0）

∵D为AB的中点，

∴D（4.5，0），

∴OD=4.5，

当x=0时，y=6，

∴OC=6，

∴CD= = ．

故选：D．

【点评】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系和抛物线的对称性，求出AB中点D的坐标是解决问题的关键．

A．﹣2＜m＜ B．﹣3＜m＜﹣ C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m＜﹣

【专题】压轴题．

【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C₂解析式，分别求出直线y=x+m与抛物线C₂相切时m的值以及直线y=x+m过点B时m的值，结合图形即可得到答案．

【解答】解：令y=﹣2x²+8x﹣6=0，

即x²﹣4x+3=0，

解得x=1或3，

则点A（1，0），B（3，0），

由于将C₁向右平移2个长度单位得C₂，

则C₂解析式为y=﹣2（x﹣4）²+2（3≤x≤5），

当y=x+m₁与C₂相切时，

令y=x+m₁=y=﹣2（x﹣4）²+2，

即2x²﹣15x+30+m₁=0，

△=﹣8m₁﹣15=0，

解得m₁=﹣ ，

当y=x+m₂过点B时，

即0=3+m₂，

m₂=﹣3，

当﹣3＜m＜﹣ 时直线y=x+m与C₁、C₂共有3个不同的交点，

故选：D．

【点评】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．

7．二次函数y=x²+x+c的图象与x轴的两个交点A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁＜x₂，点P（m，n）是图象上一点，那么下列判断正确的是（　　）

A．当n＜0时，m＜0 B．当n＞0时，m＞x₂

C．当n＜0时，x₁＜m＜x₂ D．当n＞0时，m＜x₁

【分析】首先根据a确定开口方向，再确定对称轴，根据图象分析得出结论．

【解答】解：∵a=1＞0，

∴开口向上，

∵抛物线的对称轴为：x=﹣ =﹣ = ，

二次函数y=x²+x+c的图象与x轴的两个交点A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁＜x₂，

无法确定x₁与x₂的正负情况，

∴当n＜0时，x₁＜m＜x₂，但m的正负无法确定，故A错误，C正确；

当n＞0时，m＜x₁ 或m＞x₂，故B，D错误，

故选C．

【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数图象以及图象上点的坐标特征是解题的关键．

8．如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞4

【分析】利用当函数值y＞0时，即对应图象在x轴上方部分，得出x的取值范围即可．

【解答】解：如图所示：当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是：﹣2＜x＜4．

故选：B．

【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，利用数形结合得出是解题关键．

9．下列图形中阴影部分的面积相等的是（　　）

A．②③ B．③④ C．①② D．①④

【分析】首先根据各图形的函数解析式求出函数与坐标轴交点的坐标，进而可求得各个阴影部分的面积，进而可比较出个阴影部分面积的大小关系．

【解答】解：①：图中的函数为正比例函数，与坐标轴只有一个交点（0，0），由于缺少条件，无法求出阴影部分的面积；

②：直线y=﹣x+2与坐标轴的交点坐标为：（2，0），（0，2），故S_阴影= ×2×2=2；

③：此函数是反比例函数，那么阴影部分的面积为：S= xy= ×4=2；

④：该抛物线与坐标轴交于：（﹣1，0），（1，0），（0，﹣1），故阴影部分的三角形是等腰直角三角形，其面积S= ×2×1=1；

②③的面积相等，

故选：A．

【点评】此题主要考查了函数图象与坐标轴交点坐标的求法以及图形面积的求法，是基础题，熟练掌握各函数的图象特点是解决问题的关键．

10．已知抛物线y=x²﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m²﹣m+2014的值为（　　）

A．2012 B．2013 C．2014 D．2015

【分析】把x=m代入方程x²﹣x﹣1=0求得m²﹣m=1，然后将其整体代入代数式m²﹣m+2014，并求值．

【解答】解：∵抛物线y=x²﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），

∴m²﹣m﹣1=0，

解得 m²﹣m=1．

∴m²﹣m+2014=1+2014=2015．

故选：D．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，注意“整体代入”数学思想的应用，减少了计算量．

A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b

【专题】数形结合．

【分析】依题意画出函数y=（x﹣a）（x﹣b）图象草图，根据二次函数的增减性求解．

【解答】解：依题意，画出函数y=（x﹣a）（x﹣b）的图象，如图所示．

函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b（a＜b）．

方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0

转化为（x﹣a）（x﹣b）=1，

方程的两根是抛物线y=（x﹣a）（x﹣b）与直线y=1的两个交点．

由m＜n，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n．

由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m＜a；在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有b＜n．

综上所述，可知m＜a＜b＜n．

故选：A．

【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，考查了数形结合的数学思想．解题时，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算．

12．（2015•杭州）设二次函数y₁=a（x﹣x₁）（x﹣x₂）（a≠0，x₁≠x₂）的图象与一次函数y₂=dx+e（d≠0）的图象交于点（x₁，0），若函数y=y₁+y₂的图象与x轴仅有一个交点，则（　　）

A．a（x₁﹣x₂）=d B．a（x₂﹣x₁）=d C．a（x₁﹣x₂）²=d D．a（x₁+x₂）²=d

【专题】压轴题．

【分析】首先根据一次函数y₂=dx+e（d≠0）的图象经过点（x₁，0），可得y₂=d（x﹣x₁），y=y₁+y₂=ax²+（d﹣ax₂﹣ax₁）x+ax₁x₂﹣dx₁；然后根据函数y=y₁+y₂的图象与x轴仅有一个交点，可得函数y=y₁+y₂与x轴的交点为（x₁，0），再结合对称轴公式求解．

【解答】解：∵一次函数y₂=dx+e（d≠0）的图象经过点（x₁，0），

∴dx₁+e=0，

∴y₂=d（x﹣x₁），

∴y=y₁+y₂=a（x﹣x₁）（x﹣x₂）+d（x﹣x₁）

=ax²﹣axx₂﹣ax₁x+ax₁x₂+dx﹣dx₁

=ax²+（d﹣ax₂﹣ax₁）x+ax₁x₂﹣dx₁

∵当x=x₁时，y₁=0，y₂=0，

∴当x=x₁时，y=y₁+y₂=0，

∵y=ax²+（d﹣ax₂﹣ax₁）x+ax₁x₂﹣dx₁与x轴仅有一个交点，

∴y=y₁+y₂的图象与x轴的交点为（x₁，0）

∴ =x₁，

化简得：a（x₂﹣x₁）=d

故选：B．

【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，以及曲线上点的坐标与方程的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：函数y=y₁+y₂与x轴的交点为（x₁，0）．

A．a（x₀﹣x₁）（x₀﹣x₂）＜0 B．a＞0

C．b²﹣4ac≥0 D．x₁＜x₀＜x₂

【分析】由于a的符号不能确定，故应分a＞0与a＜0进行分类讨论．

【解答】解：A、当a＞0时，

∵点M（x₀，y₀），在x轴下方，

∴x₁＜x₀＜x₂，

∴x₀﹣x₁＞0，x₀﹣x₂＜0，

∴a（x₀﹣x₁）（x₀﹣x₂）＜0；

当a＜0时，若点M在对称轴的左侧，则x₀＜x₁＜x₂，

∴x₀﹣x₁＜0，x₀﹣x₂＜0，

∴a（x₀﹣x₁）（x₀﹣x₂）＜0；

若点M在对称轴的右侧，则x₁＜x₂＜x₀，

∴x₀﹣x₁＞0，x₀﹣x₂＞0，

∴a（x₀﹣x₁）（x₀﹣x₂）＜0；

综上所述，a（x₀﹣x₁）（x₀﹣x₂）＜0，故本选项正确；

B、a的符号不能确定，故本选项错误；

C、∵函数图象与x轴有两个交点，∴△＞0，故本选项错误；

D、x₁、x₀、x₂的大小无法确定，故本选项错误．

故选A．

【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，在解答此题时要注意进行分类讨论．

14．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的图象如图，ax²+bx+c=m有实数根的条件是（　　）

A．m≥﹣2 B．m≥5 C．m≥0 D．m＞4

【专题】数形结合．

【分析】根据题意利用图象直接得出m的取值范围即可．

【解答】解：一元二次方程ax²+bx+c=m有实数根，

可以理解为y=ax²+bx+c和y=m有交点，

可见，m≥﹣2，

故选：A．

【点评】此题主要考查了利用图象观察方程的解，正确利用数形结合得出是解题关键．

二、填空题（共6小题）

15．关于x的一元二次方程ax²﹣3x﹣1=0的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a的取值范围是　＜a＜﹣2　．

【专题】压轴题．

【分析】首先根据根的情况利用根的判别式解得a的取值范围，然后根据根两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），结合函数图象确定其函数值的取值范围得a，易得a的取值范围．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax²﹣3x﹣1=0的两个不相等的实数根

∴△=（﹣3）²﹣4×a×（﹣1）＞0，

解得：a＞

设f（x）=ax²﹣3x﹣1，如图，

∵实数根都在﹣1和0之间，

∴﹣1 ，

∴a ，

且有f（﹣1）＜0，f（0）＜0，

即f（﹣1）=a×（﹣1）²﹣3×（﹣1）﹣1＜0，f（0）=﹣1＜0，

解得：a＜﹣2，

∴ ＜a＜﹣2，

故答案为：＜a＜﹣2．

【点评】本题主要考查了一元二次方程根的情况的判别及抛物线与x轴的交点，数形结合确定当x=0和当x=﹣1时函数值的取值范围是解答此题的关键．

【专题】压轴题；新定义．

【分析】先求出y=x²+2x+1和y=2x+2的交点C′的坐标为（1，4），再求出“梦之星”抛物线y=x²+2x+1的顶点A坐标（﹣1，0），接着利用点C和点C′关于x轴对称得到C（1，﹣4），则可设顶点式y=a（x﹣1）²﹣4，

然后把A点坐标代入求出a的值即可得到原抛物线解析式．

【解答】解：∵y=x²+2x+1=（x+1）²，

∴A点坐标为（﹣1，0），

解方程组得或，

∴点C′的坐标为（1，4），

∵点C和点C′关于x轴对称，

∴C（1，﹣4），

设原抛物线解析式为y=a（x﹣1）²﹣4，

把A（﹣1，0）代入得4a﹣4=0，解得a=1，

∴原抛物线解析式为y=（x﹣1）²﹣4=x²﹣2x﹣3．

故答案为y=x²﹣2x﹣3．

【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点：求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．△=b²﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数，△=b²﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

17．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为　0　．

【专题】数形结合．

【分析】依据抛物线的对称性求得与x轴的另一个交点，代入解析式即可．

【解答】解：设抛物线与x轴的另一个交点是Q，

∵抛物线的对称轴是过点（1，0），与x轴的一个交点是P（4，0），

∴与x轴的另一个交点Q（﹣2，0），

把（﹣2，0）代入解析式得：0=4a﹣2b+c，

∴4a﹣2b+c=0，

故答案为：0．

【点评】本题考查了抛物线的对称性，知道与x轴的一个交点和对称轴，能够表示出与x轴的另一个交点，求得另一个交点坐标是本题的关键．

18．已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为　8　．

【分析】由抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为直线x=2，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣2，0），根据二次函数的对称性，求得B点的坐标，再求出AB的长度．

【解答】解：∵对称轴为直线x=2的抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，

∴A、B两点关于直线x=2对称，

∵点A的坐标为（﹣2，0），

∴点B的坐标为（6，0），

AB=6﹣（﹣2）=8．

故答案为：8．

【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点．此题难度不大，解题的关键是求出B点的坐标．

19．已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴的公共点是（﹣4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线　x=﹣1　．

【专题】待定系数法．

【分析】因为点（﹣4，0）和（2，0）的纵坐标都为0，所以可判定是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x= 求解即可．

【解答】解：∵抛物线与x轴的交点为（﹣4，0），（2，0），

∴两交点关于抛物线的对称轴对称，

则此抛物线的对称轴是直线x= =﹣1，即x=﹣1．

故答案是：x=﹣1．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，以及如何求二次函数的对称轴，对于此类题目可以用公式法也可以将函数化为顶点式来求解，也可以用公式x= 求解，即抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点是（x₁，0），（x₂，0），则抛物线的对称轴为直线x= ．

20．已知抛物线y=x²﹣k的顶点为P，与x轴交于点A，B，且△ABP是正三角形，则k的值是　3　．

【专题】数形结合．

【分析】根据抛物线y=x²﹣k的顶点为P，可直接求出P点的坐标，进而得出OP的长度，又因为△ABP是正三角形，得出∠OPB=30°，利用锐角三角函数即可求出OB的长度，得出B点的坐标，代入二次函数解析式即可求出k的值．

【解答】解：∵抛物线y=x²﹣k的顶点为P，

∴P点的坐标为：（0，﹣k），

∴PO=k，

∵抛物线y=x²﹣k与x轴交于A、B两点，且△ABP是正三角形，

∴OA=OB，∠OPB=30°，

∴tan30°= = ，

∴OB= k，

∴点B的坐标为：（ k，0），点B在抛物线y=x²﹣k上，

∴将B点代入y=x²﹣k，得：

0=（ k）²﹣k，

整理得： ﹣k=0，

解得：k₁=0（不合题意舍去），k₂=3．

故答案为：3．

【点评】此题主要考查了二次函数顶点坐标的求法，以及正三角形的性质和锐角三角函数求值问题等知识，求出A或B点的坐标进而代入二次函数解析式是解决问题的关键．

三、解答题（共10小题）

21．已知抛物线y=（x﹣m）²﹣（x﹣m），其中m是常数．

（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；

（2）若该抛物线的对称轴为直线x= ．

①求该抛物线的函数解析式；

②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．

【专题】计算题．

【分析】（1）先把抛物线解析式化为一般式，再计算△的值，得到△=1＞0，于是根据△=b²﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数即可判断不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；

（2）①根据对称轴方程得到=﹣ = ，然后解出m的值即可得到抛物线解析式；

②根据抛物线的平移规律，设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y=x²﹣5x+6+k，再利用抛物线与x轴的只有一个交点得到△=5²﹣4（6+k）=0，

然后解关于k的方程即可．

【解答】（1）证明：y=（x﹣m）²﹣（x﹣m）=x²﹣（2m+1）x+m²+m，

∵△=（2m+1）²﹣4（m²+m）=1＞0，

∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；

（2）解：①∵x=﹣ = ，

∴m=2，

∴抛物线解析式为y=x²﹣5x+6；

②设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y=x²﹣5x+6+k，

∵抛物线y=x²﹣5x+6+k与x轴只有一个公共点，

∴△=5²﹣4（6+k）=0，

∴k= ，

即把该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．

22．如图，抛物线y=x²+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）．请解答下列问题：

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长．

注：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣ ．

【分析】（1）由于抛物线y=x²+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，根据待定系数法可求抛物线的解析式；

（2）先得到点E（2，﹣3），根据勾股定理可求BE，再根据直角三角形的性质可求线段HF的长；

【解答】解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），

∴

解得：，

∴抛物线的解析式为：y=x²﹣2x﹣3；

（2）∵点E（2，m）在抛物线上，

∴m=4﹣4﹣3=﹣3，

∴E（2，﹣3），

∴BE= = ，

∵点F是AE中点，抛物线的对称轴与x轴交于点H，即H为AB的中点，

∴FH是三角形ABE的中位线，

∴FH= BE= × = ．

【点评】考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，勾股定理，直角三角形的性质，方程思想的应用，综合性较强，有一定的难度．

23．已知关于x的一元二次方程：x²﹣（m﹣3）x﹣m=0．

（1）试判断原方程根的情况；

（友情提示：AB=|x₂﹣x₁|）

【分析】（1）根据根的判别式，可得答案；

（2）根据根与系数的关系，可得A、B间的距离，根据二次函数的性质，可得答案．

【解答】解：（1）△=[﹣（m﹣3）]²﹣4（﹣m）=m²﹣2m+9=（m﹣1）²+8，

∵（m﹣1）²≥0，

∴△=（m﹣1）²+8＞0，

∴原方程有两个不等实数根；

（2）存在，

由题意知x₁，x₂是原方程的两根，

∴x₁+x₂=m﹣3，x₁•x₂=﹣m．

∵AB=|x₁﹣x₂|，

∴AB²=（x₁﹣x₂）²=（x₁+x₂）²﹣4x₁x₂

=（m﹣3）²﹣4（﹣m）=（m﹣1）²+8，

∴当m=1时，AB²有最小值8，

∴AB有最小值，即AB= =2

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用了根的判别式，根据根与系数的关系，利用完全平方公式得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质．

24．已知关于x的方程kx²+（2k+1）x+2=0．

（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；

（3）已知抛物线y=kx²+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．

【分析】（1）分类讨论：该方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况．当该方程为一元二次方程时，根的判别式△≥0，方程总有实数根；

（2）通过解kx²+（2k+1）x+2=0得到k=1，由此得到该抛物线解析式为y=x²+3x+2，结合图象回答问题．

（3）根据题意得到kx²+（2k+1）x+2﹣y=0恒成立，由此列出关于x、y的方程组，通过解方程组求得该定点坐标．

【解答】（1）证明：①当k=0时，方程为x+2=0，所以x=﹣2，方程有实数根，

②当k≠0时，∵△=（2k+1）²﹣4k×2=（2k﹣1）²≥0，即△≥0，

∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；

（2）解：令y=0，则kx²+（2k+1）x+2=0，

解关于x的一元二次方程，得x₁=﹣2，x₂=﹣ ，

∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，

∴k=1．

∴该抛物线解析式为y=x²+3x+2，

由图象得到：当y₁＞y₂时，a＞1或a＜﹣4．

（3）依题意得kx²+（2k+1）x+2﹣y=0恒成立，即k（x²+2x）+x﹣y+2=0恒成立，

则，

解得或．

所以该抛物线恒过定点（0，2）、（﹣2，0）．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点与判别式的关系及二次函数图象上点的坐标特征，解答（1）题时要注意分类讨论．

25．已知二次函数y=﹣x²+2x+m．

（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；

（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．

【分析】（1）由二次函数的图象与x轴有两个交点，得到△=2²+4m＞0于是得到m＞﹣1；

（2）把点A（3，0）代入二次函数的解析式得到m=3，于是确定二次函数的解析式为：y=﹣x²+2x+3，求得B（0，3），得到直线AB的解析式为：y=﹣x+3，把对称轴方程x=1，代入直线y=﹣x+3即可得到结果．

【解答】解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，

∴△=2²+4m＞0

∴m＞﹣1；

（2）∵二次函数的图象过点A（3，0），

∴0=﹣9+6+m

∴m=3，

∴二次函数的解析式为：y=﹣x²+2x+3，

令x=0，则y=3，

∴B（0，3），

设直线AB的解析式为：y=kx+b，

∴ ，

解得：，

∴直线AB的解析式为：y=﹣x+3，

∵抛物线y=﹣x²+2x+3，的对称轴为：x=1，

∴把x=1代入y=﹣x+3得y=2，

∴P（1，2）．

【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，求函数的解析式，知道抛物线的对称轴与直线AB的交点即为点P的坐标是解题的关键．

（1）请直接写出D点的坐标．

（2）求二次函数的解析式．

（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．

【专题】待定系数法．

【分析】（1）根据抛物线的对称性来求点D的坐标；

（2）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；

（3）根据图象直接写出答案．

【解答】解：（1）∵如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，

∴对称轴是x= =﹣1．

又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，

∴D（﹣2，3）；

（2）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0，a、b、c常数），

根据题意得 <a href="/tags/380/" title="方程" class="c1" target="_blank">方程</a> <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> <a href="/tags/897/" title="二次方程" class="c1" target="_blank">二次方程</a> ，

解得 <a href="/tags/380/" title="方程" class="c1" target="_blank">方程</a> <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> <a href="/tags/897/" title="二次方程" class="c1" target="_blank">二次方程</a> ，

所以二次函数的解析式为y=﹣x²﹣2x+3；

（3）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式以及二次函数与不等式组．解题时，要注意数形结合数学思想的应用．另外，利用待定系数法求二次函数解析式时，也可以采用顶点式方程．

27．抛物线y=x²﹣4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点C是此抛物线的顶点．

（1）求点A、B、C的坐标；

（2）点C在反比例函数y= （k≠0）的图象上，求反比例函数的解析式．

【分析】（1）令抛物线解析式中y=0得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出A与B坐标即可；配方后求出C坐标即可；

（2）将求得的点C的坐标代入反比例函数的解析式即可求得k值．

【解答】解：（1）令y=0，得到x²﹣4x+3=0，即（x﹣1）（x﹣3）=0，

解得：x=1或3，

则A（1，0），B（3，0），

∵y=x²﹣4x+3=（x﹣2）²﹣1，

∴顶点C的坐标为（2，﹣1）；

（2）∵点C（2，﹣1）在反比例函数y= （k≠0）的图象上，

∴k=﹣1×2=﹣2，

∴反比例函数的解析式为y=﹣ ；

【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与性质，待定系数法求反比例函数的解析式等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．

28．已知二次函数y=x²﹣4x+3．

（1）用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；

（2）求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．

【专题】数形结合．

【分析】（1）配方后求出顶点坐标即可；

（2）求出A、B的坐标，根据坐标求出AB、CD，根据三角形面积公式求出即可．

【解答】解：（1）y=x²﹣4x+3

=x²﹣4x+4﹣4+3

=（x﹣2）²﹣1，

所以顶点C的坐标是（2，﹣1），

当x＜2时，y随x的增大而减少；

当x＞2时，y随x的增大而增大；

（2）解方程x²﹣4x+3=0

得：x₁=3，x₂=1，

即A点的坐标是（1，0），B点的坐标是（3，0），

过C作CD⊥AB于D，

∵AB=2，CD=1，

∴S_△ABC= AB×CD= ×2×1=1．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的三种形式的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目比较典型，难度适中．

29．如图，抛物线y=﹣x²+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为（﹣1，0）．

（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标．

（2）求△EMF与△BNF的面积之比．

【专题】代数几何综合题．

【分析】（1）直接将（﹣1，0）代入求出即可，再利用配方法求出顶点坐标；

（2）利用EM∥BN，则△EMF∽△BNF，进而求出△EMF与△BNE的面积之比．

【解答】解：（1）由题意可得：﹣（﹣1）²+2×（﹣1）+c=0，

解得：c=3，

∴y=﹣x²+2x+3，

∵y=﹣x²+2x+3=﹣（x﹣1）²+4，

∴顶点M（1，4）；

（2）∵A（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x=1，

∴点B（3，0），

∴EM=1，BN=2，

∵EM∥BN，

∴△EMF∽△BNF，

∴ =（）²=（）²= ．

【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质，得出△EMF∽△BNF是解题关键．

30．已知二次函数y=x²﹣2mx+m²+3（m是常数）．

（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；

（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？

【专题】代数综合题．

【分析】（1）求出根的判别式，即可得出答案；

（2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可．

【解答】（1）证明：∵△=（﹣2m）²﹣4×1×（m²+3）=4m²﹣4m²﹣12=﹣12＜0，

∴方程x²﹣2mx+m²+3=0没有实数解，

即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；

（2）解：y=x²﹣2mx+m²+3=（x﹣m）²+3，

把函数y=（x﹣m）²+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=（x﹣m）²的图象，它的顶点坐标是（m，0），

因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点，

所以，把函数y=x²﹣2mx+m²+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．

【点评】本题考查了二次函数和x轴的交点问题，根的判别式，平移的性质，二次函数的图象与几何变换的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，题目比较好，有一定的难度．

方程函数二次方程