【331851】第三十章达标测试卷

第三十章达标测试卷

一、选择题(1～10题每题3分，11～16题每题2分，共42分)

1．下列函数属于二次函数的是(　　)

A．y＝5x＋3 B．y＝

C．y＝2x²＋x＋1 D．y＝

2．二次函数y＝x²－2x＋4化为y＝a(x－h)²＋k的形式，下列正确的是(　　)

A．y＝(x－1)²＋2 B．y＝(x－1)²＋3

C．y＝(x－2)²＋2 D．y＝(x－2)²＋4

3．一小球被抛出后，距离地面的高度h (m)和飞行时间t (s)满足的函数表达式为h＝－5(t－1)²＋6，则小球距离地面的最大高度是(　　)

A．1 m　 B．5 m　 C．6 m　 D．7 m

4．下列抛物线中，开口向下且开口最大的是(　　)

A．y＝－x² B．y＝－x² C．y＝x² D．y＝－x²

5．已知二次函数y＝ax²＋bx＋c的x，y的部分对应值如下表：

x	－1	0	1	2	3
y	5	1	－1	－1	1

则该二次函数图像的对称轴为(　　)

A．y轴 B．直线x＝ C．直线x＝2 D．直线x＝

6．抛物线y＝x²＋2x＋m－1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是(　　)

A．m＜2 B．m＞2 C．0＜m≤2 D．m＜－2

7．将抛物线y＝x²－4x－4向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到抛物线的表达式为(　　)

A．y＝(x＋1)²－13 B．y＝(x－5)²－3

C．y＝(x－5)²－13 D．y＝(x＋1)²－3

8．二次函数y＝ax²＋bx＋c的图像如图所示，则反比例函数y＝与正比例函数y＝bx在同一坐标系内的大致图像是(　　)

(第8题)　　　　 (第12题)

9．以x为自变量的二次函数y＝x²－2(b－2)x＋b²－1的图像不经过第三象限，则实数b的取值范围是(　　)

A．b≥ B．b≥1或b≤－1

C．b≥2 D．1≤b≤2

10．已知函数y＝当y＝5时，x的值是(　　)

A．6 B．－

C．－或6 D．±或6

11．已知二次函数y＝x²＋(2m－1)x，当x＜0时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是(　　)

A．m> B．m< C．m≥ D．m≤

12．如图，这是二次函数y＝ax²－x＋a²－1的图像，则a的值为(　　)

A．0 B．1 C．－1 D．－1或1

13．矩形Ⅰ的面积为6，矩形Ⅱ的三条边总长为6，则下列说法不正确的是(　　)

A．矩形Ⅰ中一组邻边的长满足反比例函数关系

B．矩形Ⅰ中一组邻边的长可能是3＋和3－

C．矩形Ⅰ的周长不可能是8

D．矩形Ⅱ的最大面积是3

14．抛物线y＝ax²＋bx＋c(a，b，c是常数)中，a＞0，顶点坐标为，给出下列结论：①若点(n，y₁)与点在该抛物线上，当n＜时，则y₁＜y₂；②关于x的一元二次方程ax²－bx＋c－m＋1＝0无实数解，那么(　　)

A．①正确，②正确 B．①正确，②错误

C．①错误，②正确 D．①错误，②错误

15．如图，这是抛物线y₁＝ax²＋bx＋c(a≠0)的一部分，抛物线的顶点是A(1，3)，与x轴的一个交点为B(4，0)，直线y₂＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a＋b＝0；②abc＞0；③方程ax²＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；⑤当1＜x＜4时，有y₂＜y₁.其中正确的是(　　)

A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤

(第15题)　　　 (第16题)　　 　 (第19题)

16．课堂上，老师给出一道题：如图，将抛物线C：y＝x²－6x＋5在x轴下方的图像沿x轴翻折，翻折后得到的图像与抛物线C在x轴上方的图像记为G，已知直线l：y＝x＋m与图像G有两个公共点，求m的取值范围．甲的结果是－5＜m＜－1，乙的结果是m＞.下列说法正确的是(　　)

A．甲的结果正确

B．乙的结果正确

C．甲、乙的结果合在一起才正确

D．甲、乙的结果合在一起也不正确

二、填空题(17题3分，其余每空2分，共11分)

17．当a＝________时，函数y＝(a－1)x^a2＋1＋x－3是二次函数．

18．某商店经营一种水产品，成本为每千克40元．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500 kg.销售单价每涨1元，月销售量减少10 kg，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为________元时，获得的月利润最大，月利润最大为________元．

19．如图，在边长为10的正方形ABCD中，P为AB边上任意一点(P不与A，B两点重合)，连接DP，过点P作PE⊥DP，垂足为P，PE交BC于点E.设AP＝x，BE＝y，则y与x的函数关系式为________________，BE的最大长度为________．

三、解答题(20题8分，21～23题每题9分，24～25题每题10分，26题12分，共67分)

20．二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)图像上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表．

x	…	－1	0	2	4	…
y	…	－5	1	1	m	…

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)求这个二次函数图像的顶点坐标及上表中m的值．

21．如图，二次函数y＝(x－2)²＋m的图像与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图像的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图像经过该二次函数图像上的点A(1，0)及点B.

(1)求二次函数与一次函数的表达式；

(2)根据图像，写出满足kx＋b≥(x－2)²＋m的x的取值范围．

(第21题)

22．如图，已知抛物线与x轴交于A(－1，0)，E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)．

(1)求与抛物线对应的函数表达式；

(2)若抛物线的顶点为D，求四边形AEDB的面积．

(第22题)

23．已知二次函数的图像经过点(2，－5)，顶点坐标为(－1，4)，直线l的表达式为y＝2x＋m.

(1)求抛物线的表达式；

(2)若抛物线与直线l有两个公共点，求m的取值范围；

(3)若抛物线与直线l只有一个公共点P，求点P的坐标；

(4)设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求在(3)的条件下△PAB的面积．

24．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润为6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天的产量减少5件．

(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式；

(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1 120元，求该产品的质量档次．

25．有一个例题：

有一个窗户形状如图①，上部是一个半圆，下部是一个矩形．如果制作窗框的材料总长为6 m，如何设计这个窗户才能使透光面积最大？

这个例题的答案：当窗户半圆的半径约为0.35 m时，透光面积最大，约为1.05 m².

我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图②，材料总长仍为6 m．解答下列问题：

(1)若AB为1 m，求此时窗户的透光面积；

(2)与上面的例题相比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明理由．

(第25题)

26．已知点P(2，－3)在抛物线L：y＝ax²－2ax＋a＋k(a，k均为常数且a≠0)上，L交y轴于点C，连接CP.

(1)用a表示k，并求L的对称轴；

(2)当L经过点(4，－7)时，求此时L的表达式及其顶点坐标；

(3)横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，当a＜0时，若L在点C，P之间的部分与线段CP所围成的区域内(不含边界)恰有5个整点，求a的取值范围；

(4)点M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)是L上的两点，若t≤x₁≤t＋1，当x₂≥3时，均有y₁≥y₂，直接写出t的取值范围．

(第26题)

答案

一、1.C　2.B　3.C　4.B　5.D　6.A

7．D

8．C　点拨：由二次函数y＝ax²＋bx＋c的图像开口向下，得a＜0，又由图像，得－＞0，∴b＞0.

∵a＜0，

∴反比例函数y＝的图像位于第二、四象限．

∵b＞0，

∴正比例函数y＝bx的图像经过第一、三象限．

9．A　10.C　11.D　12.B　13.D

14．A　点拨：∵顶点坐标为，n＜，

∴点(n，y₁)关于抛物线的对称轴的对称点为(1－n，y₁)，1－n＞.

∴点(1－n，y₁)与点在该抛物线上．

∵(1－n)－＝n－＜0，

∴＜1－n＜－2n.

∵a＞0，

∴当x＞时，y随x的增大而增大．

∴y₁＜y₂，故①正确．

把代入y＝ax²＋bx＋c，得m＝a＋b＋c.

∵－＝，

∴a＋b＝0.

∴一元二次方程ax²－bx＋c－m＋1＝0中，b²－4a(c－m＋1)＝b²－4ac＋4am－4a＝b²－4ac＋4a－4a＝(a＋b)²－4a＝－4a＜0.

∴关于x的一元二次方程ax²－bx＋c－m＋1＝0无实数解，故②正确．

15．C　点拨：对于抛物线y₁＝ax²＋bx＋c(a≠0)，对称轴为直线x＝－＝1，∴2a＋b＝0，故①正确．

由图像可知a＜0，c＞0，－＞0，

∴b＞0，∴abc＜0，故②错误．

∵抛物线y₁＝ax²＋bx＋c(a≠0)与直线y＝3只有一个交点，∴方程ax²＋bx＋c＝3有两个相等的实数根，故③正确．

设抛物线与x轴的另一个交点是(x₂，0)，由抛物线的对称性可知＝1，∴x₂＝－2，即抛物线与x轴的另一个交点是(－2，0)，故④错误．

通过函数图像可直接得到当1＜x＜4时，有y₂＜y₁，故⑤正确．

故选C.

16．C　点拨：令y＝0，得x²－6x＋5＝0，解得x₁＝1，x₂＝5，故抛物线C与x轴的交点的坐标为(1，0)，(5，0)．

将(1，0)代入y＝x＋m，得m＝－1，

将(5，0)代入y＝x＋m，得m＝－5，∴－5＜m＜－1.

由题意易得，翻折后的抛物线的表达式为y＝－(x－3)²＋4(1<x<5)，

由

得x²－5x＋5＋m＝0，

当b²－4ac<0时，25－20－4m<0，

解得m>，

∴当m＞时，直线l：y＝x＋m与图像G有两个公共点，

综上所述，当m＞或－5＜m＜－1时，直线l：y＝x＋m与图像G有两个公共点．故选C.

二、17.－1

18．70；9 000　点拨：设销售单价为x元，月利润为y元，则y＝(x－40)·[500－10(x－50)]，即y＝－10(x－70)²＋9 000(50≤x≤100)，∴当x＝70时，y有最大值，最大值为9 000，故销售单价定为70元时，获得的月利润最大，为9 000元．

19．y＝－(x－5)²＋(0<x<10)；

点拨：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°.∴∠1＋∠2＝90°.∵PE⊥DP，∴∠2＋∠3＝90°.∴∠1＝∠3.∴△ADP∽△BPE.∴＝，即＝，整理得y＝－(x－5)²＋(0＜x＜10)，∴当x＝5时，y有最大值.故BE的最大长度为.

(第19题)

三、20.解：(1)将点(－1，－5)，(0，1)，(2，1)的坐标代入y＝ax²＋bx＋c，

得解得

∴这个二次函数的表达式为y＝－2x²＋4x＋1.

(2)∵y＝－2x²＋4x＋1＝－2(x－1)²＋3，∴图像的顶点坐标为(1，3)．当x＝4时，m＝－2×16＋16＋1＝－15.

21．解：(1)将点A(1，0)的坐标代入y＝(x－2)²＋m，得(1－2)²＋m＝0，解得m＝－1.

∴二次函数的表达式为y＝(x－2)²－1.

当x＝0时，y＝4－1＝3，

∴C点坐标为(0，3)．

∵点C和点B关于对称轴直线x＝2对称，

∴B点坐标为(4，3)．

分别将点A(1，0)，B(4，3)的坐标代入y＝kx＋b，得

解得

∴一次函数的表达式为y＝x－1.

(2)由(1)知A，B两点的坐标分别为(1，0)，(4，3)．

由图像可知，当kx＋b≥(x－2)²＋m时，1≤x≤4.

22．解：(1)∵抛物线与y轴交于点B(0，3)，

∴设抛物线对应的函数表达式为y＝ax²＋bx＋3(a≠0)．

由题意得，

解得

∴抛物线对应的函数表达式为y＝－x²＋2x＋3.

(2)∵y＝－x²＋2x＋3＝－(x－1)²＋4，

∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．

过点D作DF⊥x轴，垂足为点F，

∴S_{四边形AEDB}＝S_△ABO＋S_梯形BOFD＋S_△DEF＝AO·BO＋(BO＋DF)·OF＋EF·DF＝×1×3＋×(3＋4)×1＋×2×4＝9.

23．解：(1)∵抛物线顶点坐标为(－1，4)，

∴设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)²＋4，将(2，－5)代入，解得a＝－1.

∴抛物线的表达式为y＝－(x＋1)²＋4＝－x²－2x＋3.

(2)由

得x²＋4x＋m－3＝0，

∴b²－4ac＝16－4(m－3)＝－4m＋28.

当－4m＋28＞0，即当m＜7时，抛物线与直线l有两个公共点．

(3)由(2)知，当m＝7时，抛物线与直线l只有一个公共点，

由解得

故点P的坐标为(－2，3)．

(4)令y＝0，得0＝－x²－2x＋3，

解得x₁＝－3，x₂＝1，

∴AB＝4，

∴S_△PAB＝×4×3＝6.

24．解：(1)由题意可知，生产第x档次的产品提高了(x－1)个档次，

∴y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]，即y＝－10x²＋180x＋400(其中x是正整数，且1≤x≤10)．

(2)由题意，得－10x²＋180x＋400＝1 120，整理得x²－18x＋72＝0，

解得x₁＝6，x₂＝12(舍去)．

∴该产品的质量档次为第6档次．

25．解：(1)由已知得AD＝＝(m)，

∴窗户的透光面积为×1＝(m²)．

(2)窗户透光面积的最大值变大．

理由：设AB＝x m，

则AD＝m.

∵3－x＞0，且x＞0，

∴0＜x＜.

设窗户透光面积为S m²，由已知得S＝x＝－x²＋3x＝－＋.

∴当x＝时(x＝在0＜x＜的范围内)，S_最大＝＞1.05.

∴与例题相比，现在窗户透光面积的最大值变大．

26．解：(1)∵点P(2，－3)在抛物线L：y＝ax²－2ax＋a＋k(a，k均为常数，且a≠0)上，

∴－3＝4a－4a＋a＋k，

∴k＝－3－a.

L的对称轴为直线x＝－＝1.

(2)∵L经过点(4，－7)，

∴16a－8a＋a＋k＝－7，

又由(1)知k＝－3－a，

∴8a＝－4，

解得a＝－，

∴k＝－，

∴L的表达式为y＝－x²＋x－3.

∵y＝－x²＋x－3＝－(x－1)²－，

∴顶点坐标为(1，－)．

(3)易得顶点坐标为(1，－a－3)．

∵在点C，P之间的部分与线段CP所围成的区域内(不含边界)恰有5个整点，

∴2＜－a－3≤3，

∴－6≤a＜－5.

(4)－1≤t≤2.