【331843】第二章 二次函数周周测9（全章）

第二章　二次函数

1．对于二次函数y＝－(x－1)²＋2的图象与性质，下列说法正确的是(　　)

A．对称轴是直线x＝1，最小值是2

B．对称轴是直线x＝1，最大值是2

C．对称轴是直线x＝－1，最小值是2

D．对称轴是直线x＝－1，最大值是2

2．已知二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象如图2－Y－1所示，则(　　)

A．b＞0，c＞0 B．b＞0，c＜0

C．b＜0，c＜0 D．b＜0，c＞0

图2－Y－1　　　　 图2－Y－2

3． 将如图2－Y－2所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线的表达式是(　　)

A．y＝(x－1)²＋1 B．y＝(x＋1)²＋1

C．y＝2(x－1)²＋1 D．y＝2(x＋1)²＋1

4 已知二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的图象如图2－Y－3所示，以下四个结论：①a＞0；②c＞0；③b²－4ac＞0；④－＜0，正确的是(　　)

A．①② B．②④

C．①③ D．③④

图2－Y－3　　　 图2－Y－4

5．如图2－Y－4，抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，给出下列结论：①b²＝4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a－2b＋c＞0，其中正确的有(　　)

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

6．若抛物线y＝x²－6x＋m与x轴没有交点，则m的取值范围是________．

7． 如图2－Y－5，若抛物线y＝ax²＋bx＋c上的P(4，0)，Q两点关于它的对称轴直线x＝1对称，则点Q的坐标为________．

8． 已知函数y＝－(x－1)²的图象上两点A(2，y₁)，B(a，y₂)，其中a＞2，则y₁与y₂的大小关系是y₁________y₂(填“＜”“＞”或“＝”)．

图2－Y－5

　　　 图2－Y－6

9．如图2－Y－6，图中二次函数的表达式为y＝ax²＋bx＋c(a≠0)，则下列命题中正确的有________(填序号)．

①abc＞0；②b²＜4ac；③4a－2b＋c＞0；④2a＋b＞c.

10．如图2－Y－7是抛物线y₁＝ax²＋bx＋c(a≠0)的一部分，抛物线的顶点坐标是A(1，3)，与x轴的一个交点是B(4，0)，直线y₂＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A，B两点，下列结论：

图2－Y－7

①abc＞0；②方程ax²＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；④当1＜x＜4时，有y₂＞y₁；⑤x(ax＋b)≤a＋b，其中正确的结论是________．(只填序号)

11． 已知函数y＝－x²＋(m－1)x＋m(m为常数)．

(1)该函数的图象与x轴公共点的个数是(　　)

A．0 B．1

C．2 D．1或2

(2)求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝(x＋1)²的图象上；

(3)当－2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．

12．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元/个)有如下关系：y＝－x＋60(30≤x≤60)．设这种双肩包每天的销售利润为w元．

(1)求w与x之间的函数关系式；

(2)这种双肩包销售单价定为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元/个，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少？

13．随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽．小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米．

(1)请你建立适当的直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数表达式；

(2)求出水柱的最大高度是多少．

图2－Y－8

14．我们知道，经过原点的抛物线可以用y＝ax²＋bx(a≠0)表示，对于这样的抛物线：

(1)当抛物线经过点(－2，0)和(－1，3)时，求抛物线的表达式；

(2)当抛物线的顶点在直线y＝－2x上时，求b的值；

(3)如图2－Y－9，现有一组这样的抛物线，它们的顶点A₁，A₂，…，A_n在直线y＝－2x上，横坐标依次为－1，－2，－3，…，－n(n为正整数，且n≤12)，分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B₁，B₂，…，B_n，以线段A_nB_n为边向左作正方形A_nB_nC_nD_n，如果这组抛物线中的某一条经过点D_n，求此时满足条件的正方形A_nB_nC_nD_n的边长．

图2－Y－9

详解详析

1．B

2．B　[解析] ∵二次函数y＝ax²＋bx＋c图象的开口向下，∴a＜0.

∵二次函数图象与y轴交于负半轴，∴c＜0.

∵对称轴为直线x＝－＞0，∴b＞0.故选B.

3．C　[解析] 由图象，得原抛物线的表达式为y＝2x²－2.

由平移规律，得平移后所得抛物线的表达式为y＝2(x－1)²＋1，故选C.

4．C　[解析] ∵抛物线开口向上，∴a＞0，结论①正确；

∵抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，

∴c＜0，结论②错误；

∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b²－4ac＞0，结论③正确；

∵抛物线的对称轴在y轴右侧，

∴－＞0，结论④错误．

故选C.

5．C　[解析] ∵抛物线与x轴有2个交点，

∴b²－4ac＞0，∴①错误；

∵抛物线开口向上，∴a＞0.

∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，

∴a，b同号，∴b＞0.

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，

∴abc＞0，

∴②正确；

∵x＝－1时，y＜0，即a－b＋c＜0.

∵对称轴为直线x＝－1，∴－＝－1，

∴b＝2a，

∴a－2a＋c＜0，即a＞c，

∴③正确；

∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，

∴x＝－2和x＝0时的函数值相等，即x＝－2时，y＞0，

∴4a－2b＋c＞0，∴④正确．

∴正确的有②③④，3个，

故选C.

6．m>9　[解析] 由Δ＝b²－4ac＝(－6)²－4×1×m<0，解得m>9.

7．(－2，0)　[解析] 设Q(a，0)，由对称性知，＝1，∴a＝－2.即Q(－2，0)．

8．＞　[解析] ∵函数y＝－(x－1)²，图象的对称轴是直线x＝1，开口向下，

∴当x＞1时，y随x的增大而减小．

∵函数图象上两点A(2，y₁)，B(a，y₂)，a＞2，

∴y₁＞y₂.故答案为：＞.

9．①③④　[解析] ∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，

∴a＞0，－＞0，c＜0，

∴b＜0，∴abc＞0，①正确；

∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b²－4ac＞0，即b²＞4ac，②错误；

当x＝－2时，y＝4a－2b＋c＞0，③正确；

∵0＜－＜1，

∴－2a＜b＜0，

∴2a＋b＞0＞c，④正确．

故答案为：①③④.

10．②⑤　[解析] 根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可．由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，故abc＜0，故①错误；观察图象可知，抛物线与直线y＝3只有一个交点，故方程ax²＋bx＋c＝3有两个相等的实数根，故②正确；

根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是(－2，0)，故③错误；观察图象可知，当1＜x＜4时，有y₂＜y₁，故④错误；因为当x＝1时，y₁有最大值，所以ax²＋bx＋c≤a＋b＋c，即x(ax＋b)≤a＋b，故⑤正确．

所以②⑤正确．故答案为②⑤.

11．[解析] (1)表示出根的判别式，判断其正负即可得到结果；

(2)将二次函数表达式配方变形后，判断其顶点坐标是否在已知函数图象上即可；

(3)根据m的范围确定出顶点纵坐标的范围即可．

解：(1)∵函数y＝－x²＋(m－1)x＋m(m为常数)，

∴Δ＝(m－1)²＋4m＝(m＋1)²≥0，

则该函数图象与x轴的公共点的个数是1或2.故选D.

(2)证明：y＝－x²＋(m－1)x＋m＝－(x－)²＋，其图象顶点坐标为(，)．

把x＝代入y＝(x＋1)²，得y＝(＋1)²＝，故不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝(x＋1)²的图象上．

(3)设z＝，

当m＝－1时，z有最小值为0；

当m＜－1时，z随m的增大而减小；

当m＞－1时，z随m的增大而增大．

当m＝－2时，z＝；当m＝3时，z＝4.

则当－2≤m≤3时，该函数图象的顶点纵坐标z的取值范围是0≤z≤4.

12．解：(1)w＝(x－30)y＝(x－30)(－x＋60)＝－x²＋90x－1800.

所以w与x之间的函数关系式为w＝－x²＋90x－1800(30≤x≤60)．

(2)w＝－x²＋90x－1800＝－(x－45)²＋225.

∵－1<0，∴当x＝45时，w有最大值为225.

答：销售单价定为45元/个时，每天的销售利润最大，最大利润为225元．

(3)当w＝200时，可得方程－(x－45)²＋225＝200.

解得x₁＝40，x₂＝50.

∵50＞42，

∴x₂＝50不符合题意，应舍去．

答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元/个．

13．解：(1)所建直角坐标系不唯一，如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．

由题意可设抛物线的表达式为y＝a(x－1)²＋h(0≤x≤3)．

抛物线过点(0，2)和(3，0)，代入抛物线表达式可得

解得

∴水柱抛物线的表达式为y＝－(x－1)²＋(0≤x≤3)．化为一般式为y＝－x²＋x＋2(0≤x≤3)．

(2)由(1)知抛物线的表达式为y＝－(x－1)²＋(0≤x≤3)．当x＝1时，y_最大＝.

∴水柱的最大高度为米．

14．解：(1)∵抛物线y＝ax²＋bx经过点(－2，0)和(－1，3)，

∴解得

∴抛物线的表达式为y＝－3x²－6x.

(2)∵抛物线y＝ax²＋bx的顶点坐标是

(－，－)，

且该点在直线y＝－2x上，

∴－＝－2×(－)．

∵a≠0，∴－b²＝4b，

解得b₁＝－4，b₂＝0.

(3)这组抛物线的顶点A₁，A₂，…，A_n在直线y＝－2x上，

由(2)可知，b＝－4或b＝0.

①当b＝0时，抛物线的顶点在坐标原点，不合题意，舍去；

②当b＝－4时，抛物线的表达式为y＝ax²－4x.

由题意可知，第n条抛物线的顶点为A_n(－n，2n)，则D_n(－3n，2n)．

∵以A_n为顶点的抛物线不可能经过点D_n，设第(n＋k)(k为正整数)条抛物线经过点D_n，此时第(n＋k)条抛物线的顶点坐标是A_n＋k(－n－k，2n＋2k)，

∴－＝－n－k，

∴a＝＝－，

∴第(n＋k)条抛物线的表达式为y＝－x²－4x.

∵D_n(－3n，2n)在第(n＋k)条抛物线上，

∴2n＝－×(－3n)²－4×(－3n)，解得k＝n.

∵n，k为正整数，且n≤12，

∴n₁＝5，n₂＝10.

当n＝5时，k＝4，n＋k＝9；

当n＝10时，k＝8，n＋k＝18＞12(舍去)，

∴D₅(－15，10)，

∴正方形的边长是10.