【331829】第二十一章 一元二次方程周周测2（21.2.1）

第二十一章 一元二次方程周周测2

　一、选择题：

1．一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根 D．没有实数根

2．已知b＜0，关于x的一元二次方程（x﹣1）²=b的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．有两个实数根

3．已知关于x的一元二次方程（x+1）²﹣m=0有两个实数根，则m的取值范围是（　　）

A．m≥﹣ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥2

4．关于x的一元二次方程kx²﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k＜ B．k＞ C．k＜ 且k≠0 D．k＞ 且k≠0

二、填空题

5．一元二次方程 x²+x=3中，a=______，b=______，c=______，则方程的根是______．

6．若x₁，x₂分别是x²﹣3x+2=0的两根，则x₁+x₂=______．

7．已知三角形两边长是方程x²﹣5x+6=0的两个根，则三角形的第三边c的取值范围是______．

8．已知关于x的一元二次方程（k+1）x²﹣2x﹣1=0有两个不相同的实数根，则k的取值范围是______．

9．写出一个一元二次方程，使它有两个不相等的实数根______．

10．一次二元方程x²+x+ =0根的情况是______．

11．若关于x的方程ax²+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是______．

12．已知代数式7x（x+5）与代数式﹣6x²﹣37x﹣9的值互为相反数，则x=______．

13．已知一次函数y=﹣x+4与反比例函数 在同一直角坐标系内的图象没有交点，则k的取值范围是______．

14．对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b= ．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=4²﹣4×2=8．若x₁，x₂是一元二次方程x²﹣5x+6=0的两个根，则x₁﹡x₂=______．

三、解答题（共4小题，满分0分）

15．用公式法解方程：

①4x²﹣4 x+1=0

②x²﹣ x﹣3=0．

16．不解方程，判断下列方程的根的情况：

①2x²+3x﹣4=0

②3x²+2=2 x

③ x²= x﹣1．

17．已知关于x的方程mx²﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0，求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根．

18．已知关于x的一元二次方程：x²﹣（2k+1）x+4（k﹣ ）=0．

（1）求证：这个方程总有两个实数根；

（2）若等腰△ABC的一边长a=4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．

《21.2.1 公式法》

参考答案与试题解析

一、选择题：

1．一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根 D．没有实数根

【解答】解：原方程变形为：x²﹣2x=0，

∵△=（﹣2）²﹣4×1×0=4＞0，

∴原方程有两个不相等的实数根．

故选A．

2．已知b＜0，关于x的一元二次方程（x﹣1）²=b的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．有两个实数根

【解答】解：∵（x﹣1）²=b中b＜0，

∴没有实数根，

故选：C．

3．已知关于x的一元二次方程（x+1）²﹣m=0有两个实数根，则m的取值范围是（　　）

A．m≥﹣ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥2

【解答】解；（x+1）²﹣m=0，

（x+1）²=m，

∵一元二次方程（x+1）²﹣m=0有两个实数根，

∴m≥0，

故选：B．

4．关于x的一元二次方程kx²﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k＜ B．k＞ C．k＜ 且k≠0 D．k＞ 且k≠0

【解答】解：根据题意得k≠0且△=（﹣1）²﹣4k＞0，

解得k＜ 且k≠0．

故选C．

二、填空题

5．一元二次方程 x²+x=3中，a=　 　，b=　1　，c=　﹣3　，则方程的根是　x₁=﹣1+ ，x₂=﹣1﹣ 　．

【解答】解：移项得，

x+x﹣3=0

∴a= ，b=1，c=﹣3

∴b²﹣4ac=7

∴x₁=﹣1+ ，x₂=﹣1﹣ ．

6．若x₁，x₂分别是x²﹣3x+2=0的两根，则x₁+x₂=　3　．

【解答】解：根据题意得x₁+x₂=3．

故答案为3．

7．已知三角形两边长是方程x²﹣5x+6=0的两个根，则三角形的第三边c的取值范围是　1＜c＜5　．

【解答】解：∵三角形两边长是方程x²﹣5x+6=0的两个根，

∴x₁+x₂=5，x₁x₂=6

∵（x₁﹣x₂）²=（x₁+x₂）²﹣4x₁x₂=25﹣24=1

∴x₁﹣x₂=1，

又∵x₁﹣x₂＜c＜x₁+x₂，

∴1＜c＜5．

故答案为：1＜c＜5．

8．已知关于x的一元二次方程（k+1）x²﹣2x﹣1=0有两个不相同的实数根，则k的取值范围是　k＞﹣2且k≠﹣1　．

【解答】解：根据题意得k+1≠0且△=（﹣2）²﹣4（k+1）•（﹣1）＞0，

解得k＞﹣2且k≠﹣1．

故答案为k＞﹣2且k≠﹣1．

9．写出一个一元二次方程，使它有两个不相等的实数根　x²+x﹣1=0　．

【解答】解：比如a=1，b=1，c=﹣1，

∴△=b²﹣4ac=1+4=5＞0，

∴方程为x²+x﹣1=0．

10．一次二元方程x²+x+ =0根的情况是　方程有两个相等的实数根　．

【解答】解：∵△=1²﹣4× =0，

∴方程有两个相等的实数根

故答案为方程有两个相等的实数根．

11．若关于x的方程ax²+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是　a≥﹣1　．

【解答】解：当a=0时，方程是一元一次方程，有实数根，

当a≠0时，方程是一元二次方程，

若关于x的方程ax²+2（a+2）x+a=0有实数解，

则△=[2（a+2）]²﹣4a•a≥0，

解得：a≥﹣1．

故答案为：a≥﹣1．

12．已知代数式7x（x+5）与代数式﹣6x²﹣37x﹣9的值互为相反数，则x=　1± 　．

【解答】解：根据题意得：7x（x+5）﹣6x²﹣37x﹣9=0，

这里的：x²﹣2x﹣9=0，

这里a=1，b=﹣2，c=﹣9，

∵△=4+36=40，

∴x= =1± ．

故答案为：1±

13．已知一次函数y=﹣x+4与反比例函数 在同一直角坐标系内的图象没有交点，则k的取值范围是　k＞4　．

【解答】解：依题意可得x²﹣4x+k=0无解，

也就是这个一元二次方程无实数根，

那么根据根的判别式△=b²﹣4ac=16﹣4k，

没有实数根，那么16﹣4k＜0，

解此不等式可得k＞4．

故答案为：k＞4．

14．对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b= ．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=4²﹣4×2=8．若x₁，x₂是一元二次方程x²﹣5x+6=0的两个根，则x₁﹡x₂=　3或﹣3　．

【解答】解：∵x₁，x₂是一元二次方程x²﹣5x+6=0的两个根，

∴（x﹣3）（x﹣2）=0，

解得：x=3或2，

①当x₁=3，x₂=2时，x₁﹡x₂=3²﹣3×2=3；

②当x₁=2，x₂=3时，x₁﹡x₂=3×2﹣3²=﹣3．

故答案为：3或﹣3．

三、解答题（共4小题，满分0分）

15．用公式法解方程：

①4x²﹣4 x+1=0

②x²﹣ x﹣3=0．

【解答】解：（1）这里a=4，b=﹣4 ，c=1，

∵△=32﹣16=16，

∴x= = ；

（2）这里a=1，b=﹣ ，c=﹣3，

∵△=2+12=14，

∴x= ．

16．不解方程，判断下列方程的根的情况：

①2x²+3x﹣4=0

②3x²+2=2 x

③ x²= x﹣1．

【解答】解：①△=3²﹣4×2×（﹣4）=41＞0，所以方程两个不相等的实数根；

②方程化为一般式为3x²﹣2 x+2=0，△=（﹣2 ）²﹣4×3×2=0，所以方程有两个相等的实数根；

③方程化为一般式为 x²﹣ x+1=0，△=（﹣ ）²﹣4× ×1＜0，所以方程无实数根．

17．已知关于x的方程mx²﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0，求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根．

【解答】证明：当m=0时，原方程为x﹣2=0，解得x=2；

当m≠0时，△=（3m﹣1）²﹣4m（2m﹣2）=（m+1）²≥0，所以方程有两个实数根，

所以无论m为何值原方程有实数根．

18．已知关于x的一元二次方程：x²﹣（2k+1）x+4（k﹣ ）=0．

（1）求证：这个方程总有两个实数根；

（2）若等腰△ABC的一边长a=4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．

【解答】（1）证明：△=（2k+1）²﹣4×1×4（k﹣ ）

=4k²﹣12k+9

=（2k﹣3）²，

∵无论k取什么实数值，（2k﹣3）²≥0，

∴△≥0，

∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；

（2）解：∵x= ，

∴x₁=2k﹣1，x₂=2，

∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b=2k﹣1，c=2，

当a、b为腰，则a=b=4，即2k﹣1=4，解得k= ，此时三角形的周长=4+4+2=10；

当b、c为腰时，b=c=2，此时b+c=a，故此种情况不存在．

综上所述，△ABC的周长为10．