【331742】第22章达标检测卷

沪科版数学九年级上册第22章达标检测卷

一、选择题(每题4分，共40分)

1．下面给出的图形是相似图形的有(　　)

A．两张孪生兄弟的照片 B．三角板的内、外三角形

C．行书的“中”与楷书的“中” D．同一棵树上摘下的两片树叶

2．在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则四边形BDEC与△ABC的面积之比为(　　)

A．1:2 B．1:3 C．3:4 D．1:4

3．如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD交CB的延长线于点E，则图中一定相似的三角形是(　　)

A．△AED与△ACB B．△AEB与△ACD

C．△BAE与△ACE D．△AEC与△DAC

4．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1，2)，B(1，1)，C(3，1)，以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2:1，则线段DF的长度为(　　)

A. B．2 C．4 D．2

5．已知P为线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，则(　　)

A．AP²＝AB·PB B．AB²＝AP·PB

C．PB²＝AP·AB D．AP²＋BP²＝AB²

6．如图，为估算某河面的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20 m，CE＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于(　　)

A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m

7．如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是(　　)

A．(6，0) B．(6，3) C．(6，5) D．(4，2)

8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF等于(　　)

A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.25

9．如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE:EC＝2:3，连接AE，BE，BD，且AE，BD交于点F，则S_△DEF:S_△EBF:S_△ABF为(　　)

A．2:5:25 B．4:9:25 C．2:3:5 D．4:10:25

10．如图，在△ABC中，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(不与B，C重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC＝FG；②S_△FAB∶S_{四边形CBFG}＝1∶2；③∠ABC＝∠ABF；④AD²＝FQ·AC，其中正确的结论有(　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题(每题5分，共20分)

11．假期，爸爸带小明去A地旅游．小明想知道他所居住的城市与A地之间的距离，他在比例尺为1:500 000的地图上测得所居住的城市距A地32 cm，则小明所居住的城市与A地之间的实际距离为________km.

12．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是点B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM的长为________．

13．如图，小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E，F，不断调整站立的位置，使其站立在点D处恰好能看到铁塔的顶部B和底部A，设小明的手臂长l＝45 cm，小尺长a＝15 cm，点D到铁塔底部A的距离AD＝42 m，则铁塔的高度是________m.

14．如图，正三角形ABC的边长为2，以BC边上的高AB₁为边作正三角形AB₁C₁，△ABC与△AB₁C₁公共部分的面积记为S₁，再以正三角形AB₁C₁的边B₁C₁上的高AB₂为边作正三角形AB₂C₂，△AB₁C₁与△AB₂C₂公共部分的面积记为S₂，…，以此类推，则S_n＝________________.(用含n的式子表示)

三、解答题(15～18题，每题8分；19，20题，每题10分；21，22题，每题12分；23题14分，共90分)

15．若＝＝≠0，且3x＋2y－z＝14，求x，y，z的值．

16．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长．

17．如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N(不与A，B重合)，使得△CDM与△MAN相似？若能，请求出AN的长；若不能，请说明理由．

18．已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H.

(1)求证：△BEC∽△BCH；

(2)如果BE²＝AB·AE，求证：AG＝DF.

19．如图，已知在矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，＝，△FCE的面积为S₁，△BAE的面积为S₂，求的值．

20．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中：

(1)画出△ABC向上平移6个单位长度，再向右平移5个单位长度后的△A₁B₁C₁；

(2)以点B为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A₂BC₂，请在网格中画出△A₂BC₂；

(3)求△CC₁C₂的面积．

21．如图，花丛中有一根路灯杆AB.在灯光下，小明在D点的影长DE＝3 m，沿BD方向行走到G点，DG＝5 m，这时小明的影长GH＝5 m．如果小明的身高为1.7 m，求这根路灯杆AB的高度(结果精确到0.1 m)．

22．如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么：

(1)当t为何值时，△QAP是等腰直角三角形？

(2)根据四边形QAPC面积的计算结果，你能得出什么结论？

(3)当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与△ABC相似？

23．如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE. 将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.

(1)当α＝0°和α＝180°时，求的值；

(2)试判断当0°≤α＜360°时，的值有无变化？请仅就图②的情况给出证明；

(3)当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，求线段BD的长．

答案

一、1.B　2.C　3.C　4.D　5.C

6．B　【点拨】∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABE＝∠DCE＝90°.

又∵∠AEB＝∠DEC，

∴△ABE∽△DCE.

∴＝，即＝.

∴AB＝40 m.

7．B

8．B　【点拨】由∠A＝∠ABC＝90°，CF⊥BE，易证△ABE∽△FCB.

∴＝.由AE＝×3＝1.5，

AB＝2，易得BE＝2.5，

∴＝.∴CF＝2.4.

9．D

10．D　【点拨】∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，

∴∠CAD＋∠FAG＝90°.

∵FG⊥CA，

∴∠G＝90°＝∠ACB.

∴∠AFG＋∠FAG＝90°.

∴∠DAC＝∠AFG.

在△FGA和△ACD中，

∴△FGA≌△ACD.(AAS)

∴AC＝FG.故①正确．

∵BC＝AC，

∴FG＝BC.

∵∠ACB＝90°，FG⊥CA，

∴FG∥BC.

∴四边形CBFG是矩形．

∴∠CBF＝90°，S_△FAB＝FB·FG＝S_{四边形CBFG}.故②正确．

∵CA＝CB，∠C＝∠CBF＝90°，

∴∠ABC＝∠ABF＝45°.故③正确．

易知∠FQE＝∠DQB＝∠ADC，∠E＝∠C＝90°，

∴△ACD∽△FEQ，

∴AC∶AD＝FE∶FQ.

∴AD·FE＝AD²＝FQ·AC.故④正确．

二、11.160　【点拨】设小明所居住的城市与A地之间的实际距离为x km，根据题意可列比例式为＝，解得x＝160.

12.或3　【点拨】由题意得∠ABC＝∠FBP＝90°，∴∠ABP＝∠CBF.当△MBC∽△ABP时，BMAB＝BCBP，得BM＝4×4÷3＝；当△CBM∽△ABP时，BM:BP＝CB:AB，得BM＝4×3÷4＝3.

13．14　【点拨】如图，过点C作CH⊥AB于点H，交EF于点P，则CH＝DA＝42 m，由题意知，CP＝45 cm＝0.45 m，EF＝15 cm＝0.15 m.

∵EF∥AB，

∴∠CEF＝∠CBA，∠CFE＝∠CAB.

∴△CEF∽△CBA.

∴＝，即＝.

∴AB＝14 m，即铁塔的高度是14 m.

14.×　【点拨】在正三角形ABC中，AB₁⊥BC，∴BB1＝BC＝1.在Rt△ABB₁中，AB₁＝＝＝.

根据题意可得△AB₂B₁∽△AB₁B，记△AB₁B的面积为S，∴＝.∴S₁＝S.

同理可得S₂＝S₁，S₃＝S₂，S₄＝S₃，…，S_n＝S_n－1.

又∵S＝×1×＝，

∴S₁＝S＝×，S₂＝S₁＝×，

S₃＝S₂＝×，

S₄＝S₃＝×，

…，

S_n＝×.

三、15.解：设＝＝＝k(k≠0)，

则x＝2k，y＝3k，z＝5k.

∵3x＋2y－z＝14，

∴6k＋6k－5k＝14，解得k＝2，

∴x＝4，y＝6，z＝10.

16．解：∵BD是∠ABC的平分线，

∴∠ABD＝∠CBD.

∵AB∥CD，∴∠D＝∠ABD，

∴∠D＝∠CBD，∴BC＝CD.

∵BC＝4，∴CD＝4，

又∵∠AEB＝∠CED，

∴△ABE∽△CDE，

∴＝，∴＝，

∴CE＝AE.又∵AC＝6＝AE＋CE，

∴AE＝4.

17．解：分两种情况讨论：

(1)若△CDM∽△MAN，则＝.

∵正方形ABCD的边长为a，M是AD的中点，∴AN＝a.

(2)若△CDM∽△NAM，则＝.∵正方形ABCD的边长为a，M是AD的中点，∴AN＝a，即N点与B点重合，不符合题意．

∴能在边AB上找一点N(不与A，B重合)，使得△CDM与△MAN相似，此时AN＝a.

18．证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，

∴CD＝CB，∠D＝∠B，CD∥AB.

又∵DF＝BE，

∴△CDF≌△CBE.(SAS)

∴∠DCF＝∠BCE.

∵CD∥BH，

∴∠H＝∠DCF.

∴∠BCE＝∠H.

又∵∠B＝∠B，

∴△BEC∽△BCH.

(2)∵BE²＝AB·AE，

∴＝.

∵AG∥BC，

∴△AEG∽△BEC.

∴＝.

∴＝.

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC.

∴BE＝AG.

又∵BE＝DF，

∴AG＝DF.

19．解：∵BF⊥AC，

∴∠ACB＋∠CBF＝90°.

∵四边形ABCD为矩形，

∴∠BCF＝∠ABC＝90°，AB∥CD，

AD＝BC.

∴∠CAB＋∠ACB＝90°.

∴∠CAB＝∠CBF.

∴△FCB∽△CBA.

∴CFCB＝CBAB，

又∵＝，AD＝BC，

∴CF:CB＝CB:AB＝AD:AB＝1:2.

∴FC:AB＝1:4.

∵FC∥AB，∴△FCE∽△BAE.

∴＝＝＝.

20．解：(1)如图所示．

(2)如图所示．

(3)如图，连接CC₁，C₁C₂，△CC₁C₂的面积为×3×6＝9.

21．解：根据题意得AB⊥BH，CD⊥BH，FG⊥BH.

在Rt△ABE和Rt△CDE中，

∵AB⊥BH，CD⊥BH，∴CD∥AB，

易得△CDE∽△ABE.

∴＝ ，①

同理得＝，

又∵CD＝FG＝1.7 m，

∴＝，

即＝，

解得BD＝7.5 m，

将BD＝7.5 m代入①，得

AB＝5.95 m≈6.0 m.

故这根路灯杆AB的高度约为6.0 m.

22．解：(1)由题意知AP＝2t cm，DQ＝t cm，QA＝(6－t)cm，当QA＝AP时，

△QAP是等腰直角三角形，

∴6－t＝2t，解得t＝2.

∴当t＝2时，△QAP是等腰直角三角形．

(2)四边形QAPC的面积＝S_△QAC＋S_△APC＝AQ·AB＋AP·BC＝(36－6t)＋6t＝36(cm²)．由计算结果发现：在P，Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变．

(3)分两种情况：

①当＝时，△QAP∽△ABC，则＝，即t＝1.2；

②当＝时，△PAQ∽△ABC，则＝，即t＝3.

∴当t＝1.2或t＝3时，以点Q，A，P为顶点的三角形与△ABC相似．

23．解：(1)当α＝0°时，∵BC＝2AB＝8，∴AB＝4.∵点D，E分别是边BC，AC的中点，∴BD＝4，AE＝EC＝AC.

∵∠B＝90°，

∴AC＝＝4 ，

∴AE＝CE＝2 ，

∴＝＝.

当α＝180°时，如图①，

易得AC＝4 ，CE＝2 ，CD＝4，

∴＝＝＝.

(2)无变化．

证明：在题图①中，∵DE是△ABC的中位线，

∴DE∥AB，

∴＝，∠EDC＝∠B＝90°.

如题图②，∵△EDC在旋转过程中的形状和大小不变，

∴＝仍然成立．

又∵∠ACE＝∠BCD＝α，

∴△ACE∽△BCD.∴＝.

∵＝＝.∴＝.

∴的值无变化．

(3)当△EDC在BC的上方，且A，D，E三点共线时，四边形ABCD为矩形，如图②，∴BD＝AC＝4 ；当△EDC在BC的下方，且A，E，D三点共线时，△ADC为直角三角形，如图③，由勾股定理可得AD＝＝8.又易知DE＝2，

∴AE＝6.∵＝，∴BD＝.

综上，BD的长为4 或.