【331677】代几结合专题：反比例函数与几何图形的综合(选做)

代几结合专题：反比例函数与几何图形的综合(选做)

——代几结合，掌握中考风向标

类型一　与三角形的综合

1．(2016·云南中考)位于第一象限的点E在反比例函数y＝的图象上，点F在x轴的正半轴上，O是坐标原点．若EO＝EF，△EOF的面积等于2，则k的值为(　　)

A．4 B．2 C．1 D．－2

2．(2016·菏泽中考)如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S_△OAC－S_△BAD为(　　)

A．36 B．12 C．6 D．3

第2题图 第3题图 第4题图

3．如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，则△OAB的面积等于________．

4．(2016·包头中考)如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，点B在x轴上，∠AOB＝30°，AB＝BO，反比例函数y＝(x＜0)的图象经过点A，若S_△AOB＝，则k的值为________．

5．(2016·宁波中考)如图，点A为函数y＝(x>0)图象上一点，连接OA，交函数y＝(x>0)的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO＝AC，则△ABC的面积为________．

第5题图 第6题图

6．★如图，若双曲线y＝(k＞0)与边长为3的等边△AOB(O为坐标原点)的边OA、AB分别交于C、D两点，且OC＝2BD，则k的值为________．

7．(2016·宁夏中考)如图，Rt△ABO的顶点O在坐标原点，点B在x轴上，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，OB＝2，反比例函数y＝(x>0)的图象经过OA的中点C，交AB于点D.

(1)求反比例函数的关系式；

(2)连接CD，求四边形CDBO的面积．

8．(2016·大庆中考)如图，P₁、P₂是反比例函数y＝(k>0)在第一象限图象上的两点，点A₁的坐标为(4，0)．若△P₁OA₁与△P₂A₁A₂均为等腰直角三角形，其中点P₁、P₂为直角顶点．

(1)求反比例函数的解析式；

(2)①求P₂的坐标；②根据图象直接写出在第一象限内当x满足什么条件时，经过点P₁、P₂的一次函数的函数值大于反比例函数y＝的函数值．

类型二　与特殊四边形的综合

9．如图，点A是反比例函数y＝－(x＜0)的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使B、C在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形ABCD的面积为(　　)　　　　　　　　　　　　　

A．1 B．3 C．6 D．12

第9题图 第10题图

10．(2016·烟台中考)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y＝的图象上，则k的值为________．

11．(2016·齐齐哈尔中考)如图，已知点P(6，3)，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y＝的图象交PM于点A，交PN于点B，若四边形OAPB的面积为12，则k＝________．

第11题图 第12题图

12．如图，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别是(4，0)和(0，2)，反比例函数y＝(x＞0)的图象过对角线的交点P并且与AB，BC分别交于D，E两点，连接OD，OE，DE，则△ODE的面积为________．

13．(2016·资阳中考)如图，在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是(1，0)、(3，1)、(3，3)，双曲线y＝(k≠0，x>0)过点D.

(1)求双曲线的解析式；

(2)作直线AC交y轴于点E，连接DE，求△CDE的面积．

14．(2016·泰安中考)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为(0，3)，点A在x轴的负半轴上，点D、M分别在边AB、OA上，且AD＝2DB，AM＝2MO，一次函数y＝kx＋b的图象过点D和M，反比例函数y＝的图象经过点D，与BC的交点为N.

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)若点P在直线DM上，且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标．

类型三　动点、规律性问题

15．(2016·长春中考)如图，在平面直角坐标系中，点P(1，4)，Q(m，n)在函数y＝(x>0)的图象上，当m>1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B，过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C，D.QD交AP于点E，随着x的增大，四边形ACQE的面积(　　)

A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小

第15题图 第16题图

16．★在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，有一系列点A₁，A₂，A₃，…，A_n，A_n＋1，若A₁的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2.现分别过点A₁，A₂，A₃，…，A_n，A_n＋1作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为S₁，S₂，S₃，…，S_n，则S₁＝________，S₁＋S₂＋S₃＋…＋S_n＝________(用含n的代数式表示)．

参考答案与解析

1．B

2．D　解析：设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，则点B的坐标为(a＋b，a－b)．∵点B在反比例函数y＝的第一象限图象上，∴(a＋b)×(a－b)＝a²－b²＝6.∴S_△OAC－S_△BAD＝a²－b²＝(a²－b²)＝×6＝3.

3.　解析：延长BA交y轴于点C.S_△OAC＝×5＝，S_△OCB＝×8＝4，则S_△OAB＝S_△OCB－S_△OAC＝4－＝.

4．－3

5．6　解析：设点A的坐标为，点B的坐标为.∵点C是x轴上一点，且AO＝AC，∴点C的坐标是(2a，0)．设过点O(0，0)，A的直线的解析式为y＝kx，∴＝k·a，解得k＝.又∵点B在y＝x上，∴＝·b，解得＝3或＝－3(舍去)，∴S_△ABC＝S_△AOC－S_△OBC＝－＝－＝9－3＝6.

6.　解析：过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F.设OC＝2x，则BD＝x.在Rt△OCE中，OC＝2x，∠COE＝60°，∴∠OCE＝30°，则OE＝x，CE＝x，则点C的坐标为(x，x)．在Rt△BDF中，BD＝x，∠DBF＝60°，∴∠BDF＝30°，则BF＝x，DF＝x，则点D的坐标为.将点C的坐标代入反比例函数解析式可得k＝x²，将点D的坐标代入反比例函数解析式可得k＝x－x²，则x²＝x－x²，解得x₁＝，x₂＝0(舍去)，故k＝x²＝.

7．解：(1)∵∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，OB＝2，∴OA＝2AB，∴(2AB)²＝AB²＋(2)²，∴AB＝2.作CE⊥OB于E.∵∠ABO＝90°，∴CE∥AB.∵OC＝AC，∴OE＝BE＝OB＝，CE＝AB＝1，∴C点坐标为(，1)．∵反比例函数y＝(x>0)的图象经过OA的中点C，∴1＝，∴k＝，∴反比例函数的关系式为y＝；

(2)∵OB＝2，∴D的横坐标为2，代入y＝得y＝，∴D点坐标为，∴BD＝.∵AB＝2，∴AD＝AB－BD＝，∴S_△ACD＝AD·BE＝××＝.∴S_{四边形CDBO}＝S_△AOB－S_△ACD＝OB·AB－＝×2×2－＝.

8. 解：(1)过点P₁作P₁B⊥x轴，垂足为B.∵点A₁的坐标为(4，0)，△P₁OA₁为等腰直角三角形，∴OB＝2，P₁B＝OA₁＝2，∴P₁的坐标为(2，2)．将P₁的坐标代入反比例函数y＝(k>0)，得k＝2×2＝4，∴反比例函数的解析式为y＝；

(2)①过点P₂作P₂C⊥x轴，垂足为C，∵△P₂A₁A₂为等腰直角三角形，∴P₂C＝A₁C.设P₂C＝A₁C＝a，则P₂的坐标为(4＋a，a)．将P₂的坐标代入反比例函数的解析式y＝中，得a＝，解得a₁＝2－2，a₂＝－2－2(舍去)，∴P₂的坐标为(2＋2，2－2)；②在第一象限内，当2<x<2＋2时，经过点P₁、P₂的一次函数的函数值大于反比例函数y＝的函数值．

9．C　10.－6

11．6　解析：∵点P的坐标为(6，3)，∴点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3，代入反比例函数y＝，得点A的纵坐标为，点B的横坐标为，即AM＝，NB＝.∵S_{四边形OAPB}＝12，即S_矩形OMPN－S_△OAM－S_△NBO＝12，∴6×3－×6×－×3×＝12，解得k＝6.

12.　解析：∵四边形OABC是矩形，∴AB＝OC，BC＝OA.∵A、C的坐标分别是(4，0)和(0，2)，∴OA＝4，OC＝2.∵P是矩形对角线的交点，∴P点的坐标是(2，1)．∵反比例函数y＝(x＞0)的图象过对角线的交点P，∴k＝2，∴反比例函数的解析式为y＝.∵D，E两点在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，∴D点的坐标是，E点的坐标是(1，2)，∴S_△ODE＝S_矩形OABC－S_△AOD－S_△COE－S_△BDE＝4×2－×2－×2－××3＝.

13．解：(1)∵在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是(1，0)、(3，1)、(3，3)，∴点D的坐标是(1，2)．∵双曲线y＝(k≠0，x>0)过点D，∴2＝，得k＝2，即双曲线的解析式是y＝(x>0)；

(2)∵直线AC交y轴于点E，∴S_△CDE＝S_△EDA＋S_△ADC＝＋＝1＋2＝3，即△CDE的面积是3.

14．解：(1)∵正方形OABC的顶点C的坐标为(0，3)，∴OA＝AB＝BC＝OC＝3，∠OAB＝∠B＝∠BCO＝90°.∵AD＝2DB，∴AD＝AB＝2，∴D点的坐标为(－3，2)．把D点的坐标代入y＝得m＝－6，∴反比例函数的解析式为y＝－.∵AM＝2MO，∴MO＝OA＝1，∴M点的坐标为(－1，0)．把M点与D点的坐标代入y＝kx＋b中得解得则一次函数的解析式为y＝－x－1；

(2)把y＝3代入y＝－得x＝－2，∴N点坐标为(－2，3)，∴NC＝2.设P点坐标为(x，y)．∵△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，∴(OM＋NC)·OC＝OM·|y|，即|y|＝9，解得y＝±9.当y＝9时，x＝－10，当y＝－9时，x＝8，则点P的坐标为(－10，9)或(8，－9)．

15．B　解析：由题意得AC＝m－1，CQ＝n，则S_{四边形ACQE}＝AC·CQ＝(m－1)n＝mn－n.∵P(1，4)，Q(m，n)在函数y＝(x>0)的图象上，∴mn＝k＝4(常数)．∴S_{四边形ACQE}＝4－n.∵当m>1时，n随着m的增大而减小，∴S_{四边形ACQE}＝4－n随着m的增大而增大．故选B.

16．5　　解析：∵点A₁、A₂、A₃、…、A_n、A_n＋1在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，且每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，又点A₁的横坐标为2，∴点A₁的坐标为(2，5)，点A₂的坐标为，∴S₁＝2×＝5.由题图象知，点A_n的坐标为，点A_n＋1的坐标为，∴S₂＝2×＝，∴S_n＝2×＝10(n＝1，2，3，…)．∴S₁＋S₂＋S₃＋…＋S_n＝10＋10＋…＋10＝10＝.