【331466】2019年湖南省岳阳市平江县中考数学二模试卷

2019年湖南省岳阳市平江县中考数学二模试卷

一.选择题（每小题3分，共8个小题，满分24分）

1．（3分）下面四个实数中，是无理数的为（　　）

A．0 B． C．﹣2 D．

2．（3分）下列运算不正确的是（　　）

A．x²•x³＝x⁵ B．（x²）³＝x⁶ C．x³+x³＝2x³ D．2x^﹣2＝

3．（3分）函数y＝ 中，自变量x的取值范围是（　　）

A．x≥1 B．x＞1 C．x≥1且x≠2 D．x≠2

4．（3分）将两个大小完全相同的杯子（如图甲）叠放在一起（如图乙），则图乙中实物的俯视图是（　　）

A． B． C． D．

5．（3分）不等式组 的解集在数轴上可表示为（　　）

A． B．

C． D．

6．（3分）为响应“书香校响园”建设的号召，在全校形成良好的阅读氛围，随机调查了部分学生平均每天阅读时间，统计结果如图所示，则本次调查中阅读时间为的众数和中位数分别是（　　）

A．2和1 B．1.25和1 C．1和1 D．1和1.25

7．（3分）下列命题正确是（　　）

A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

B．有两条边对应相等的两个直角三角形全等

C．16的平方根是4

D．对角线相等的平行四边形是矩形

8．（3分）如图，在平面直角坐标系中2条直线为l₁：y＝﹣3x+3，l₂：y＝﹣3x+9，直线l₁交x轴于点A，交y轴于点B，直线l₂交x轴于点D，过点B作x轴的平行线交l₂于点C，点A、E关于y轴对称，抛物线y＝ax²+bx+c过E、B、C三点，下列判断中：

①a﹣b+c＝0；②2a+b+c＝5；③抛物线关于直线x＝1对称；④抛物线过点（b，c）；⑤S_{四边形ABCD}＝5，

其中正确的个数有（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2

二.填空题（每小题4分，共8个小题，分32分）

9．（4分）因式分解：x³﹣x＝　 　．

10．（4分）据最新统计，苏州市常住人口约为1062万人．数据10 620 000用科学记数法可表示为　 　．

11．（4分）在等腰△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b，c，已知a＝3，b和c是关于x的方程x²+mx+2﹣ m＝0的两个实数根，则△ABC的周长是　 　．

12．（4分）分式方程 ＝ 的解是　 　．

13．（4分）点P的坐标是（a，b），从﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b的值，则点P（a，b）在平面直角坐标系中第二象限内的概率是　 　．

14．（4分）如图，把一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠，若∠BFC′比∠BFE多6°，则∠EFC＝　 　．

15．（4分）如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B＝∠C＝90°，测得BD＝120m，DC＝60m，EC＝50m，求得河宽AB＝　 　m．

16．（4分）如图，在半⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是 的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE，CB于点P，Q，连接AC，关于下列结论：①∠BAD＝∠ABC；②GP＝GD；③点P是△ACQ的外心；④AC²＝CQ•CB，其中结论正确的是　 　．

三.解答题（满分64分）

17．（6分）计算：（﹣1）²⁰¹⁹﹣ +（π﹣3）⁰+4cos45°

18．（6分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD．求证：四边形AODE是菱形．

19．（8分）已知反比例函数 的图象与一次函数y₂＝ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2）．

（1）求这两个函数的解析式；

（2）如果点C与点A关于y轴对称，求△ABC的面积．

20．（8分）学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校，某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：A：好，B：中，C：差．

请根据图中信息，解答下列问题：

（1）求全班学生总人数；

（2）将上面的条形统计图与扇形统计图补充完整；

（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图或列表法求出全是B类学生的概率．

21．（8分）多好佳水果店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1500元购进若干千克，并以每千克9元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1694元所购买的水果比第一次多20千克，以每千克10元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价45%售完剩余的水果．

（1）求第一次水果的进价是每千克多少元．

（2）该水果店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？

22．（8分）近年来，共享单车服务的推出（如图1），极大的方便了城市公民绿色出行，图2是某品牌某型号单车的车架新投放时的示意图（车轮半径约为30cm），其中BC∥直线l，∠BCE＝71°，CE＝54cm．

（1）求单车车座E到地面的高度；（结果精确到1cm）

（2）根据经验，当车座E到CB的距离调整至等于人体胯高（腿长）的0.85时，坐骑比较舒适．小明的胯高为70cm，现将车座E调整至座椅舒适高度位置E′，求EE′的长．（结果精确到0.1cm）

（参考数据：sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）

23．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA＝DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME．

（1）如图1，当∠ADC＝90°时，线段MD与ME的数量关系是　 　；

（2）如图2，当∠ADC＝60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；

（3）如图3，当∠ADC＝α时，求 的值．

24．（10分）如图，抛物线y＝ax²+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x＝﹣1．

（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；

（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．

①当PA⊥NA，且PA＝NA时，求此时点P的坐标；

②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．

2019年湖南省岳阳市平江县中考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（每小题3分，共8个小题，满分24分）

1．（3分）下面四个实数中，是无理数的为（　　）

A．0 B． C．﹣2 D．

【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数即可求解．

【解答】解：A、0是有理数，故选项错误；

B、 是无理数，故选项正确；

C、﹣2是有理数，故选项错误；

D、 是有理数，故选项错误．

故选：B．

2．（3分）下列运算不正确的是（　　）

A．x²•x³＝x⁵ B．（x²）³＝x⁶ C．x³+x³＝2x³ D．2x^﹣2＝

【分析】根据同底数幂的运算法则及合并同类项的法则进行计算即可．

【解答】解：A、x²•x³＝x⁵，正确；

B、（x²）³＝x⁶，正确；

C、x³+x³＝2x³，正确；

D、 ，错误；

故选：D．

3．（3分）函数y＝ 中，自变量x的取值范围是（　　）

A．x≥1 B．x＞1 C．x≥1且x≠2 D．x≠2

【分析】根据分式的分母不为零、被开方数是非负数来求x的取值范围．

【解答】解：依题意得：x﹣1≥0且x﹣2≠0，

解得x≥1且x≠2．

故选：C．

4．（3分）将两个大小完全相同的杯子（如图甲）叠放在一起（如图乙），则图乙中实物的俯视图是（　　）

A． B． C． D．

【分析】俯视图是从上面看，可以看到上面杯子的底，是圆形，可以看到两杯子的口，也是圆形．

【解答】解：从上面看，看到两个圆形，

故选：C．

5．（3分）不等式组 的解集在数轴上可表示为（　　）

A． B．

C． D．

【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．

【解答】解：

∵不等式①得：x＞1，

解不等式②得：x≤2，

∴不等式组的解集为1＜x≤2，

在数轴上表示为： ，

故选：A．

6．（3分）为响应“书香校响园”建设的号召，在全校形成良好的阅读氛围，随机调查了部分学生平均每天阅读时间，统计结果如图所示，则本次调查中阅读时间为的众数和中位数分别是（　　）

A．2和1 B．1.25和1 C．1和1 D．1和1.25

【分析】由统计图可知阅读时间为1小时的有19人，人数最多，所以众数为1小时；总人数为40，得到中位数应为第20与第21个的平均数，而第20个数和第21个数都是1（小时），即可确定出中位数为1小时．

【解答】解：由统计图可知众数为1小时；

共有：8+19+10+3＝40人，中位数应为第20与第21个的平均数，

而第20个数和第21个数都是1（小时），则中位数是1小时．

故选：C．

7．（3分）下列命题正确是（　　）

A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

B．有两条边对应相等的两个直角三角形全等

C．16的平方根是4

D．对角线相等的平行四边形是矩形

【分析】利用平行四边形的判定，全等三角形的判定、平方根的定义及正方形的判定分别判断后即可确定正确的选项．

【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边等的四边形可能是等腰梯形，故原命题错误；

B、有两条边对应相等的两个直角三角形全等，故原命题正确；

C、16的平方根是±4，故原命题错误；

D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，

故选：B．

8．（3分）如图，在平面直角坐标系中2条直线为l₁：y＝﹣3x+3，l₂：y＝﹣3x+9，直线l₁交x轴于点A，交y轴于点B，直线l₂交x轴于点D，过点B作x轴的平行线交l₂于点C，点A、E关于y轴对称，抛物线y＝ax²+bx+c过E、B、C三点，下列判断中：

①a﹣b+c＝0；②2a+b+c＝5；③抛物线关于直线x＝1对称；④抛物线过点（b，c）；⑤S_{四边形ABCD}＝5，

其中正确的个数有（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2

【分析】根据直线l₁的解析式求出A（1，0），B（0，3），根据关于y轴对称的两点坐标特征求出E（﹣1，0）．根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同得出C点纵坐标与B点纵坐标相同都是3，再根据二次函数图象上点的坐标特征求出C（2，3）．利用待定系数法求出抛物线的解析式为y＝﹣x²+2x+3，进而判断各选项即可．

【解答】解：∵直线l₁：y＝﹣3x+3交x轴于点A，交y轴于点B，

∴A（1，0），B（0，3），

∵点A、E关于y轴对称，

∴E（﹣1，0）．

∵直线l₂：y＝﹣3x+9交x轴于点D，过点B作x轴的平行线交l₂于点C，

∴D（3，0），C点纵坐标与B点纵坐标相同都是3，

把y＝3代入y＝﹣3x+9，得3＝﹣3x+9，解得x＝2，

∴C（2，3）．

∵抛物线y＝ax²+bx+c过E、B、C三点，

∴ ，解得 ，

∴y＝﹣x²+2x+3．

①∵抛物线y＝ax²+bx+c过E（﹣1，0），

∴a﹣b+c＝0，故①正确；

②∵a＝﹣1，b＝2，c＝3，

∴2a+b+c＝﹣2+2+3＝3≠5，故②错误；

③∵抛物线过B（0，3），C（2，3）两点，

∴对称轴是直线x＝1，

∴抛物线关于直线x＝1对称，故③正确；

④∵b＝2，c＝3，抛物线过C（2，3）点，

∴抛物线过点（b，c），故④正确；

⑤∵直线l₁∥l₂，即AB∥CD，又BC∥AD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴S_{四边形ABCD}＝BC•OB＝2×3＝6≠5，故⑤错误．

综上可知，正确的结论有3个．

故选：C．

二.填空题（每小题4分，共8个小题，分32分）

9．（4分）因式分解：x³﹣x＝　x（x+1）（x﹣1）　．

【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．

【解答】解：原式＝x（x²﹣1）＝x（x+1）（x﹣1），

故答案为：x（x+1）（x﹣1）

10．（4分）据最新统计，苏州市常住人口约为1062万人．数据10 620 000用科学记数法可表示为　1.062×10⁷　．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：数据10 620 000用科学记数法可表示为1.062×10⁷，

故答案为：1.062×10⁷．

11．（4分）在等腰△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b，c，已知a＝3，b和c是关于x的方程x²+mx+2﹣ m＝0的两个实数根，则△ABC的周长是　7或 　．

【分析】当b＝c时，利用判别式的意义得到△＝m²﹣4×（2﹣ m）＝0，解得m＝﹣4或m＝2，利用根与系数的关系m＝2舍去，b+c＝4，然后计算此时△ABC的周长；当b＝a＝3，把x＝3代入方程解得m＝﹣ ，方程变形为x²﹣ x+ ＝0，利用根与系数的关系得到3c＝ ，解得c＝ ，从而得到此时△ABC的周长；当c＝a＝3，同样方法可得△ABC的周长．

【解答】解：当b＝c时，关于x的方程x²+mx+2﹣ m＝0的两个相等的实数根，则△＝m²﹣4×（2﹣ m）＝0，解得m＝﹣4或m＝2（舍去），

当m＝﹣4时，方程变形为x²﹣4m+4＝0，此时b+c＝4，

所以此时△ABC的周长为3+4＝7；

当b＝a＝3，把x＝3代入方程得9+3m+2﹣ m＝0，解得m＝﹣ ，方程变形为x²﹣ x+ ＝0，则3c＝ ，解得c＝ ，

所以此时△ABC的周长为3+ +3＝ ；

当c＝a＝3，同理可得△ABC的周长为 ；

综上所述，△ABC的周长为7或 ．

故答案为7或 ．

12．（4分）分式方程 ＝ 的解是　x＝9　．

【分析】观察可得最简公分母是x（x﹣3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．

【解答】解：方程的两边同乘x（x﹣3），得

3x﹣9＝2x，

解得x＝9．

检验：把x＝9代入x（x﹣3）＝54≠0．

∴原方程的解为：x＝9．

故答案为：x＝9．

13．（4分）点P的坐标是（a，b），从﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b的值，则点P（a，b）在平面直角坐标系中第二象限内的概率是　 　．

【分析】先画树状图展示所有20种等可能的结果数，再根据第二象限点的坐标特征找出点P（a，b）在平面直角坐标系中第二象限内的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：画树状图为：

共有20种等可能的结果数，其中点P（a，b）在平面直角坐标系中第二象限内的结果数为4，

所以点P（a，b）在平面直角坐标系中第二象限内的概率＝ ＝ ．

故答案为 ．

14．（4分）如图，把一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠，若∠BFC′比∠BFE多6°，则∠EFC＝　122°　．

【分析】本题根据平行线的性质和翻折的性质，求解即可．

【解答】解：设∠EFC＝x，∠1＝y，则∠BFC′＝x﹣y，

∵∠BFC′比∠BFE多6°，

∴x﹣2y＝6，

∵x+y＝180°，

可得x＝122°

故答案为122°．

15．（4分）如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B＝∠C＝90°，测得BD＝120m，DC＝60m，EC＝50m，求得河宽AB＝　100　m．

【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．

【解答】解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°，

∴△ABD∽△ECD，

∴ ， ，

解得：AB＝ （米）．

故答案为：100．

16．（4分）如图，在半⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是 的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE，CB于点P，Q，连接AC，关于下列结论：①∠BAD＝∠ABC；②GP＝GD；③点P是△ACQ的外心；④AC²＝CQ•CB，其中结论正确的是　②③④　．

【分析】连接BD，由GD为圆O的切线，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到∠GDP＝∠ABD，再由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB为直角，由CE垂直于AB，得到∠AFP为直角，再由一对公共角，得到三角形APF与三角形ABD相似，根据相似三角形的对应角相等可得出∠APF等于∠ABD，根据等量代换及对顶角相等可得出∠GPD＝∠GDP，利用等角对等边可得出GP＝GD，选项②正确；由直径AB垂直于弦CE，利用垂径定理得到A为弧CE的中点，得到两条弧相等，再由C为弧AD的中点，得到两条弧相等，等量代换得到三条弧相等，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP＝∠ACP，利用等角对等边可得出AP＝CP，又AB为直径得到∠ACQ为直角，利用等角的余角相等可得出∠PCQ＝∠PQC，得出CP＝PQ，即P为直角三角形ACQ斜边上的中点，即为直角三角形ACQ的外心，选项③正确；利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，得到三角形ACQ与三角形ABC相似，根据相似得比例得到AC²＝CQ•CB，

【解答】解：∵在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，

∴弧AC＝弧AD≠弧BD，

∴∠BAD≠∠ABC，选项①错误；

连接BD，如图所示：

∵GD为圆O的切线，

∴∠GDP＝∠ABD，

又AB为圆O的直径，∴∠ADB＝90°，

∵CE⊥AB，∴∠AFP＝90°，

∴∠ADB＝∠AFP，又∠PAF＝∠BAD，

∴△APF∽△ABD，

∴∠ABD＝∠APF，又∠APF＝∠GPD，

∴∠GDP＝∠GPD，

∴GP＝GD，选项②正确；

∵直径AB⊥CE，

∴A为弧CE的中点，即弧AE＝弧AC，

又C为弧AD的中点，

∴弧AC＝弧CD，

∴弧AE＝弧CD，

∴∠CAP＝∠ACP，

∴AP＝CP，

又AB为圆O的直径，∴∠ACQ＝90°，

∴∠PCQ＝∠PQC，

∴PC＝PQ，

∴AP＝PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，

∴P为Rt△ACQ的外心，选项③正确；

连接CD，如图所示：

∵弧AC＝弧CD，

∴∠B＝∠CAD，

又∵∠ACQ＝∠BCA，

∴△ACQ∽△BCA，

∴ ＝ ，即AC²＝CQ•CB，选项④正确，

综上可知则正确的选项序号有②③④，

故答案为：②③④．

三.解答题（满分64分）

17．（6分）计算：（﹣1）²⁰¹⁹﹣ +（π﹣3）⁰+4cos45°

【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

【解答】解：原式＝1﹣2 +1+4× ，

＝1﹣2 +1+2 ，

＝2．

18．（6分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD．求证：四边形AODE是菱形．

【分析】在矩形ABCD中，可得OD＝OC，由DE∥CA，AE∥BD，所以四边形AODE是平行四边形，两个条件合在一起，可得出其为菱形

【解答】证明：∵DE∥CA，AE∥BD

即 DE∥OA，AE∥OD，

∴四边形OAED是平行四边形，

在矩形ABCD中，

∴AC＝BD，

∴OA＝OD，

∴四边形OAED是菱形．

19．（8分）已知反比例函数 的图象与一次函数y₂＝ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2）．

（1）求这两个函数的解析式；

（2）如果点C与点A关于y轴对称，求△ABC的面积．

【分析】（1）先把点A（1，4）代入 可计算出k＝4，从而得到反比例函数解析式为y₁＝ ，再利用反比例函数解析式确定B点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；

（2）先根据y轴对称的坐标特征确定C点坐标，然后根据三角形面积公式求解．

【解答】解：（1）∵点A（1，4）在 的图象上，

∴k＝1×4＝4，

∴反比例函数解析式为y₁＝ ，

∵点B（m，2）在y₁＝ 的图象上，

∴2m＝4，解得m＝﹣2，

∴点B的坐标为（﹣2，﹣2），

又∵点A，B在一次函数y₂＝ax+b的图象上，

∴ ，解得 ，

∴一次函数解析式为y₂＝2x+2；

∴这两个函数的解析式分别为 ，y₂＝2x+2．

（2）∵点C与点A关于y轴对称，

∴C点坐标为（﹣1，4）．

∴S_△ABC＝ ×2×6＝6．

20．（8分）学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校，某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：A：好，B：中，C：差．

请根据图中信息，解答下列问题：

（1）求全班学生总人数；

（2）将上面的条形统计图与扇形统计图补充完整；

（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图或列表法求出全是B类学生的概率．

【分析】（1）由A类人数及其所占百分比可得总人数；

（2）总人数减去A、B的人数求得C类人数，再分别用B、C的人数除以总人数可得对应百分比，据此即可补全图形；

（3）列表得出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．

【解答】解：（1）全班学生总人数为10÷25%＝40（人）；

（2）∵C类人数为40﹣（10+24）＝6，

∴C类所占百分比为 ×100%＝15%，B类百分比为 ×100%＝60%，

补全图形如下：

（3）列表如下：

	A	B	B	C
A		BA	BA	CA
B	AB		BB	CB
B	AB	BB		CB
C	AC	BC	BC

由表可知，共有12种等可能结果，其中全是B类的有2种情况，

所以全是B类学生的概率为 ＝ ．

21．（8分）多好佳水果店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1500元购进若干千克，并以每千克9元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1694元所购买的水果比第一次多20千克，以每千克10元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价45%售完剩余的水果．

（1）求第一次水果的进价是每千克多少元．

（2）该水果店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？

【分析】（1）设第一次水果的进价是每千克x元，则第二次水果的进价是每千克1.1x元，根据数量＝总价÷单价结合第二次比第一次多购进20千克，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）利用数量＝总价÷单价可求出第一次购进水果数量，由总利润＝每千克利润×销售数量可求出第一次购进水果的销售利润，同理可求出第二次购进水果的销售利润，将二者相加即可得出结论．

【解答】解：（1）设第一次水果的进价是每千克x元，则第二次水果的进价是每千克1.1x元，

根据题意，得： ﹣ ＝20，

解得：x＝2，

经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意．

答：第一次水果的进价是每千克2元．

（2）第一次购买水果1500÷2＝750（千克），

第一次利润为750×（9﹣2）＝5250（元）．

第二次购买水果750+20＝770（千克），

第二次利润为100×（10﹣2.2）+（770﹣100）×（10×55%﹣2.2）＝2991（元）．

5250+2991＝8241（元）．

答：该水果店在这两次销售中，总体上是盈利了，盈利了8241元．

22．（8分）近年来，共享单车服务的推出（如图1），极大的方便了城市公民绿色出行，图2是某品牌某型号单车的车架新投放时的示意图（车轮半径约为30cm），其中BC∥直线l，∠BCE＝71°，CE＝54cm．

（1）求单车车座E到地面的高度；（结果精确到1cm）

（2）根据经验，当车座E到CB的距离调整至等于人体胯高（腿长）的0.85时，坐骑比较舒适．小明的胯高为70cm，现将车座E调整至座椅舒适高度位置E′，求EE′的长．（结果精确到0.1cm）

（参考数据：sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）

【分析】（1）作EM⊥BC于点M，由EB＝ECsin∠BCE＝54sin71可得答案；

（2）作E′H⊥BC于点H，先根据E′C＝ 求得E′C的长度，再根据EE′＝CE′﹣CE可得答案．

【解答】解：（1）如图1，过点E作EM⊥BC于点M，

由题意知∠BCE＝71°、EC＝54，

∴EB＝ECsin∠BCE＝54sin71°≈51.3，

则单车车座E到地面的高度为51.3+30≈81cm；

（2）如图2所示，过点E′作E′H⊥BC于点H，

由题意知E′H＝70×0.85＝59.5，

则E′C＝ ＝ ≈62.6，

∴EE′＝CE′﹣CE＝62.6﹣54＝8.6（cm）．

23．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA＝DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME．

（1）如图1，当∠ADC＝90°时，线段MD与ME的数量关系是　MD＝ME　；

（2）如图2，当∠ADC＝60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；

（3）如图3，当∠ADC＝α时，求 的值．

【分析】（1）先判断出△AMF≌△BME，得出AF＝BE，MF＝ME，进而判断出∠EBC＝∠BED﹣∠ECB＝45°＝∠ECB，得出CE＝BE，即可得出结论；

（2）同（1）的方法即可；

（3）同（1）的方法判断出AF＝BE，MF＝ME，再判断出∠ECB＝∠EBC，得出CE＝BE即可得出∠MDE＝ ，即可得出结论．

【解答】解：（1）如图1，延长EM交AD于F，

∵BE∥DA，

∴∠FAM＝∠EBM，

∵AM＝BM，∠AMF＝∠BME，

∴△AMF≌△BME，

∴AF＝BE，MF＝ME，

∵DA＝DC，∠ADC＝90°，

∴∠BED＝∠ADC＝90°，∠ACD＝45°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ECB＝45°，

∴∠EBC＝∠BED﹣∠ECB＝45°＝∠ECB，

∴CE＝BE，

∴AF＝CE，

∵DA＝DC，

∴DF＝DE，

∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，

∴∠MDE＝45°，

∴MD＝ME，

故答案为MD＝ME；

（2）MD＝ ME，理由：

如图1，延长EM交AD于F，

∵BE∥DA，

∴∠FAM＝∠EBM，

∵AM＝BM，∠AMF＝∠BME，

∴△AMF≌△BME，

∴AF＝BE，MF＝ME，

∵DA＝DC，∠ADC＝60°，

∴∠BED＝∠ADC＝60°，∠ACD＝60°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ECB＝30°，

∴∠EBC＝∠BED﹣∠ECB＝30°＝∠ECB，

∴CE＝BE，

∴AF＝CE，

∵DA＝DC，

∴DF＝DE，

∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，

∴∠MDE＝30°，

在Rt△MDE中，tan∠MDE＝ ，

∴MD＝ ME．

（3）如图3，延长EM交AD于F，

∵BE∥DA，

∴∠FAM＝∠EBM，

∵AM＝BM，∠AMF＝∠BME，

∴△AMF≌△BME，

∴AF＝BE，MF＝ME，

延长BE交AC于点N，

∴∠BNC＝∠DAC，

∵DA＝DC，

∴∠DCA＝∠DAC，

∴∠BNC＝∠DCA，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ECB＝∠EBC，

∴CE＝BE，

∴AF＝CE，

∴DF＝DE，

∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，

∵∠ADC＝α，

∴∠MDE＝ ，

在Rt△MDE中， ＝tan∠MDE＝tan ．

24．（10分）如图，抛物线y＝ax²+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x＝﹣1．

（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；

（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．

①当PA⊥NA，且PA＝NA时，求此时点P的坐标；

②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．

【分析】（1）将已知点的坐标代入已知的抛物线的解析式，利用待定系数法确定抛物线的解析式即可；

（2）①首先求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PE＝OA，从而得到方程求得x的值即可求得点P的坐标；

②用分割法将四边形的面积S_{四边形BCPA}＝S_△OBC+S_△OAC，得到二次函数，求得最值即可．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax²+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x＝﹣1，

∴ ，

解得： ．

∴二次函数的解析式为y＝﹣x²﹣2x+3＝﹣（x+1）²+4，

∴顶点坐标为（﹣1，4）；

（2）令y＝﹣x²﹣2x+3＝0，解得x＝﹣3或x＝1，

∴点A（﹣3，0），B（1，0），

作PD⊥x轴于点D，

∵点P在y＝﹣x²﹣2x+3上，

∴设点P（x，﹣x²﹣2x+3）

①∵PA⊥NA，且PA＝NA，

∴△PAD≌△ANQ，

∴AQ＝PD，

即y＝﹣x²﹣2x+3＝2，

解得x＝ ﹣1（舍去）或x＝﹣ ﹣1，

∴点P（﹣ ﹣1，2）；

②设P（x，y），则y＝﹣x²﹣2x+3，

由于P在第二象限，所以其横坐标满足：﹣3＜x＜0，

∵S_{四边形PABC}＝S_△OBC+S_△APO+S_△OPC，

S_△OBC＝ OB•OC＝ ×3×1＝ ，

S_△APO＝ AO•|y|＝ ×3•y＝ y＝ （﹣x²﹣2x+3）＝﹣ x²﹣3x+ ，

S_△OPC＝ CO•|x|＝ ×3•（﹣x）＝﹣ x，

∴S_{四边形PABC}＝ ﹣ x²﹣3x+ ﹣ x＝6﹣ x﹣ x²＝﹣ （x+ ）²+ ，

∴当x＝﹣ 时，S_{四边形PABC最大值}＝ ，此时y＝﹣x²﹣2x+3＝ ，

所以P（﹣ ， ）．

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日期：2019/8/15 17:29:44；用户：15527082918；邮箱：15527082918；学号：27022530