【331465】2019年湖南省娄底市中考数学模拟试卷（二）解析版

2019年湖南省娄底市中考数学模拟试卷（二）

一、选择题（本大题共12个小题，/每小题3分，满分36分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题设要求的，请把你认为符合题目要求的选项填在下表中相应的题号下）

1．（3分）﹣5的绝对值是（　　）

A．5 B．﹣5 C． D．﹣

2．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．.x³•x³＝x B．（．ab³）²＝ab⁶

C．x⁸÷x⁴＝x² D．（2x）³＝8x³

3．（3分）下列生态环保标志中，是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

4．（3分）已知A组四人的成绩分别为90、60、90、60，B组四人的成绩分别为70、80、80、70，用下列哪个统计知识分析区别两组成绩更恰当（　　）

A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差

5．（3分）据《经济日报》2018年5月21日报道：目前，世界集成电路生产技术水平最高已达到7nm（1nm＝10^﹣9m），主流生产线的技术水平为14～28nm，中国大陆集成电路生产技术水平最高为28nm．将28nm用科学记数法可表示为（　　）

A．28×10^﹣9m B．2.8×10^﹣8m C．28×10⁹m D．2.8×10⁸m

6．（3分）在下列几何体中，主视图是圆的是（　　）

A． B． C． D．

7．（3分）如图，点A，B，C，D都在⊙O上，AC，BD相交于点E，则∠ABD＝（　　）

A．∠ACD B．∠ADB C．∠AED D．∠ACB

8．（3分）将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED′＝55°，则∠BAD′的大小是（　　）

A．30° B．35° C．45° D．60°

9．（3分）若关于x的一元二次方程x²+bx+c＝0的两个实数根分别为x₁＝﹣2，x₂＝4，则b+c的值是（　　）

A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．﹣1

10．（3分）已知反比例函数y＝ 的图象上有两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），当x₁＜0＜x₂时，有y₁＜y₂，则m的取值范围是（　　）

A．m＜0 B．m＞0 C．m＜ D．m＞

11．（3分）程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：

一百馒头一百僧，大僧三个更无争，

小僧三人分一个，大小和尚得几丁．

意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人，下列求解结果正确的是（　　）

A．大和尚25人，小和尚75人

B．大和尚75人，小和尚25人

C．大和尚50人，小和尚50人

D．大、小和尚各100人

12．（3分）抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则下列结论：①4ac﹣b²＜0；②2a﹣b＝0；③a+b+c＜0；④点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）在抛物线上，若x₁＜x₂，则y₁≤y₂，其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）

13．（3分）函数 中自变量x的取值范围是　 　．

14．（3分）已知点M（3，﹣2），将它先向左平移2个单位，再向上平移4个单位后得到点N，则点N的坐标是　 　．

15．（3分）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE＝150°，则∠C＝　 　°．

16．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于半径为3的圆O，则劣弧AB的长度为　 　．

17．（3分）在﹣9，﹣6，﹣3，﹣1，2，3，6，8，11这九个数中，任取一个作为a值，能够使关于x的一元二次方程x²+ax+9＝0有两个不相等的实数根的概率是　 　．

18．（3分）记S_n＝a₁，+a₂+…a_n，令T_n＝ ，则称T_n为a₁，a₂，…，a_n这列数的“凯森和”，已知a₁，a₂，…a₅₀₀的“凯森和”为2004，那么1，a₁，a₂，…a₅₀₀的“凯森和”为　 　．

三、解答题（本大题共2个小题，每小题6分，满分12分）

19．（6分）计算

20．（6分）先化简，再求值：（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）²+8b²，其中a＝﹣6，b＝

四、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，满分16分）

21．（8分）为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，从我做起”的主题活动，学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下：

课外阅读时间（单位：小时）	频数（人数）	频率
0＜t≤2	2	0.04
2＜t≤4	3	0.06
4＜t≤6	15	0.30
6＜t≤8	a	0.50
t＞8	5	b

请根据图表信息回答下列问题：

（1）频数分布表中的a＝　 　，b＝　 　；

（2）将频数分布直方图补充完整；

（3）学校将每周课外阅读时间在8小时以上的学生评为“阅读之星”，请你估计该校2000名学生中评为“阅读之星”的有多少人？

22．（8分）如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡AE的长度．她先在山脚下点E处测得山顶A的仰角是30°，然后，她沿着坡度是i＝1：1（即tan∠CED＝1）的斜坡步行15分钟抵达C处，此时，测得A点的俯角是15°．已知小丽的步行速度是18米/分，图中点A、B、E、D、C在同一平面内，且点D、E、B在同一水平直线上．求出娱乐场地所在山坡AE的长度．（参考数据：≈1.41，结果精确到0.1米）

五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，满分18分）

23．（9分）从甲市到乙市乘坐高铁列车的路程为180千米，乘坐普通列车的路程为240千米，高铁列车的平均速度是普通列车的平均速度的3倍，高铁列车的乘车时间比普通列车的乘车时间缩短了2小时．

（1）求高铁列车的平均速度是每小时多少千米；

（2）某日王老师要去距离甲市大约405m的某地参加14：00召开的会议，如果他买到当日10：40从甲市至该地的高铁票，而且从该地高铁站到会议地点最多需要1.5h，试问在高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前到达吗？

24．（9分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，线段AC的垂直平分线交AC于D点，交BC于E点，过点A作BC的平行线交直线ED于F点，连接AE，CF．

（1）求证：四边形AECF是菱形；

（2）若AB＝10，∠ACB＝30°，求菱形AECF的面积．

六、综合探究题（本大题共2个小题，每小题10分，满分20分）

25．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）求证：BC＝ AB；

（3）点M是 的中点，CM交AB于点N，若AB＝4，求MN•MC的值．

26．（10分）如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；

（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．

2019年湖南省娄底市中考数学模拟试卷（二）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12个小题，/每小题3分，满分36分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题设要求的，请把你认为符合题目要求的选项填在下表中相应的题号下）

1．（3分）﹣5的绝对值是（　　）

A．5 B．﹣5 C． D．﹣

【分析】根据绝对值的性质求解．

【解答】解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得|﹣5|＝5．

故选：A．

【点评】此题主要考查的是绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

2．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．.x³•x³＝x B．（．ab³）²＝ab⁶

C．x⁸÷x⁴＝x² D．（2x）³＝8x³

【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方和幂的乘方、同底数幂的除法进行计算即可．

【解答】解：A、x³•x³＝x⁶，故A错误；

B、（ab³）²＝a²b⁶，故B错误；

C、x⁸÷x⁴＝x⁴，故C错误；

D、（2x）³＝8x³，故D正确；

故选：D．

【点评】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的除法，掌握运算法则是解题的关键．

3．（3分）下列生态环保标志中，是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】根据中心对称图形的定义对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；

B、是中心对称图形，故本选项正确；

C、不是中心对称图形，故本选项错误；

D、不是中心对称图形，故本选项错误．

故选：B．

【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

4．（3分）已知A组四人的成绩分别为90、60、90、60，B组四人的成绩分别为70、80、80、70，用下列哪个统计知识分析区别两组成绩更恰当（　　）

A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差

【分析】根据平均数、中位数、众数以及方差的意义进行选择即可．

【解答】解：∵ ＝75， ＝75；

甲的中位数为75，乙的中位数为75；

甲的众数为90，60，乙的众数为80，70；

∴通过平均数、中位数、众数不能区别两组成绩，

∴应通过方差区别两组成绩更恰当，

故选：D．

【点评】本题考查了统计量的选择，掌握平均数、中位数、众数以及方差的意义是解题的关键．

5．（3分）据《经济日报》2018年5月21日报道：目前，世界集成电路生产技术水平最高已达到7nm（1nm＝10^﹣9m），主流生产线的技术水平为14～28nm，中国大陆集成电路生产技术水平最高为28nm．将28nm用科学记数法可表示为（　　）

A．28×10^﹣9m B．2.8×10^﹣8m C．28×10⁹m D．2.8×10⁸m

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10^﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：28nm＝28×10^﹣9m＝2.8×10^﹣8m．

故选：B．

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10^﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

6．（3分）在下列几何体中，主视图是圆的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】找到从正面看所得到的图形比较即可．

【解答】解：A、主视图是三角形，错误；

B、主视图是矩形，错误；

C、主视图是等腰梯形，错误；

D、主视图是圆，正确．

故选：D．

【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．

7．（3分）如图，点A，B，C，D都在⊙O上，AC，BD相交于点E，则∠ABD＝（　　）

A．∠ACD B．∠ADB C．∠AED D．∠ACB

【分析】根据圆周角定理即可判断A、B、D，根据三角形外角性质即可判断C．

【解答】解：A、∵∠ABD对的弧是弧AD，∠ACD对的弧也是AD，

∴∠ABD＝∠ACD，故A选项正确；

B、∵∠ABD对的弧是弧AD，∠ADB对的弧也是AB，而已知没有说 ＝ ，

∴∠ABD和∠ACD不相等，故B选项错误；

C、∠AED＞∠ABD，故C选项错误；

D、∵∠ABD对的弧是弧AD，∠ACB对的弧也是AB，而已知没有说 ＝ ，

∴∠ABD和∠ACB不相等，故D选项错误；

故选：A．

【点评】本题考查了圆周角定理和三角形外角性质的应用，注意：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．

8．（3分）将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED′＝55°，则∠BAD′的大小是（　　）

A．30° B．35° C．45° D．60°

【分析】由题意推出∠DED′＝125°，得∠DAD′＝55°，所以∠BAD′＝35°．

【解答】解：∵如图所示△EDA≌△ED′A，

∴∠D＝∠D′＝∠DAE＝90°，

∵∠CED′＝55°，

∴∠DED′＝125°，

∴∠DAD′＝55°，

∴∠BAD′＝35°．

故选：B．

【点评】本题主要考查翻折变换的性质、正方形的性质、四边形内角和定理，解题的关键在于求出∠DAD′的度数．

9．（3分）若关于x的一元二次方程x²+bx+c＝0的两个实数根分别为x₁＝﹣2，x₂＝4，则b+c的值是（　　）

A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．﹣1

【分析】根据根与系数的关系得到﹣2+4＝﹣b，﹣2×4＝c，然后可分别计算出b、c的值，进一步求得答案即可．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程x²+bx+c＝0的两个实数根分别为x₁＝﹣2，x₂＝4，

∴根据根与系数的关系，可得﹣2+4＝﹣b，﹣2×4＝c，

解得b＝﹣2，c＝﹣8

∴b+c＝﹣10．

故选：A．

【点评】此题考查根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x₁+x₂＝﹣ ，x₁x₂＝ ．

10．（3分）已知反比例函数y＝ 的图象上有两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），当x₁＜0＜x₂时，有y₁＜y₂，则m的取值范围是（　　）

A．m＜0 B．m＞0 C．m＜ D．m＞

【分析】先根据当x₁＜0＜x₂时，有y₁＜y₂，判断出1﹣2m的符号，求出m的取值范围即可．

【解答】解：∵反比例函数y＝ 的图象上有两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），当x₁＜0＜x₂时，有y₁＜y₂，

∴反比例函数的图象在一三象限，

∴1﹣2m＞0，解得m＜ ．

故选：C．

【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出反比例函数y＝ 的图象在一、三象限是解答此题的关键．

11．（3分）程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：

一百馒头一百僧，大僧三个更无争，

小僧三人分一个，大小和尚得几丁．

意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人，下列求解结果正确的是（　　）

A．大和尚25人，小和尚75人

B．大和尚75人，小和尚25人

C．大和尚50人，小和尚50人

D．大、小和尚各100人

【分析】根据100个和尚分100个馒头，正好分完．大和尚一人分3个，小和尚3人分一个得到等量关系为：大和尚的人数+小和尚的人数＝100，大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数＝100，依此列出方程即可．

【解答】解：设大和尚有x人，则小和尚有（100﹣x）人，

根据题意得：3x+ ＝100，

解得x＝25

则100﹣x＝100﹣25＝75（人）

所以，大和尚25人，小和尚75人．

故选：A．

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，关键以和尚数和馒头数作为等量关系列出方程．

12．（3分）抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则下列结论：①4ac﹣b²＜0；②2a﹣b＝0；③a+b+c＜0；④点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）在抛物线上，若x₁＜x₂，则y₁≤y₂，其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据函数与x中轴的交点的个数，以及对称轴的解析式，函数值的符号的确定即可作出判断．

【解答】解：函数与x轴有两个交点，则b²﹣4ac＞0，即4ac﹣b²＜0，故①正确；

函数的对称轴是x＝﹣1，即﹣ ＝﹣1，则b＝2a，2a﹣b＝0，故②正确；

当x＝1时，函数对应的点在x轴下方，则a+b+c＜0，则③正确；

则y₁和y₂的大小无法判断，则④错误．

故选：C．

【点评】本题考查了二次函数的性质，主要考查了利用图象求出a，b，c的范围，以及特殊值的代入能得到特殊的式子．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）

13．（3分）函数 中自变量x的取值范围是　x＞4　．

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解．

【解答】解：根据题意得：x﹣4＞0，解得x＞4．

【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．二次根式有意义，被开方数是非负数．

14．（3分）已知点M（3，﹣2），将它先向左平移2个单位，再向上平移4个单位后得到点N，则点N的坐标是　（1，2）　．

【分析】将点M的横坐标减去2，纵坐标加上4即可得到点N的坐标．

【解答】解：∵点M（3，﹣2），将它先向左平移2个单位，再向上平移4个单位后得到点N，

∴点N的坐标是（3﹣2，﹣2+4），即（1，2），

故答案为（1，2）．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移：解题关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变，平移变换是中考的常考点，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．

15．（3分）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE＝150°，则∠C＝　120　°．

【分析】本题主要利用邻补角互补，平行线性质及角平分线的性质进行做题．

【解答】解：∵∠CDE＝150°，

∴∠CDB＝180﹣∠CDE＝30°，

又∵AB∥CD，

∴∠ABD＝∠CDB＝30°；

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABC＝60°，

∴∠C＝180°﹣60°＝120°．

故答案为：120．

【点评】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等，同旁内角互补．

16．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于半径为3的圆O，则劣弧AB的长度为　π　．

【分析】求出圆心角∠AOB的度数，再利用弧长公式解答即可．

【解答】解：如图，连接OA、OB，

∵ABCDEF为正六边形，

∴∠AOB＝360°× ＝60°，

的长为 ＝π．

故答案为：π．

【点评】本题主要考查正多边形的性质和弧长公式，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．

17．（3分）在﹣9，﹣6，﹣3，﹣1，2，3，6，8，11这九个数中，任取一个作为a值，能够使关于x的一元二次方程x²+ax+9＝0有两个不相等的实数根的概率是　 　．

【分析】列举出所有情况，让能够使关于x的一元二次方程x²+ax+9＝0有两个不相等的实数根的情况数除以总情况数即为所求的概率．

【解答】解：在﹣9，﹣6，﹣3，﹣1，2，3，6，8，11这九个数中，任取一个作为a值每个数被抽到的机会相同，因而是列举法求概率的问题，方程x²+ax+9＝0有两个不相等的实数根的条件是a²﹣36＞0，就是要看一下在﹣9，﹣6，﹣3，﹣1，2，3，6，8，11中有3个满足a²﹣36＞0．

∴P（能够使关于x的一元二次方程x²+ax+9＝0有两个不相等的实数根）＝ ．

【点评】正确理解列举法求概率的条件以及一元二次方程根的判定方法是解决问题的关键．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

18．（3分）记S_n＝a₁，+a₂+…a_n，令T_n＝ ，则称T_n为a₁，a₂，…，a_n这列数的“凯森和”，已知a₁，a₂，…a₅₀₀的“凯森和”为2004，那么1，a₁，a₂，…a₅₀₀的“凯森和”为　2001　．

【分析】先根据已知求出T₅₀₀的值，再设出新的凯森和T_x，列出式子，把得数代入，即可求出结果．

【解答】解：∵Tn＝ ，

∴T₅₀₀＝2004，

设新的“凯森和”为Tx，

501×Tx＝1×501+500×T₅₀₀，

Tx＝（1×501+500×T₅₀₀）÷501

＝（1×501+500×2004）÷501

＝1+500×4

＝2001．

故答案为：2001．

【点评】此题考查了数字的变化类，解题的关键是掌握“凯森和”这个新概念，找出其中的规律，再根据新概念对要求的式子进行变形整理即可．

三、解答题（本大题共2个小题，每小题6分，满分12分）

19．（6分）计算

【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案．

【解答】解：原式＝ ﹣1+1+3﹣3×

＝ ﹣1+1+3﹣

＝3．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

20．（6分）先化简，再求值：（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）²+8b²，其中a＝﹣6，b＝

【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式计算，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．

【解答】解：原式＝a²﹣4b²﹣a²+4ab﹣4b²+8b²＝4ab，

当a＝﹣6，b＝ 时，原式＝﹣8．

【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

四、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，满分16分）

21．（8分）为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，从我做起”的主题活动，学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下：

课外阅读时间（单位：小时）	频数（人数）	频率
0＜t≤2	2	0.04
2＜t≤4	3	0.06
4＜t≤6	15	0.30
6＜t≤8	a	0.50
t＞8	5	b

请根据图表信息回答下列问题：

（1）频数分布表中的a＝　25　，b＝　0.10　；

（2）将频数分布直方图补充完整；

（3）学校将每周课外阅读时间在8小时以上的学生评为“阅读之星”，请你估计该校2000名学生中评为“阅读之星”的有多少人？

【分析】（1）由阅读时间为0＜t≤2的频数除以频率求出总人数，确定出a与b的值即可；

（2）补全条形统计图即可；

（3）由阅读时间在8小时以上的百分比乘以2000即可得到结果．

【解答】解：（1）根据题意得：2÷0.04＝50（人），

则a＝50﹣（2+3+15+5）＝25；b＝5÷50＝0.10；

故答案为：25；0.10；

（2）阅读时间为6＜t≤8的学生有25人，补全条形统计图，如图所示：

（3）根据题意得：2000×0.10＝200（人），

则该校2000名学生中评为“阅读之星”的有200人．

【点评】此题考查了频率（数）分布表，条形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．

22．（8分）如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡AE的长度．她先在山脚下点E处测得山顶A的仰角是30°，然后，她沿着坡度是i＝1：1（即tan∠CED＝1）的斜坡步行15分钟抵达C处，此时，测得A点的俯角是15°．已知小丽的步行速度是18米/分，图中点A、B、E、D、C在同一平面内，且点D、E、B在同一水平直线上．求出娱乐场地所在山坡AE的长度．（参考数据： ≈1.41，结果精确到0.1米）

【分析】根据速度乘以时间得出CE的长度，通过坡度得到∠ECF＝30°，作辅助线EF⊥AC，通过平角减去其他角从而得到∠AEF＝45°即可求出AE的长度．

【解答】解：作EF⊥AC，

根据题意，CE＝18×15＝270米，

∵tan∠CED＝1，

∴∠CED＝∠DCE＝45°，

∵∠ECF＝90°﹣45°﹣15°＝30°，

∴EF＝ CE＝135米，

∵∠CEF＝60°，∠AEB＝30°，

∴∠AEF＝180°﹣45°﹣60°﹣30°＝45°，

∴AE＝135 ≈190.4米

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是作辅助线EF⊥AC，以及坡度和坡角的关系．

五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，满分18分）

23．（9分）从甲市到乙市乘坐高铁列车的路程为180千米，乘坐普通列车的路程为240千米，高铁列车的平均速度是普通列车的平均速度的3倍，高铁列车的乘车时间比普通列车的乘车时间缩短了2小时．

（1）求高铁列车的平均速度是每小时多少千米；

（2）某日王老师要去距离甲市大约405m的某地参加14：00召开的会议，如果他买到当日10：40从甲市至该地的高铁票，而且从该地高铁站到会议地点最多需要1.5h，试问在高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前到达吗？

【分析】（1）设普通列车平均速度每小时x千米，则高速列车平均速度每小时3x千米，根据题意可得，坐高铁走180千米比坐普通车240千米少用2小时，据此列方程求解；

（2）求出王老师所用的时间，然后进行判断．

【解答】解：（1）设普通列车平均速度每小时x千米，则高速列车平均速度每小时3x千米，

根据题意得， ﹣ ＝2，

解得：x＝90，

经检验，x＝90是所列方程的根，

则3x＝3×90＝270．

答：高速列车平均速度为每小时270千米；

（2）405÷270＝1.5，

则坐车共需要1.5+1.5＝3（小时），

王老师到达会议地点的时间为13点40．

故他能在开会之前到达．

【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．

24．（9分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，线段AC的垂直平分线交AC于D点，交BC于E点，过点A作BC的平行线交直线ED于F点，连接AE，CF．

（1）求证：四边形AECF是菱形；

（2）若AB＝10，∠ACB＝30°，求菱形AECF的面积．

【分析】（1）只要证明AF＝FC＝CE＝EA，即可判断四边形AECF是菱形；

（2）求出菱形的对角线的长，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．

【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC，

∴FA＝FC，EA＝EC，

∵AF∥BC，

∴∠1＝∠2．

∵AE＝CE，

∴∠2＝∠3．

∴∠1＝∠3．

∵EF⊥AC，

∴∠ADF＝∠ADE＝90°．

∵∠1+∠4＝90°，∠3+∠5＝90°．

∴∠4＝∠5．

∴AF＝AE，

∴AF＝FC＝CE＝EA，

∴四边形AECF是菱形．

（2）解：∵∠BAC＝∠ADF＝90°，

∴AB∥FE，

∵AF∥BE，

∴四边形ABEF为平行四边形，

∵AB＝10，

∴FE＝AB＝10，

∵∠ACB＝30°，

∴AC＝ ＝10 ，．

∴ ．

【点评】本题考查菱形的判定和性质、相等的垂直平分线的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定，属于基础题，中考常考题型．

六、综合探究题（本大题共2个小题，每小题10分，满分20分）

25．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）求证：BC＝ AB；

（3）点M是 的中点，CM交AB于点N，若AB＝4，求MN•MC的值．

【分析】（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可；根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切线；

（2）AB是直径；故只需证明BC与半径相等即可；

（3）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ACM＝∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM²＝MN•MC；代入数据可得MN•MC＝BM²＝8．

【解答】（1）证明：∵OA＝OC，

∴∠A＝∠ACO．

又∵∠COB＝2∠A，∠COB＝2∠PCB，

∴∠A＝∠ACO＝∠PCB．

又∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACO+∠OCB＝90°．

∴∠PCB+∠OCB＝90°．

即OC⊥CP，

∵OC是⊙O的半径．

∴PC是⊙O的切线．

（2）证明：∵AC＝PC，

∴∠A＝∠P，

∴∠A＝∠ACO＝∠PCB＝∠P．

又∵∠COB＝∠A+∠ACO，∠CBO＝∠P+∠PCB，

∴∠COB＝∠CBO，

∴BC＝OC．

∴BC＝ AB．

（3）解：连接MA，MB，

∵点M是 的中点，

∴ ，

∴∠ACM＝∠BCM．

∵∠ACM＝∠ABM，

∴∠BCM＝∠ABM．

∵∠BMN＝∠BMC，

∴△MBN∽△MCB．

∴ ．

∴BM²＝MN•MC．

又∵AB是⊙O的直径， ，

∴∠AMB＝90°，AM＝BM．

∵AB＝4，

∴BM＝2 ．

∴MN•MC＝BM²＝8．

【点评】此题主要考查圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质的应用．

26．（10分）如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；

（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）已知抛物线的顶点，可先将抛物线的解析式设为顶点式，再将点C的坐标代入上面的解析式中，即可确定待定系数的值，由此得解．

（2）可先求出A、C、D三点坐标，求出△ACD的三边长后，可判断出该三角形的形状，进而得到该三角形的面积．（也可将△ACD的面积视为梯形与两个小直角三角形的面积差）

（3）由于直线EF与y轴平行，那么∠OCB＝∠FED，若△OBC和△EFD相似，则△EFD中，∠EDF和∠EFD中必有一角是直角，可据此求出点F的横坐标，再代入直线BC的解析式中，即可求出点E的坐标．

【解答】解：（1）依题意，设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣2）²﹣1，代入C（O，3）后，得：

a（0﹣2）²﹣1＝3，a＝1

∴抛物线的解析式：y＝（x﹣2）²﹣1＝x²﹣4x+3．

（2）由（1）知，A（1，0）、B（3，0）；

设直线BC的解析式为：y＝kx+3，代入点B的坐标后，得：

3k+3＝0，k＝﹣1

∴直线BC：y＝﹣x+3；

由（1）知：抛物线的对称轴：x＝2，则 D（2，1）；

∴AD＝ ＝ ，AC＝ ＝ ，CD＝ ＝2 ，

即：AC²＝AD²+CD²，△ACD是直角三角形，且AD⊥CD；

∴S_△ACD＝ AD•CD＝ × ×2 ＝2．

（3）由题意知：EF∥y轴，则∠FED＝∠OCB，若△OCB与△FED相似，则有：

①∠DFE＝90°，即 DF∥x轴；

将点D纵坐标代入抛物线的解析式中，得：

x²﹣4x+3＝1，解得 x＝2± ；

当x＝2+ 时，y＝﹣x+3＝1﹣ ；

当x＝2﹣ 时，y＝﹣x+3＝1+ ；

∴E₁（2+ ，1﹣ ）、E₂（2﹣ ，1+ ）．

②∠EDF＝90°；

易知，直线AD：y＝x﹣1，联立抛物线的解析式有：

x²﹣4x+3＝x﹣1，

x²﹣5x+4＝0，

解得 x₁＝1、x₂＝4；

当x＝1时，y＝﹣x+3＝2；

当x＝4时，y＝﹣x+3＝﹣1；

∴E₃（1，2）、E₄（4，﹣1）．

综上，存在符合条件的点E，且坐标为：（2+ ，1﹣ ）、（2﹣ ，1+ ）、（1，2）或（4，﹣1）．

【点评】此题主要考查了函数解析式的确定、图形面积的解法以及相似三角形的判定和性质等知识；需要注意的是，已知两个三角形相似时，若对应边不相同，那么得到的结果就不一定相同，所以一定要进行分类讨论．