【331450】2019年安徽省马鞍山市中考数学二模试卷（含解析）

2019年安徽省马鞍山市中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的．

1．（4分）2019的相反数是（　　）

A．2019 B．﹣2019 C． D．﹣

2．（4分）下列运算正确的是（　　）

A．（a³）⁴＝a⁷ B．a³+a⁴＝a⁷

C．（﹣a）³•（﹣a）⁴＝a⁷ D．a⁷÷（﹣a）⁴＝a³

3．（4分）下列四个立体图形中，主视图为圆的是（　　）

A． B． C． D．

4．（4分）2018年8月，非洲猪瘟首次传入我国，非洲猪瘟病毒粒子的直径约为175～215纳米，1纳米等于10^﹣9米，215纳米用科学记数法表示为（　　）

A．215×10^﹣9米 B．2.15×10^﹣9米

C．2.15×10^﹣11米 D．2.15×10^﹣7米

5．（4分）关于x的不等式（1﹣m）x＜m﹣1的解集为x＞﹣1，那么m的取值范围为（　　）

A．m＞1 B．m＜1 C．m＜﹣1 D．m＞﹣1

6．（4分）由于各地雾霾天气越来越严重，2018年春节前夕，安庆市政府号召市民，禁放烟花炮竹．学校向3000名学生发出“减少空气污染，少放烟花爆竹”倡议书，并围绕“A类：不放烟花爆竹；B类：少放烟花爆竹；C类：使用电子鞭炮；D类：不会减少烟花爆竹数量”四个选项进行问卷调查（单选），并将对100名学生的调查结果绘制成统计图（如图所示）．根据抽样结果，请估计全校“使用电子鞭炮”的学生有（　　）

A．900名 B．1050名 C．600名 D．450名

7．（4分）用总长10m的铝合金材料做一个如图所示的窗框（不计损耗），窗框的上部是等腰直角三角形，下部是两个全等的矩形，窗框的总面积为3m²（材料的厚度忽略不计）．若设等腰直角三角形的斜边长为xm，下列方程符合题意的是（　　）

A． B．

C．x• ＝3 D．x• ＝3

8．（4分）如图，点A是反比例函数y＝ 图象上一点，过点A作x轴的平行线交反比例函数y＝﹣ 的图象于点B，点C在x轴上，且S_△ABC＝ ，则k＝（　　）

A．6 B．﹣6 C． D．﹣

9．（4分）如图，在菱形ABCD中，点P从B点出发，沿B→D→C方向匀速运动，设点P运动时间为x，△APC的面积为y，则y与x之间的函数图象可能为（　　）

A． B．

C． D．

10．（4分）如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点D是△ABC所在平面上一点，且满足DB＝3，DA＝5，则CD的最小值为（　　）

A． B． C．2 D．1

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11．（5分）﹣27的立方根是　 　．

12．（5分）因式分解：4x²﹣y²+2y﹣1＝　 　．

13．（5分）如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB＝40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC＝　 　度．

14．（5分）已知函数y＝|x²﹣2x﹣3|的大致图象如图所示，如果方程|x²﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15．（8分）计算： ．

16．（8分）古籍《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．

诗中后两句的译文为：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房都住9人，那么就空出一间房．则该店有客房几间，房客几人？请解答上述问题．

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的8×10网格中，点A，B，C均为网格线的交点．

（1）用无刻度的直尺作BC边上的中线AD（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）①在给定的网格中，以A为位似中心将△ABC缩小为原来的 ，得到△AB'C'，请画出△AB'C'．

②填空：tan∠AB'C'＝　 　．

18．（8分）某地下车库出口处“两段式栏杆”如图①所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图②所示，其示意图如图③所示，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠EAB＝143°，AB＝AE＝1.2m．

现有一高度为2.4m的货车要送货进入地下车库，问此货车能否安全通过？请通过计算说明．（栏杆宽度忽略不计，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19．（10分）若正整数a，b，c（a＜b＜c）满足a²+b²＝c²，则称（a，b，c）为一组“勾股数”．

观察下列两类“勾股数”：

第一类（a是奇数）：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；…

第二类（a是偶数）：（6，8，10）；（8，15，17）；（10，24，26）；…

（1）请再写出两组勾股数，每类各写一组；

（2）分别就a为奇数、偶数两种情形，用a表示b和c，并选择其中一种情形证明（a，b，c）是“勾股数”．

20．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，F是 上的一点，AF，CD的延长线相交于点G．

（1）若⊙O的半径为 ，且∠DFC＝45°，求弦CD的长．

（2）求证：∠AFC＝∠DFG．

六、（本题满分12分）

21．（12分）张老师把微信运动里“好友计步榜”排名前20的好友一天行走的步数做了整理，绘制了如下不完整的统计图表：

组别	步数分组	频率
A	x＜6000	0.1
B	6000≤x＜7000	0.5
C	7000≤x＜8000	m
D	x≥8000	n
合计		1

根据信息解答下列问题：

（1）填空：m＝　 　，n＝　 　；并补全条形统计图；

（2）这20名朋友一天行走步数的中位数落在　 　组；（填组别）

（3）张老师准备随机给排名前4名的甲、乙、丙、丁中的两位点赞，请求出甲、乙被同时点赞的概率．

七、（本题满分12分）

22．（12分）今年五一期间采石矶景区将启用新的大门，景区决定利用现有的不同种类花卉设计出两种不同的造型A和B摆放于大门广场．已知每个A种造型的成本y₁与造型个数x（0＜x＜60）满足关系式y₁＝82﹣ x，每个B种造型的成本

y₂与造型个数x（0＜x＜60）的关系如表所示：

x（个）	…	10	20	30	50	…
y2（元）	…	93	86	79	65	…

（1）请求出y₂与x的函数关系式；

（2）现在广场需搭配A、B两种园艺造型共60个，要求每种园艺造型不得少于20个，并且成本总额W（元）不超过5000元．以上要求能否同时满足？请你通过计算说明理由．

八、（本题满分14分）

23．（14分）如图1，在矩形ABCD中，BG⊥AC交AC于点G，E为AB中点，EG的延长线交AD于点F，连接CF．

（1）若∠ABG＝30°，证明AF＝FD；

（2）如图2，若∠EFC＝90°，连接BF，FM⊥FB交CD于点M．

①证明：DM＝MC；

②求 的值．

2019年安徽省马鞍山市中考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的．

1．（4分）2019的相反数是（　　）

A．2019 B．﹣2019 C． D．﹣

【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．

【解答】解：2019的相反数是﹣2019．

故选：B．

【点评】此题主要考查了相反数，正确把握定义是解题关键．

2．（4分）下列运算正确的是（　　）

A．（a³）⁴＝a⁷ B．a³+a⁴＝a⁷

C．（﹣a）³•（﹣a）⁴＝a⁷ D．a⁷÷（﹣a）⁴＝a³

【分析】根据同底数幂的乘法，单项式乘以单项式，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项法则分别求每个式子的值，再判断即可．

【解答】解：A、（a³）⁴＝a¹²，故本选项不符合题意；

B、a³和a⁴不能合并，故本选项不符合题意；

C、（﹣a）³•（﹣a）⁴＝（﹣a）⁷＝﹣a⁷，故本选项不符合题意；

D、a⁷÷（﹣a）⁴＝a⁷÷a⁴＝a³，故本选项符合题意；

故选：D．

【点评】本题考查了同底数幂的乘法，单项式乘以单项式，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项法则等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．

3．（4分）下列四个立体图形中，主视图为圆的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】主视图是从物体的正面看得到的图形，分别写出每个选项中的主视图，即可得到答案．

【解答】解：A、主视图是正方形，故此选项错误；

B、主视图是圆，故此选项正确；

C、主视图是三角形，故此选项错误；

D、主视图是长方形，故此选项错误；

故选：B．

【点评】此题主要考查了简单几何体的主视图，关键是掌握主视图所看的位置．

4．（4分）2018年8月，非洲猪瘟首次传入我国，非洲猪瘟病毒粒子的直径约为175～215纳米，1纳米等于10^﹣9米，215纳米用科学记数法表示为（　　）

A．215×10^﹣9米 B．2.15×10^﹣9米

C．2.15×10^﹣11米 D．2.15×10^﹣7米

【分析】215＝2.15×100＝2.15×10²，再根据1纳米等于10^﹣9米，即可表示出215纳米的结果．

【解答】解：∵1nm＝10^﹣9m

∴215纳米可表示为215×10^﹣9米

而215＝2.15×100＝2.15×10²

∴215纳米＝2.15×10²×10^﹣9＝2.15×10^﹣7

故选：D．

【点评】本题考查的是小于1的科学记数法，把握a×10^﹣n中a、n的意义与表示方法是重点．

5．（4分）关于x的不等式（1﹣m）x＜m﹣1的解集为x＞﹣1，那么m的取值范围为（　　）

A．m＞1 B．m＜1 C．m＜﹣1 D．m＞﹣1

【分析】根据不等式的性质3得出不等式1﹣m＜0，求出不等式的解集即可．

【解答】解：∵关于x的不等式（1﹣m）x＜m﹣1的解集为x＞﹣1，

∴1﹣m＜0，

解得：m＞1，

故选：A．

【点评】本题考查不等式的基本性质，能得出关于m的不等式是解此题的关键．

6．（4分）由于各地雾霾天气越来越严重，2018年春节前夕，安庆市政府号召市民，禁放烟花炮竹．学校向3000名学生发出“减少空气污染，少放烟花爆竹”倡议书，并围绕“A类：不放烟花爆竹；B类：少放烟花爆竹；C类：使用电子鞭炮；D类：不会减少烟花爆竹数量”四个选项进行问卷调查（单选），并将对100名学生的调查结果绘制成统计图（如图所示）．根据抽样结果，请估计全校“使用电子鞭炮”的学生有（　　）

A．900名 B．1050名 C．600名 D．450名

【分析】用全校的学生数乘以“使用电子鞭炮”所占的百分比即可得出答案．

【解答】解：被调查的学生中“使用电子鞭炮”的学生由100﹣（30+35+15）＝20

全校“使用电子鞭炮”的学生有：20÷100×3000＝600．

故选：C．

【点评】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．

7．（4分）用总长10m的铝合金材料做一个如图所示的窗框（不计损耗），窗框的上部是等腰直角三角形，下部是两个全等的矩形，窗框的总面积为3m²（材料的厚度忽略不计）．若设等腰直角三角形的斜边长为xm，下列方程符合题意的是（　　）

A． B．

C．x• ＝3 D．x• ＝3

【分析】设等腰直角三角形的斜边长为xm，则等腰直角三角形的直角边长为 xm，下部两个全等矩形合成的大矩形的长为xm，宽为 ，根据矩形的面积公式、三角形的面积公式结合窗框的总面积为3m²，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解答】解：设等腰直角三角形的斜边长为xm，则等腰直角三角形的直角边长为 xm，下部两个全等矩形合成的大矩形的长为xm，宽为 ，

依题意，得：x• + ×（ x）²＝3，

即x• + x²＝3．

故选：D．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及等腰直角三角形，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

8．（4分）如图，点A是反比例函数y＝ 图象上一点，过点A作x轴的平行线交反比例函数y＝﹣ 的图象于点B，点C在x轴上，且S_△ABC＝ ，则k＝（　　）

A．6 B．﹣6 C． D．﹣

【分析】延长AB，与y轴交于点D，由AB与x轴平行，得到AD垂直于y轴，利用反比例函数k的几何意义表示出三角形AOD与三角形BOD面积，由三角形AOD面积减去三角形BOD面积表示出三角形AOB面积，由于S_△AOB＝S_△ABC，将已知三角形ABC面积代入求出k的值即可．

【解答】解：延长AB，与y轴交于点D，

∵AB∥x轴，

∴AD⊥y轴，

∵点A是反比例函数y＝ 图象上一点，B反比例函数y＝﹣ 的图象上的点，

∴S_△AOD＝﹣ k，S_△BOD＝ ，

∵S_△AOB＝S_△ABC＝ ，即﹣ k﹣ ＝ ，

解得：k＝﹣6，

故选：B．

【点评】此题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键．

9．（4分）如图，在菱形ABCD中，点P从B点出发，沿B→D→C方向匀速运动，设点P运动时间为x，△APC的面积为y，则y与x之间的函数图象可能为（　　）

A． B．

C． D．

【分析】本题是动点函数图象问题，可由菱形的对角线互相平分，选取特殊位置﹣﹣两对角线交点来考虑，问题不难解答．

【解答】解：y随x的增大，先是由大变小，当点P位于AC与BD交点处时，y＝0；由于菱形的对角线互相平分，所以点P在从AC与BD的交点处向点D的运动过程中，函数图象应该与之前的对称，故排除掉选项B，C，D．只有A正确．

故选：A．

【点评】考查了菱形对角线互相平分的性质．动点函数图象问题，可以着重考虑起始位置，中间某个特殊位置，采用排除法来解题比较简单．

10．（4分）如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点D是△ABC所在平面上一点，且满足DB＝3，DA＝5，则CD的最小值为（　　）

A． B． C．2 D．1

【分析】将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，CD转化为BE，由于AE、AD、BD都是定值，所以当E、B、D三点共线时，BE最小，即CD最小．

【解答】解：将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE．

则CD＝BE，△ADE是等腰直角三角形，ED＝5 ．

∵AE、AD、BD都是定值，

所以当E、B、D三点共线时，BE最小，即CD最小．

此时BE最小值为DE﹣BD＝5 ﹣3．

故选：A．

【点评】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是通过旋转转化线段，利用两点之间线段最短求最值．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11．（5分）﹣27的立方根是　﹣3　．

【分析】根据立方根的定义求解即可．

【解答】解：∵（﹣3）³＝﹣27，

∴ ＝﹣3

故答案为：﹣3．

【点评】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．

12．（5分）因式分解：4x²﹣y²+2y﹣1＝　（2x+y﹣1）（2x﹣y+1）　．

【分析】根据完全平方公式、平方差公式进行因式分解．

【解答】解：4x²﹣y²+2y﹣1

＝4x²﹣（y²﹣2y+1）

＝（2x）²﹣（y﹣1）²

＝（2x﹣y+1）（2x+y﹣1）

故答案为：（2x+y﹣1）（2x﹣y+1）．

【点评】本题考查的是因式分解，掌握分组分解法进行因式分解的一般步骤是解题的关键．

13．（5分）如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB＝40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC＝　35　度．

【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ABO的度数，再由平行线的性质求出∠BOC的度数，根据圆周角定理即可得出结论．

【解答】解：∵∠AOB＝40°，OA＝OB，

∴∠ABO＝ ＝70°．

∵直径CD∥AB，

∴∠BOC＝∠ABO＝70°，

∴∠BAC＝ ∠BOC＝35°．

故答案为：35．

【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．

14．（5分）已知函数y＝|x²﹣2x﹣3|的大致图象如图所示，如果方程|x²﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，则m的取值范围是　m＝0或m＞4　．

【分析】有2个不相等的实数根，其含义是当y＝m时，对应的x值有两个不同的数值，根据图象可以看出与x轴有两个交点，所以此时m＝0；当y取的值比抛物线顶点处值大时，对应的x值有两个，所以m值应该大于抛物线顶点的纵坐标．综合表述即可．

【解答】解：从图象可以看出当y＝0时，y＝|x²﹣2x﹣3|的x值对应两个不等实数根，

即m＝0时，方程|x²﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根；

从图象可出y的值取其抛物线部分的顶点处纵坐标值时，在整个函数图象上对应的x的值有三个，

当y的值比抛物线顶点处纵坐标的值大时，对于整个函数图象上对应的x值有两个不相等的实数根．

|x²﹣2x﹣3|＝|（x﹣1）²﹣4|，其最大值为4，所以当m＞4时，方程|x²﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，

综上所述当m＝0或m＞4时，方程|x²﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根．

故答案为m＝0或m＞4．

【点评】本题主要考查抛物线与x轴交点问题，解题的关键是根据图象分析判断函数值与自变量之间的关系．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15．（8分）计算： ．

【分析】原式利用二次根式性质，特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．

【解答】解：原式＝2 ﹣2× +1﹣3＝ ﹣2．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

16．（8分）古籍《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．

诗中后两句的译文为：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房都住9人，那么就空出一间房．则该店有客房几间，房客几人？请解答上述问题．

【分析】由题目条件可设客房x间，房客y人，由等量关系“一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出二元一次方程组求得．

【解答】解：设有客房x间，房客y人，由题意得：

解得

故该店有客房8间，房客63人．

【点评】本题考查二元一次方程组的应用或一元一次方程的应用，也可用一元一次方程解决，理清题中的等量关系是解题的关键．

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的8×10网格中，点A，B，C均为网格线的交点．

（1）用无刻度的直尺作BC边上的中线AD（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）①在给定的网格中，以A为位似中心将△ABC缩小为原来的 ，得到△AB'C'，请画出△AB'C'．

②填空：tan∠AB'C'＝　2　．

【分析】（1）利用网格作出BC的中点，再连接AD即可得；

（2）①根据位似变换的定义作图可得；

②先利用勾股定理逆定理证△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，再利用tan∠AB′C′＝tan∠ABC＝ 可得答案．

【解答】解：（1）如图所示，AD即为所求；

（2）①如图所示，△AB'C'即为所求；

②∵BC²＝3²+3²＝18，AC²＝6²+6²＝72，AB²＝3²+9²＝90，

∴BC²+AC²＝AB²，

∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，

∵△ABC∽△AB′C′，

∴tan∠AB′C′＝tan∠ABC＝ ＝ ＝2，

故答案为：2．

【点评】本题主要考查作图﹣位似变换，解题的关键是掌握位似变换的定义和性质及勾股定理逆定理．

18．（8分）某地下车库出口处“两段式栏杆”如图①所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图②所示，其示意图如图③所示，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠EAB＝143°，AB＝AE＝1.2m．

现有一高度为2.4m的货车要送货进入地下车库，问此货车能否安全通过？请通过计算说明．（栏杆宽度忽略不计，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【分析】过E作ED⊥BC于D，AG⊥ED于G，求出DE的长与2.4比较即可判断．

【解答】解：过E作ED⊥BC于D，AG⊥ED于G，

则∠AEG＝37°，DG＝AB＝1.2m，EG＝AEcos37°＝1.2×0.80＝0.96m，

∴ED＝EG+DG＝1.2+0.96＝2.16m＜2.4m，

故此货车不能安全通过．

【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19．（10分）若正整数a，b，c（a＜b＜c）满足a²+b²＝c²，则称（a，b，c）为一组“勾股数”．

观察下列两类“勾股数”：

第一类（a是奇数）：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；…

第二类（a是偶数）：（6，8，10）；（8，15，17）；（10，24，26）；…

（1）请再写出两组勾股数，每类各写一组；

（2）分别就a为奇数、偶数两种情形，用a表示b和c，并选择其中一种情形证明（a，b，c）是“勾股数”．

【分析】（1）根据勾股数的定义即可得到结论；

（2）当a为奇数时，当a为偶数时，根据勾股数的定义即可得到结论．

【解答】解：（1）第一组（a是奇数）：9，40，41（答案不唯一）；

第二组（a是偶数）：12，35，37（答案不唯一）；

（2）当a为奇数时， ， ；

当a为偶数时， ， ；

证明：当a为奇数时，a²+b²＝ ，

∴（a，b，c）是“勾股数”．

当a为偶数时，a²+b²＝

∴（a，b，c）是“勾股数“．”

【点评】本题考查了勾股数，数字的变化类﹣规律型，读懂表格，从表格中获取有用信息进而发现规律是解题的关键．

20．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，F是 上的一点，AF，CD的延长线相交于点G．

（1）若⊙O的半径为 ，且∠DFC＝45°，求弦CD的长．

（2）求证：∠AFC＝∠DFG．

【分析】（1）连接OD，OC，先证明△DOE是等腰直角三角形，再由垂径定理和勾股定理可得DE＝CE＝3，从而得CD的长；

（2）先由垂径定理可得： ＝ ，则∠ACD＝∠AFC，根据圆内接四边形的性质得：∠DFG＝∠ACD，从而得结论．

【解答】解：（1）如图1，连接OD，OC，

∵直径AB⊥CD，

∴ ，DE＝CE，

∴ ，

又∵在Rt△DEO中， ，

∴DE＝3，

∴CD＝6；

（2）证明：如图2，连接AC，

∵直径AB⊥CD，

∴ ＝ ，

∴∠ACD＝∠AFC，

∵四边形ACDF内接于⊙O，

∴∠DFG＝∠ACD，

∴∠DFG＝∠AFC．

【点评】本题考查垂径定理，圆周角等知识，中等题，根据题意作出辅助线，构造出圆内接四边形是解答此题的关键．

六、（本题满分12分）

21．（12分）张老师把微信运动里“好友计步榜”排名前20的好友一天行走的步数做了整理，绘制了如下不完整的统计图表：

组别	步数分组	频率
A	x＜6000	0.1
B	6000≤x＜7000	0.5
C	7000≤x＜8000	m
D	x≥8000	n
合计		1

根据信息解答下列问题：

（1）填空：m＝　0.3　，n＝　0.1　；并补全条形统计图；

（2）这20名朋友一天行走步数的中位数落在　B　组；（填组别）

（3）张老师准备随机给排名前4名的甲、乙、丙、丁中的两位点赞，请求出甲、乙被同时点赞的概率．

【分析】（1）用A组的频数除以它的频率得到调查的总人数，再分别用C组、D组的频数除以总人数得到m、n的值，然后画条形统计图；

（2）利用中位数的定义进行判断；

（3）画树状图展示12种等可能的结果数，找出甲、乙被同时点赞的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：（1）2÷0.1＝20，

m＝ ＝0.3，n＝ ＝0.1；

故答案为0.3；0.1；

条形统计图如图

（2）这20名朋友一天行走步数的中位数落在B组；

故答案为B；

（3）画树状图如下：

共有12种等可能的结果数，其中甲、乙被同时点赞的结果数为2，

∴P（甲、乙被同时点赞）＝ ＝ ．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．

七、（本题满分12分）

22．（12分）今年五一期间采石矶景区将启用新的大门，景区决定利用现有的不同种类花卉设计出两种不同的造型A和B摆放于大门广场．已知每个A种造型的成本y₁与造型个数x（0＜x＜60）满足关系式y₁＝82﹣ x，每个B种造型的成本

y₂与造型个数x（0＜x＜60）的关系如表所示：

x（个）	…	10	20	30	50	…
y2（元）	…	93	86	79	65	…

（1）请求出y₂与x的函数关系式；

（2）现在广场需搭配A、B两种园艺造型共60个，要求每种园艺造型不得少于20个，并且成本总额W（元）不超过5000元．以上要求能否同时满足？请你通过计算说明理由．

【分析】（1）设y₂＝kx+b，根据待定系数法即可求得；

（2）设A种园艺造型设计了a个，则B种园艺造型设计了（60﹣a）个，根据题意得到W＝ （a﹣60）²+4200，根据二次函数的性质即可求得

【解答】解：（1）由表格可知y₂与x满足一次函数关系

故可设y₂＝kx+b，则有 ，

解得

∴y＝100﹣ x；

（2）能同时满足，

理由：设A种园艺造型设计了a个，则B种园艺造型设计了（60﹣a）个

∴ ＝ ，

∵a≥20，60﹣a≥20

∴20≤a≤40，

∴当a＝20时，W取得最大值，此时W＝5000

∴能同时满足．

【点评】本题考查用待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值问题等综合应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出不等式组，属于中档题．

八、（本题满分14分）

23．（14分）如图1，在矩形ABCD中，BG⊥AC交AC于点G，E为AB中点，EG的延长线交AD于点F，连接CF．

（1）若∠ABG＝30°，证明AF＝FD；

（2）如图2，若∠EFC＝90°，连接BF，FM⊥FB交CD于点M．

①证明：DM＝MC；

②求 的值．

【分析】（1）方法一：证明△AEF～△BAC，利用相似三角形的性质即可解决问题．

方法二：连接BD，证明EF∥BD即可解决问题．

（2）①方法一：利用相似三角形的性质证明即可．方法二：如图2，延长FM、BC交于点N，证明四边形DFCN是平行四边形即可．

②设AE＝x，AF＝y，求出AB²，AD²（用a表示），即可解决问题．

【解答】解：（1）∵∠ABG＝30°，∠ABC＝90°，

∴∠BAG＝60°，

在Rt△ABG中，AE＝BE，

∴∠AEF＝60°＝∠BAC，

又∵∠EAF＝∠ABC＝90°，

∴△AEF～△BAC，

∴ ，

又∵BC＝AD，

∴ ，

即AF＝FD．

（2）①∵∠EAF＝∠EFC＝∠FDC＝90°，

∴△EAF～△FDC，

∴ ，

同理可证△ABF～△DFM，

∴ ，

即 ，

∴ ，

∴ ，

∴DC＝2DM，

即DM＝CM，

②设AE＝x，AF＝y，

在Rt△ABG中，AE＝BE，

∴EA＝EG，

∴∠EAG＝∠EGA＝∠FGC，

又∵∠EAF＝∠EFC＝90°，

∴∠FAC＝∠FCA，

∴FA＝FC，

∵∠EAF＝∠EFC＝∠FDC＝90°，

∴△EAF～△FDC，

∴ ，

∴ ，

在Rt△DFC中，DF²+DC²＝FC²＝AF²

∴ ，

∴ ，

∴ ＝ ＝ ，

方法二：（1）如图1，连接BD．

在Rt△ABG中，∠BAG＝90°﹣30°＝60°，

∵矩形ABCD，

∴OA＝OB，

∴∠OBA＝∠OAB＝60°，

在Rt△ABG中，AE＝BE，

∴EA＝EG，

又∵∠OAB＝60°，

∴∠AEG＝60°＝∠ABO，

∴EF∥BD，

又∵AE＝BE，

∴AF＝FD

（2）①另证：如图2，延长FM、BC交于点N，

∵∠EAF＝∠EFC＝∠FDC＝90°，

∴△EAF～△FDC，

∴

∵∠EBC＝∠EFC＝90°，

∴∠FCN＝∠FEB

∵∠EFC＝∠BFN＝90°，

∴∠EFB＝∠CFN

∴△EFB～△CFN，

∴

又∵ ，

∴CN＝DF

又∵CN∥DF，

∴四边形DFCN是平行四边形，

∴DM＝MC．

【点评】本题属于相似形综合题考查了相似三角形的性质，矩形的性质，平行线的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．