【331447】2019年安徽省合肥市包河区中考数学一模试卷（含答案解析）

2019年安徽省合肥市包河区中考数学一模试卷

一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）

1．|﹣2|＝（　　）

A．0 B．﹣2 C．2 D．1

2．计算（﹣p）⁸•（﹣p²）³•[（﹣p）³]²的结果是（　　）

A．﹣p²⁰ B．p²⁰ C．﹣p¹⁸ D．p¹⁸

3．十九大报告指出，我国目前经济保持了中高速增长，在世界主要国家中名列前茅，国内生产总值从54万亿元增长80万亿元，稳居世界第二，其中80万亿用科学记数法表示为（　　）

A．8×10¹² B．8×10¹³ C．8×10¹⁴ D．0.8×10¹³

4．从图1的正方体上截去一个三棱锥，得到一个几何体，如图2．从正面看图2的几何体，得到的平面图形是（　　）

A． B． C． D．

5．下列因式分解正确的是（　　）

A．x²﹣xy+x＝x（x﹣y） B．a³+2a²b+ab²＝a（a+b）²

C．x²﹣2x+4＝（x﹣1）²+3 D．ax²﹣9＝a（x+3）（x﹣3）

6．一元二次方程2x²﹣2x﹣1＝0的较大实数根在下列哪两个相邻的整数之间（　　）

A．4，3 B．3，2 C．2，1 D．1，0

7．如图是某班学生外出乘车、步行、骑车的人数条形统计图和扇形统计图，则该班共有学生人数是（　　）

A．8 B．10 C．12 D．40

8．如图，△ABC中，BC＝4，⊙P与△ABC的边或边的延长线相切．若⊙P半径为2，△ABC的面积为5，则△ABC的周长为（　　）

A．8 B．10 C．13 D．14

9．等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为30°，则这个等腰三角形的顶角为（　　）

A．60°或120° B．30°或150° C．30°或120° D．60°

10．如图，一次函数y₁＝ax+b图象和反比例函数y₂＝ 图象交于A（1，2），B（﹣2，﹣1）两点，若y₁＜y₂，则x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣2 B．x＜﹣2或0＜x＜1

C．x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1

二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

11．已知a为实数，那么 等于　 　．

12．化简： ＝　 　．

13．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝120°，OC＝3，则弧BC的长为　 　（结果保留π）．

14．如图，在△ABC中，若AB＝AC，BC＝2BD＝6，DE⊥AC，则AC•EC的值是　 　．

三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）

15．计算：（x﹣2）²﹣（x+3）（x﹣3）

16．桑植县为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，保护生态环境，某村计划在荒山上植树1200棵，实际每天植树的数量是原计划的1.5倍，结果比原计划提前了5天完成任务，求原计划每天植树多少棵？

四．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）

17．在4×4的方格中，△ABC的三个顶点都在格点上．

（1）在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形（画出一个即可）；

（2）在图2、图3中各作一格点D，使得△ACD∽△DCB，并请连结AD、CD、BD．

18．如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面1.5m．（计算结果精确到0.1m，参考数据sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）

（1）当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时，吊臂AB的长为　 　m．

（2）如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计）

五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）

19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；动点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t，求：

（1）当t为何值时，PQ∥CD？

（2）当t为何值时，PQ＝CD？

20．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（6，8），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标．

六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）

21．钦州市某中学为了解本校学生阅读教育、科技、体育、艺术四类课外书的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，在此次调查中，甲、乙两班分别有2人特别喜爱阅读科技书报，若从这4人中随机抽取2人去参加科普比赛活动，请用列表法或画树状图的方法，求所抽取的2人来自不同班级的概率．

七．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）

22．某公司生产的某种产品每件成本为40元，经市场调查整理出如下信息：

①该产品90天内日销售量（m件）与时间（第x天）满足一次函数关系，部分数据如下表：

时间（第x天）	1	3	6	10	…
日销售量（m件）	198	194	188	180	…

②该产品90天内每天的销售价格与时间（第x天）的关系如下表：

时间（第x天）	1≤x＜50	50≤x≤90
销售价格（元/件）	x+60	100

（1）求m关于x的一次函数表达式；

（2）设销售该产品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出在90天内该产品哪天的销售利润最大？最大利润是多少？

（3）在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于5400元，请直接写出结果．

八．解答题（共1小题，满分14分，每小题14分）

23．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．

（1）观察猜想：

图1中，线段PM与PN的数量关系是　 　，位置关系是　 　；

（2）探究证明：

把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸：

把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．

2019年安徽省合肥市包河区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）

1．【分析】根据绝对值的定义进行填空即可．

【解答】解：|﹣2|＝2，

故选：C．

【点评】本题考查了绝对值，掌握绝对值的定义是解题的关键．

2．【分析】直接利用积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法则计算得出答案．

【解答】解：（﹣p）⁸•（﹣p²）³•[（﹣p）³]²

＝p⁸•（﹣p⁶）•p⁶

＝﹣p²⁰．

故选：A．

【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：80万亿用科学记数法表示为8×10¹³．

故选：B．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．

【解答】解：从正面看是 ，

故选：D．

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．

5．【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式，进而分析即可．

【解答】解：A、x²﹣xy+x＝x（x﹣y+1），故此选项错误；

B、a³+2a²b+ab²＝a（a+b）²，正确；

C、x²﹣2x+4＝（x﹣1）²+3，不是因式分解，故此选项错误；

D、ax²﹣9，无法分解因式，故此选项错误；

故选：B．

【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．

6．【分析】先求出方程的解，再求出的范围，最后即可得出答案．

【解答】解：解方程2x²﹣2x﹣1＝0得：x＝ ，

设a是方程2x²﹣2x﹣1＝0较大的根，

∴a＝ ，

∵1＜ ＜2，

∴2＜1+ ＜3，即1＜a＜ ．

故选：C．

【点评】本题考查了解一元二次方程，估算无理数的大小的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．

7．【分析】此题首先根据乘车人数和所占总数的比例，求出总人数．

【解答】解：该班的学生总人数为20÷50%＝40（人），

故选：D．

【点评】本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．

8．【分析】根据三角形的面积公式以及切线长定理即可求出答案．

【解答】解：连接PE、PF、PG，AP，

由题意可知：∠PEC＝∠PFA＝PGA＝90°，

∴S_△PBC＝ BC•PE＝ ×4×2＝4，

∴由切线长定理可知：S_△PFC+S_△PBG＝S_△PBC＝4，

∴S_{四边形AFPG}＝S_△ABC+S_△PFC+S_△PBG+S_△PBC＝5+4+4＝13，

∴由切线长定理可知：S_△APG＝ S_{四边形AFPG}＝ ，

∴ ＝ ×AG•PG，

∴AG＝ ，

由切线长定理可知：CE＝CF，BE＝BG，

∴△ABC的周长为AC+AB+CE+BE

＝AC+AB+CF+BG

＝AF+AG

＝2AG

＝13，

故选：C．

【点评】本题考查切线长定理，解题的关键是画出辅助线，熟练运用切线长定理，本题属于中等题型．

9．【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．

【解答】解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是60°；

当高在三角形外部时（如图2），顶角是120°．

故选：A．

【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出60°一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．

10．【分析】当y₁＜y₂时，存在不等式ax+b＜ ，不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时，所对应的自变量x的取值范围．

【解答】解：∵A（1，2），B（﹣2，﹣1），

∴由图可得，当y₁＜y₂时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1，

故选：B．

【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，从函数的角度看，就是寻求使一次函数值大于（或小于）反比例函数值的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在双曲线上方（或下方）部分所有的点的横坐标所构成的集合．

二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

11．【分析】根据非负数的性质，只有a＝0时， 有意义，可求根式的值．

【解答】解：根据非负数的性质a²≥0，根据二次根式的意义，﹣a²≥0，

故只有a＝0时， 有意义，

所以， ＝0．

故填：0．

【点评】本题考查了算术平方根．注意：平方数和算术平方根都是非负数，这是解答此题的关键．

12．【分析】先计算括号内的加法、将除法转化为乘法，继而约分即可得．

【解答】解：原式＝（ ﹣ ）•

＝ •

＝ •

＝x﹣1，

故答案为：x﹣1．

【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．

13．【分析】根据切线的性质得到∠OBA＝90°，求出∠OBC，根据三角形内角和定理求出∠BOC＝120°，根据弧长公式计算即可．

【解答】解：连接OB，

∵AB与⊙O相切于点B，

∴∠OBA＝90°，

∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝30°，

∵OB＝OC，

∴∠C＝∠B＝30°，

∴∠BOC＝120°，

∴弧BC的长＝ ＝2π，

故答案为：2π．

【点评】本题考查的是切线的性质、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、弧长的计算公式是解题的关键．

14．【分析】由等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后根据“两角法”证得△CDE∽△CAD，所以由该相似三角形的对应边成比例求得答案．

【解答】解：如图，∵在△ABC中，若AB＝AC，BC＝2BD＝6，

∴AD⊥BC，CD＝BD＝3．

又DE⊥AC，

∴∠CED＝∠CDA＝90°．

∵∠C＝∠C，

∴△CDE∽△CAD．

∴ ＝ ，即AC•EC＝CD²＝9．

故答案是：9．

【点评】考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形性质．本题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．

三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）

15．【分析】原式利用完全平方公式，以及平方差公式计算即可求出值．

【解答】解：（x﹣2）²﹣（x+3）（x﹣3）

＝x²﹣4x+4﹣（x²﹣9）

＝x²﹣4x+4﹣x²+9

＝﹣4x+13．

【点评】此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．

16．【分析】设原计划每天植树x棵，则实际每天植树1.5x棵，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前了5天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．

【解答】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树1.5x棵，

根据题意得： ﹣ ＝5，

解得：x＝80，

经检验，x＝80是所列分式方程的解，且符合题意．

答：原计划每天植树80棵．

【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

四．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）

17．【分析】（1）利用相似三角形的性质得出答案；

（2）利用相似三角形的性质得出D点位置．

【解答】解：（1）如图所示：

（2）如图所示：△ACD∽△DCB．

【点评】此题主要考查了相似变换，正确得出对应点位置是解题关键．

18．【分析】（1）根据直角三角形的性质和三角函数解答即可；

（2）过点D作DH⊥地面于H，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可．

【解答】解：（1）在Rt△ABC中，

∵∠BAC＝64°，AC＝5m，

∴AB＝ （m）；

故答案为：11.4；

（2）过点D作DH⊥地面于H，交水平线于点E，

在Rt△ADE中，

∵AD＝20m，∠DAE＝64°，EH＝1.5m，

∴DE＝sin64°×AD≈20×0.9≈18（m），

即DH＝DE+EH＝18+1.5＝19.5（m），

答：如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是19.5m．

【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．

五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）

19．【分析】（1）由当PQ∥CD时，四边形PQCD为平行四边形，可得方程24﹣t＝3t，解此方程即可求得答案；

（2）根据PQ＝CD，一种情况是：四边形PQCD为平行四边形，可得方程24﹣t＝3t，一种情况是：四边形PQCD为等腰梯形，可求得当QC﹣PD＝QC﹣EF＝QF+EC＝2CE，即3t＝（24﹣t）+4时，四边形PQCD为等腰梯形，解此方程即可求得答案．

【解答】解：根据题意得：PA＝t，CQ＝3t，则PD＝AD﹣PA＝24﹣t，

（1）∵AD∥BC，即PD∥CQ，

∴当PD＝CQ时，四边形PQCD为平行四边形，

∴PQ∥CD，

即24﹣t＝3t，

解得：t＝6，

即当t＝6时，PQ∥CD；

（2）若要PQ＝CD，分为两种情况：

①当四边形PQCD为平行四边形时，

即PD＝CQ

24﹣t＝3t，

解得：t＝6，

②当四边形PQCD为等腰梯形时，

即CQ＝PD+2（BC﹣AD）

3t＝24﹣t+4

解得：t＝7，

即当t＝6或t＝7时，PQ＝CD．

【点评】此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．

20．【分析】如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小，先求出直线CH解析式，再求出直线CH与AB的交点即可解决问题．

【解答】解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．

∵D（3，0），A（6，0），

∴H（9，0），

∴直线CH解析式为y＝﹣ x+8，

∴x＝6时，y＝ ，

∴点E坐标（6， ）．

【点评】本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、轴对称﹣最短问题、一次函数等知识，解题的关键是利用轴对称找到点E位置，学会利用一次函数解决交点问题，属于中考常考题型．

六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）

21．【分析】根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．

【解答】解：将两班报名的学生分别记为甲1、甲2、乙1、乙2，

树状图如图所示：

由树状图知共有12种等可能结果，其中抽取的2人来自不同班级的有8种结果，

所以抽取的2人来自不同班级的概率为 ＝ ．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．

七．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）

22．【分析】（1）根据待定系数法解出一次函数解析式即可；

（2）设利润为y元，则当1≤x＜50时，y＝﹣2x²+160x+4000；当50≤x≤90时，y＝﹣120x+12000，分别求出各段上的最大值，比较即可得到结论；

（3）根据1≤x＜50和50≤x≤90时，由y≥5400求得x的范围，据此可得销售利润不低于5400元的天数．

【解答】解：（1）∵m与x成一次函数，

∴设m＝kx+b，将x＝1，m＝198，x＝3，m＝194代入，得：

，

解得： ．

所以m关于x的一次函数表达式为m＝﹣2x+200；

（2）设销售该产品每天利润为y元，y关于x的函数表达式为：

y＝ ，

当1≤x＜50时，y＝﹣2x²+160x+4000＝﹣2（x﹣40）²+7200，

∵﹣2＜0，

∴当x＝40时，y有最大值，最大值是7200；

当50≤x≤90时，y＝﹣120x+12000，

∵﹣120＜0，

∴y随x增大而减小，即当x＝50时，y的值最大，最大值是6000；

综上所述，当x＝40时，y的值最大，最大值是7200，

即在90天内该产品第40天的销售利润最大，最大利润是7200元；

（3）当1≤x＜50时，由y≥5400可得﹣2x²+160x+4000≥5400，

解得：10≤x≤70，

∵1≤x＜50，

∴10≤x＜50；

当50≤x≤90时，由y≥5400可得﹣120x+12000≥5400，

解得：x≤55，

∵50≤x≤90，

∴50≤x≤55，

综上，10≤x≤55，

故在该产品销售的过程中，共有46天销售利润不低于5400元．

【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意根据销售问题中总利润的相等关系，结合x的取值范围列出分段函数解析式及二次函数和一次函数的性质．

八．解答题（共1小题，满分14分，每小题14分）

23．【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM＝ CE，PN＝ BD，进而判断出BD＝CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即可得出结论；

（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，同（1）的方法得出PM＝ BD，PN＝ BD，即可得出PM＝PN，同（1）的方法即可得出结论；

（3）方法1：先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大＝AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD最大时，△PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD＝14，即可得出结论．

【解答】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，

∴PN∥BD，PN＝ BD，

∵点P，M是CD，DE的中点，

∴PM∥CE，PM＝ CE，

∵AB＝AC，AD＝AE，

∴BD＝CE，

∴PM＝PN，

∵PN∥BD，

∴∠DPN＝∠ADC，

∵PM∥CE，

∴∠DPM＝∠DCA，

∵∠BAC＝90°，

∴∠ADC+∠ACD＝90°，

∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，

∴PM⊥PN，

故答案为：PM＝PN，PM⊥PN；

（2）△PMN是等腰直角三角形．

由旋转知，∠BAD＝∠CAE，

∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，

利用三角形的中位线得，PN＝ BD，PM＝ CE，

∴PM＝PN，

∴△PMN是等腰三角形，

同（1）的方法得，PM∥CE，

∴∠DPM＝∠DCE，

同（1）的方法得，PN∥BD，

∴∠PNC＝∠DBC，

∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，

∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC

＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC

＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，

∵∠BAC＝90°，

∴∠ACB+∠ABC＝90°，

∴∠MPN＝90°，

∴△PMN是等腰直角三角形；

（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，

∴MN最大时，△PMN的面积最大，

∴DE∥BC且DE在顶点A上面，

∴MN最大＝AM+AN，

连接AM，AN，

在△ADE中，AD＝AE＝4，∠DAE＝90°，

∴AM＝2 ，

在Rt△ABC中，AB＝AC＝10，AN＝5 ，

∴MN_最大＝2 +5 ＝7 ，

∴S_△PMN最大＝ PM²＝ × MN²＝ ×（7 ）²＝ ．

方法2：由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝ BD，

∴PM最大时，△PMN面积最大，

∴点D在BA的延长线上，

∴BD＝AB+AD＝14，

∴PM＝7，

∴S_△PMN最大＝ PM²＝ ×7²＝ ．

【点评】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出PM＝ CE，PN＝ BD，解（2）的关键是判断出△ABD≌△ACE，解（3）的关键是判断出MN最大时，△PMN的面积最大．