【331268】24.2.1 点和圆的位置关系

24.2.1 点和圆的位置关系

一、课前预习 (5分钟训练)

1.已知圆的半径等于5 cm，根据下列点P到圆心的距离：(1)4 cm；(2)5 cm；(3)6 cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由.

2.点A在以O为圆心，3 cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是________.

3.若⊙A的半径为5，点A的坐标为(3，4)，点P的坐标为(5，8)，则点P的位置为( )

A.在⊙A内 B.在⊙A上 C.在⊙A外 D.不确定

4.两个圆心为O的甲、乙两圆，半径分别为r₁和r₂，且r₁＜OA＜r₂，那么点A在( )

A.甲圆内 B.乙圆外 C.甲圆外，乙圆内 D.甲圆内，乙圆外

二、课中强化(10分钟训练)

1.已知⊙O的半径为3.6 cm，线段OA= cm，则点A与⊙O的位置关系是( )

A.A点在圆外 B.A点在⊙O上 C.A点在⊙O内 D.不能确定

2.⊙O的半径为5，圆心O的坐标为(0，0)，点P的坐标为(4，2)，则点P与⊙O的位置关系是( )

A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙O外 D.点P在⊙O上或⊙O外

3.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4 cm，D是AB边的中点，以C为圆心，4 cm长为半径作圆，则A、B、C、D四点中在圆内的有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4.如图24-2-1-1，在△ABC中 ，∠ACB=90°，AC=2 cm，BC=4 cm，CM为中线，以C为圆心， cm为半径作圆，则A、B、C、M四点 在圆外的有_________，在圆上的有_________，在圆内的有_________.

图24-2-1-1

三、课后巩固(30分钟训练)

1.已知a、b、c是△ABC的三边长，外接圆的圆心在△ABC一条边上的是( )

A.a=15，b=12，c=1 B.a=5，b=12，c=12

C.a=5，b=12，c=13 D.a=5，b=12，c=14

2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，则它的外心与顶点C的距离为( )

A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm

3.如图24-2-1-2，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三 条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由.

图24-2-1-2

4.阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被 这个圆所覆盖.

如图24-2-1-3(1)中的三角形被一个圆所覆盖，图24-2-1-3(2)中的四边形被两个圆所覆盖.

图24-2-1-3

回答下列问题：

(1)边长为1 cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是________ cm;

(2)边长为1 cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是________ cm;

(3)边长为2 cm，1 cm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是________ cm，这两个圆的圆心距是________ cm.

5.已知Rt△ABC的两直角边为a和b，且a、b是方程x²-3x＋1=0的两根，求Rt△ABC的外接圆面积.

6.有一个未知圆心的圆形工件(如图24-2-1-4).现只允许用一块直角三角板(注：不允许用三角板上的刻度)画出该工件表面上的一根直径并定出圆心.要求在图上保留画图痕迹，写出画法.

图24-2-1-4

7.某公园有一个边长为4米的正三角形花坛，三角形的顶点A、B、C上各有一棵古树.现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上.以下设计过程中画图工具不限.

(1)按圆形设计，利用图24-2-1-5(1)画出你所设计的圆形花坛示意图;

(2)按平行四边形设计，利用图24-2-1-5(2)画出你所设计的平行四边形花坛示意图;

(3)若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？ 请说明理由.

图24-2-1-5

8.电脑CPU芯片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄圆形片，叫“晶圆片”.现在为了生产某种CPU芯片，需要长、宽都是1 cm的正方形小硅片若干.如果晶圆片的直径为10.05 cm，问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张？请说明你的方法和理由.(不计切割损耗)

图24-2-1-6

参考答案

一、课前预习 (5分钟训练)

1.已知圆的半径等于5 cm，根据下列点P到圆心的距离：(1)4 cm；(2)5 cm；(3)6 cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由.

思路分析：利用点与圆的位置关系，由点到圆心的距离与半径的大小比较.

解：（1）当d=4 cm时，∵d＜r，∴点P在圆内；

（2）当d= 5 cm时，∵d=r，∴点P在圆上；

（3）当d=6 cm时，∵d＞r，∴点P在圆外.

2.点A在以O为圆心，3 cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是________.

思路 解析：根据点和圆的位置关系判定.

答案：0≤d＜3

3.若⊙A的半径为5，点A的坐标为(3，4)，点P的坐标为(5，8)，则点P的位置为( )

A.在⊙A内 B.在⊙A上 C.在⊙A外 D.不确定

思路解析：本题有两种方法，既可以画图，也可以计算AP的长,再与半径进行比较.

∵AP= = = ＜5，所 以点P在圆内.

答案：A

4.两个圆心为O的甲、乙两圆，半径分别为r₁和r₂，且r₁＜OA＜r₂，那么点A在( )

A.甲圆内 B.乙圆外 C.甲圆外，乙圆内 D.甲圆内，乙圆外

思路解析：点A在两圆组成的圆环内.

答案：C

二、课中强化(10分钟训练)

1.已知⊙O的半径为3.6 cm，线段OA= cm，则点A与⊙O的位置关系是( )

A.A点在圆外 B.A点在⊙O上 C.A点在⊙O内 D.不能确定

思路解析：用“点到圆心的距离d与半径r的大小关系”来判定点与圆的位置关系.

答案：C

2.⊙O的半径为5，圆心O的坐标为(0，0)，点P的坐标为(4，2)，则点P与⊙O的位置关系是( )

A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙O外 D.点P在⊙O上或⊙O外

思路解析：比较OP与半径r的关系.∵OP= =2 ，OP²=20,r²=25，

∴OP＜r.

∴点P在⊙O内.

答案：A

3.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4 cm，D是AB边的中点，以C为圆心，4 cm长为半径作圆，则A、B、C、D四点中在圆内的有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

思路解析：如图，连结CD.∵D为AB的中点，

∴CD= AB.

∵AB= =4 ，∴CD=2 ＜4.

∵AC=BC=4，∴点C和点D在以C为圆心，4 cm为半径的圆的内部.

答案：B

4.如图24-2-1-1，在△ABC中 ，∠ACB=90°，AC=2 cm，BC=4 cm，CM为中线，以C为圆心， cm为半径作圆，则A、B、C、M四点 在圆外的有_________，在圆上的有_________，在圆内的有_________.

思路解析：AB=2 cm，CM= cm.

答案：点B 点M 点A、C 图24-2-1-1

三、课后巩固(30分钟训练)

1.已知a、b、c是△ABC的三边长，外接圆的圆心在△ABC一条边上的是( )

A.a=15，b=12，c=1 B.a=5，b=12，c=12

C.a=5，b=12，c=13 D.a=5，b=12，c=14

思路解析：只有直角三角形的外心在边上（斜边中点）.

答案：C

2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，则它的外心与顶点C的距离为( )

A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm

思路解析：AB= =10，它的外心是斜边中点，外心与顶点C的距离是斜边的中线长为 AB=5 cm.

答案：A

3.如图24-2-1-2，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三 条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由.

图24-2-1-2

思路分 析：设水泵站处为O，则O到A、B、C三点的距离相等，可得点O为△ABC的外心.

作法：连结AB、AC，分别作AB、AC的中垂线l、l′，直线l与l′相交于O，则水泵站建在点O处，由以上作法知，点O为△ABC的外心，则有OA=OB=OC.

4.阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被 这个圆所覆盖.

如图24-2-1-3(1)中的三角形被一个圆所覆盖，图24-2-1-3(2)中的四边形被两个圆所覆盖.

图24-2-1-3

回答下列问题：

(1)边长为1 cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是________ cm;

(2)边长为1 cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是________ cm;

(3)边长为2 cm，1 cm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是________ cm，这两个圆的圆心距是________ cm.

思路解析：图形被圆覆盖，圆一定大于图形的外接圆，它的最小半径就是外接圆半径.

（1）正方形的外接圆半径，是对角线的一半，因此r的最小值是 cm.

（2）等边三角形的外接圆半径是其高的 ，故r的最小值是 cm.

（3）r的最小值是 cm，圆心距是1 cm.

答案:(1) (2) (3) 1

点拨：注意应用“90°的圆周角所对的弦是直径”和勾股定理解题.

5.已知Rt△ABC的两直角边为a和b，且a、b是方程x²-3x＋1=0的两根，求Rt△ABC的外接圆面积.

思路分析：由a、b是直角三角形的两直角边，所以可求出斜边 是 ，这样就得外接圆半径.根据直角三角形的外心是斜边中点，因此，其外接圆直径就是直角三角形的斜边 .[来源:学+科+网Z+X+X+K]

解：设Rt△ABC的斜边为c，∵a、b为方程x²－3x＋1=0的两根，∴a＋b=3，ab=1.

由勾股定理，得c²=a²＋b²=（a＋b）²－2ab=9－2=7.

∴△ABC的外接圆面积S=π·（ ）²=π = c²= ×7= .

6.有一个未知圆心的圆形工件(如图24-2-1-4).现只允许用一块直角三角板(注：不允许用三角板上的刻度)画出该工件表面上的一根直径并定出圆心.要求在图上保留画图痕迹，写出画法.

图24-2-1-4

思路解析：因为三角板有一个角是直角，所以可利用直角画90°的圆周角，由此可得直径.再画一个90°的圆周角，也能得到一直径，两直径的交点为圆心.

作法：如图,(1)用三角板的直角画圆周角∠BDC=90°，∠EFH=90°.

(2)连结BC、EH，它们交于点O.

则BC为直径，点O为圆心.

7.某公园有一个边长为4米的正三角形花坛，三角形的顶点A、B、C上各有一棵古树.现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上.以下设计过程中画图工具不限.

(1)按圆形设计，利用图24-2-1-5(1)画出你所设计的圆形花坛示意图;

图24-2-1-5

(2)按平行四边形设计，利用图24-2-1-5(2)画出你所设计的平行四边形花坛示意图;

(3)若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？ 请说明理由.

思路分析：过A、B、C三点画圆，以△ABC为平行四边形的一半，画出另一半，得平行四边形.[来源:Z+xx+k.Com]

解：（1）作图工具不限，只要点A、B、C在同一圆上,图(1).

(2)作图工具不限，只要点A、B、C在同一平行四边形顶点上,图(2).

（3）如图(3)，∵r=OB= ，

∴S_⊙O=πr²= ≈16.75，

又S_{平行四边形}=2S_△ABC=2× ×4×2× =8 ≈13.86,

∵S_⊙O>S_{平行四边形},∴选择建圆形花坛面积较大.

8.电脑CPU芯片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄圆形片，叫“晶圆片”.现在为了生产某种CPU芯片，需要长、宽都是1 cm的正方形小硅片若干.如果晶圆片的直径为10.05 cm，问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张？请说明你的方法和理由.(不计切割损耗)

图24-2-1-6

解：可以切割出66个小正方形.

方法一：（1）我们把10个小正方形排成一排，看成一个长方形的矩形，这个矩形刚好能放入直径为10.05 m的圆内.如图中的矩形ABCD.

∵AB=1，BC=10，∴对角线AC²=100＋1=101＜（10.05）².

（2）我们在矩形ABCD的上方和下方可以分别放入9个小正方形.

∵新加入的两排小正方形连同ABCD的一部分可看成矩形EFGH，

矩形EFGH的长为9，高为3，对角线EG²=9²＋3²=81＋9＜（10.05）²，但是新加入的这两排小正方形不能每排10个，因为：10²＋3²=100＋9＞（10.05）².

（3）同理，∵8²＋5²=64＋25＜（10.05）²，9²＋5²=81＋25=106＞（10.05）²，∴可以在矩形EFGH的上面和下面分别再排下8个小正方形，那么现在小正方形已有了5层.

（4）再在原来的基础上，上下再加一层，共7层，新矩形的高可以看成是7，那么新加入的这两排，每排可以是7个，但不能是8个.

∵7²＋7²=49＋49=98＜（ 10.05）²，8²＋7²=64＋49=113＞（10.05）².

（5）在第7层的基础上，上下再加一层，新矩形的高可以看成是9，这两层每排可以是4个，但不能是5个.

∵4²＋9²=16＋81=97＜（10.05）²，5²＋9²=25＋81=106＞（10.05）².

现在总共排了9层，高度达到了9，上下各剩下约0.5 cm的空间，因为矩形ABCD的位置不能调整，故再也放不下一个小正方形了.所以10＋2×9＋2×8＋2×7＋2×4=66（个）.

方法二：可以按9个正方形排成一排，叠4层，先放入圆内.然后

（1）上下再加一层，每层8个，现在共6层.

（2）在前面的基础上，上下各加6个，现在共有8层.

（3）最后上下还可加一层，但每层只能有一个，共10层，这样共有

4×9＋2×8＋2×6＋2×1=66（个）.