【331234】22.3　相似三角形的性质（第1课时）

22.3　相似三角形的性质

第1课时　相似三角形的性质（1）

【学习目标】

理解掌握相似三角形对应线段(高、中线、角平分线)的比及相似三角形的面积比、周长比与相似比之间的关系．

【学习重点】

相似三角形性质的应用．

【学习难点】

相似三角形性质的理解．

旧知回顾：

1．什么叫相似三角形？相似比指的是什么？

对应边成比例，对应角相等的两个三角形叫相似三角形，对应边的比也叫相似比．

2．全等三角形是相似三角形吗？全等三角形的相似比是多少？

全等三角形是相似三角形，其相似比为1.

3．相似三角形的判定方法有哪些？

共五种，略．

基础知识梳理

阅读教材P_87～88页的内容，回答以下问题：

相似三角形性质定理1有哪些内容？如何证明？

答：相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比，以角平分线为例．

探究：如图，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，求这两个三角形的角平分线AD与A′D′的比．

解：∵△A′B′C′∽△ABC，∴∠B＝∠B′，∠BAC＝∠B′A′C′，∵A′D′，AD分别是△A′B′C′与△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠B′A′D′，∴△ABD∽△A′B′D′(有两个角对应相等的两个三角形相似)，∴＝＝k.

根据上面的探究，你能得到什么结论？

【归纳结论】相似三角形对应角平分线的比等于相似比．

在上图中，如果AD，A′D′分别为BC，B′C′边上的高和中线，相应的结论依然成立．

例：如图，在△ABC中，DE∥BC，AH是△ABC的角平分线，交DE于点G.DE∶BC＝2∶3，那么AG∶GH＝2∶1．

解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴＝2.

阅读教材P₈₈页的内容，回答以下问题：

相似三角形性质定理2和性质定理3各是什么？如何证明？

答：定理2：相似三角形周长比等于相似比．定理3：相似三角形面积比等于相似比的平方．

探究：如图，△ABC∽△A′B′C′，＝k，AD、A′D′为△ABC和△A′B′C′的高．

(1)这两个相似三角形周长比为多少？

(2)这两个相似三角形面积比为多少？

解：(1)由于△ABC∽△A′B′C′，所以AB∶A′B′＝BC∶B′C′＝AC∶A′C′＝k，由并比性质可知(AB＋BC＋AC)∶(A′B′＋B′C′＋A′C′)＝k.

(2)由题意可知△ABD∽△A′B′D′，所以AB∶A′B′＝AD∶A′D′＝k，因此可得△ABC的面积∶△A′B′C′的面积＝(AD·BC)∶(A′D′·B′C′)＝k².

例1：在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为8，3．

【分析】根据相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方可得周长为8，面积为3.

例2：把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的倍，那么边长应缩短到原来的．

基础知识训练

1．如图，在△ABC中，M、N分别是边AB、AC的中点，则△AMN的面积与四边形MBCN的面积比为(　B　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

2．已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3∶4，△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为8．

3．如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交点O，△AOD与△BOC的面积之比为1∶9，若AD＝1，则BC的长是3．

本课内容反思

1．收获：________________________________________________________________________

2．困惑：________________________________________________________________________