【346574】8.4.3 分组分解法

3．分组分解法

1．理解并掌握运用分组分解法分解因式的一般步骤；(重点)

2．能熟练运用分组分解法进行因式分解并解决问题．(难点)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

一、情境导入

1．因式分解：

(1)a⁴－18a²＋81；(2)a³＋6a²＋9a；

2．根据1中得到的式子尝试因式分解：a⁴－a³－12a²＋9a＋81.

二、合作探究

探究点：分组分解法分解因式

【类型一】 运用分组法分解因式

因式分解：

(1)a²＋4ab＋4b²－2a－4b；

(2)x³＋6x²＋11x＋6.

解析：(1)前三项是完全平方形式，与－2(a＋2b)再提取公因式，分解因式即可；(2)把式子化成x³＋6x²＋9x＋2x＋6的形式，前三项首先提公因式x，即可利用完全平方公式分解，后边的两项可以提公因式，然后利用提公因式法分解，最后利用十字分解法分解即可．

解：(1)原式＝(a＋2b)²－2(a＋2b)＝(a＋2b)(a＋2b－2)；

(2)原式＝x³＋6x²＋9x＋2x＋6＝x(x＋3)²＋2(x＋3)＝(x＋3)[x(x＋3)＋2]＝(x＋3)(x²＋3x＋2)＝(x＋3)(x＋1)(x＋2)．

方法总结：本题考查了分组分解法分解因式，此题因式分解方法灵活，注意认真观察各项之间的联系．

【类型二】 运用分组法分解因式判定三角形的形状

已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a²＋2b²＋c²－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．

解析：首先利用完全平方公式分组进行因式分解，进一步分析探讨三边关系得出结论即可．

解：由a²＋2b²＋c²－2b(a＋c)＝0，得a²－2ab＋b²＋b²－2bc＋c²＝0，即(a－b)²＋(b－c)²＝0，∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形．

方法总结：通过分组并利用完全平方式将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答，这是解决此类问题一般的思路．

【类型三】 整体代入求值

已知x＋y＝7，x－y＝5，求x²－y²－2y＋2x的值．

解析：首先将前两项分组利用平方差公式分解因式，进而再提取公因式得出即可．

解：x²－y²－2y＋2x＝(x＋y)(x－y)－2(y－x)＝(x＋y)(x－y)＋2(x－y)＝(x－y)(x＋y＋2)，将x＋y＝7，x－y＝5代入上式得原式＝(x－y)(x＋y＋2)＝5×9＝45.

方法总结：若多项式有四项，且不能直接提公因式时，可考虑分组分解，常用的分组方法有两、两分组，一、三分组，分组应满足各组有公因式或符合公式，且各组之间有公因式或符合公式．

【类型四】 分组分解法的综合应用

若m、n满足＋(n－4)²＝0，分解因式：(x²＋y²)－(mxy＋n)．

解析：首先根据非负数的性质求出m、n的值，代入式子，然后利用分组分解法进行分解．

解：由题意，得m＋2＝0，n－4＝0，解得m＝－2，n＝4.∴(x²＋y²)－(mxy＋n)＝x²＋y²－(－2xy＋4)＝x²＋y²＋2xy－4＝(x＋y)²－4＝(x＋y＋2)(x＋y－2)．

方法总结：本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．

三、板书设计

1．分组分解法分解因式

某些多项式整体没有公式，也不符合公式，可将多项式进行分组，使各组符合提公因式或可以使用公式分解因式，且各组之间有公因式或符合公式从而将多项式因式分解．

2．分组分解法分解因式的应用

本节课学生的探究活动比较多，教师既要全局把握，又要顺其自然，千万不可拔苗助长，为了后面多做几道练习而主观裁断时间安排．其实公式的探究活动本身既是对学生能力的培养，又是对公式的识记过程，而且还可以提高他们应用公式的本领