8．1　幂的运算

1．同底数幂的乘法

1．理解并掌握同底数幂的乘法法则；(重点)

2．运用同底数幂的乘法法则进行相关运算．(难点)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

一、情境导入

问题：2014年9月，一个国际空间站研究小组发现了太阳系以外的第100颗行星，距离地球约100光年.1光年是光经过一年所行的距离，光的速度大约是3×10⁵km/s.问：这颗行星距离地球多远？(1年＝3.1536×10⁷s)

解答：3×10⁵×3.1536×10⁷×100＝3×3.1536×10⁷×10⁵×10²＝9.4608×10⁵×10⁷×10².

问题：“10⁷×10⁵×10² ”等于多少呢？

二、合作探究

探究点一：同底数幂的乘法

【类型一】 底数为单项式的同底数幂的乘法

计算：(1)2³×2⁴×2；

(2)－a³·(－a)²·(－a)³；

(3)m^n＋1·mⁿ·m²·m.

解析：(1)根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；(2)先算乘方，再根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；(3)根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．

解：(1)原式＝2^3＋4＋1＝2⁸；

(2)原式＝－a³·a²·(－a³)＝a³·a²·a³＝a⁸；

(3)原式＝m^n＋1＋^n＋2＋1＝m^2n＋4.

方法总结：同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用；单个字母或数可以看成指数为1的幂，进行运算时，不能忽略了幂指数1.

【类型二】 底数为多项式的同底数幂的乘法

计算：

(1)(2a＋b)^2n＋1·(2a＋b)³·(2a＋b)^n－4；

(2)(x－y)²·(y－x)⁵.

解析：将底数看成一个整体进行计算．

解：(1)原式＝(2a＋b)^(2n＋1)＋3＋(^n－4)＝(2a＋b)³ⁿ；

(2)原式＝－(x－y)²·(x－y)⁵＝－(x－y)⁷.

方法总结：底数互为相反数的幂相乘时，先把底数统一，再进行计算．(a－b)ⁿ＝

探究点二：幂的运算性质1的运用

【类型一】 运用同底数幂的乘法求代数式的值

若8^2a＋3·8^b－2＝8¹⁰，求2a＋b的值．

解析：根据同底数幂的乘法法则，底数不变指数相加，可得a、b的关系，根据a、b的关系求解．

解：∵8^2a＋3·8^b－2＝8^2a＋3＋^b－2＝8¹⁰，∴2a＋3＋b－2＝10，解得2a＋b＝9.

方法总结：将等式两边化为同底数幂的形式，底数相同，那么指数也相同．

【类型二】 同底数幂的乘法法则的逆用

已知a^m＝3，aⁿ＝21，求a^m＋n的值．

解析：把a^m＋n变成a^m·aⁿ，代入求值即可．

解：∵a^m＝3，aⁿ＝21，∴a^m＋n＝a^m·aⁿ＝3×21＝63.

方法总结：逆用同底数幂的乘法法则把a^m＋n变成a^m×aⁿ.

三、板书设计

1．同底数幂的乘法

2．幂的运算性质1：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．a^m·aⁿ＝a^m＋n(m，n都是正整数)．

在同底数幂乘法公式的探究过程中，学生表现出观察角度的差异：有的学生只是侧重观察某个单独的式子，把它孤立地看，而不知道将几个式子联系起来；有些学生则既观察入微，又统揽全局，表现出了较强的观察力．教师要善于抓住这个契机，适当对学生进行指导，培养他们“既见树木，又见森林”的优良观察品质．对于公式使用的条件既要把握好“度”，又要把握好“方向”