【346562】8.1.2 幂的乘方与积的乘方

2．幂的乘方与积的乘方

1．理解幂的运算性质2，掌握幂的乘方的运算；(重点)

2．理解幂的运算性质3，掌握积的乘方的运算并能运用其解决实际问题．(重点、难点)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

一、情境导入

　1.填空：

(1)同底数幂相乘，________不变，指数________；

(2)a²·a³＝________；10^m×10ⁿ＝________；

(3)(－3)⁷×(－3)⁶＝________；

(4)a·a²·a³＝________；

(5)(2³)²＝2⁽)；(x⁴)⁵＝x⁽)；(2¹⁰⁰)³＝2⁽)．

　2.计算(2²)³；(2⁴)³；(10²)³.

问题：(1)上述几道题目有什么共同特点？

(2)观察计算结果，你能发现什么规律？

(3)你能推导一下(a^m)ⁿ的结果吗？请试一试．

二、合作探究

探究点一：幂的乘方

【类型一】 直接应用幂的运算性质2进行计算

计算：

(1)(a³)^4; (2)(x^m－1)²；

(3)[(2⁴)³]^3; (4)[(m－n)³]⁴.

解析：直接运用(a^m)ⁿ＝a^mn计算即可．

解：(1)(a³)⁴＝a^3×4＝a¹²；

(2)(x^m－1)²＝x^2(m－1)＝x^2m－2；

(3)[(2⁴)³]³＝2^4×3×3＝2³⁶；

(4)[(m－n)³]⁴＝(m－n)¹².

方法总结：运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式．

【类型二】 方程与幂的乘方的应用

已知2x＋5y－3＝0，求4^x·32^y的值．

解析：由2x＋5y－3＝0得2x＋5y＝3，再把4^x·32^y统一为底数为2的乘方的形式，最后根据同底数幂的乘法法则即可得到结果．

解：∵2x＋5y－3＝0，∴2x＋5y＝3，∴4^x·32^y＝2^2x·2^5y＝2^2x＋5^y＝2³＝8.

方法总结：本题考查了幂的乘方的逆用及同底数幂的乘法，整体代入求解也比较关键．

【类型三】 根据幂的乘方的关系，求代数式的值

已知2^x＝8^y＋1，9^y＝3^x－9，则代数式x＋y的值为________．

解析：由2^x＝8^y＋1，9^y＝3^x－9得2^x＝2^3(y＋1)，3^2y＝3^x－9，则x＝3(y＋1)，2y＝x－9，解得x＝21，y＝6，故代数式x＋y＝7＋3＝10.

方法总结：根据幂的乘方的逆运算进行转化，得到x和y的方程组，求出x、y，再计算代数式的值．

探究点二：积的乘方

【类型一】 含积的乘方的混合运算

计算：

(1)(－2a²)³·a³＋(－4a)²·a⁷－(5a³)³；

(2)(－a³b⁶)²＋(－a²b⁴)³.

解析：(1)先进行积的乘方，然后根据同底数幂的乘法法则求解；(2)先进行积的乘方和幂的乘方，然后合并．

解：(1)原式＝－8a⁶·a³＋16a²·a⁷－125a⁹＝－8a⁹＋16a⁹－125a⁹＝－117a⁹；

(2)原式＝a⁶b¹²－a⁶b¹²＝0.

方法总结：先算积的乘方，再算乘法，最后算加减，然后合并同类项．

【类型二】 积的乘方在实际中的应用

太阳可以近似地看作是球体，如果用V、R分别代表球的体积和半径，那么V＝πR³，太阳的半径约为6×10⁵千米，它的体积大约是多少立方千米(π取3)?

解析：将R＝6×10⁵千米代入V＝πR³，即可求得答案．

解：∵R＝6×10⁵千米，∴V＝πR³＝×π×(6×10⁵)³＝8.64×10¹⁷(立方千米)．

答：它的体积大约是8.64×10¹⁷立方千米．

方法总结：读懂题目信息，理解球的体积公式并熟记积的乘方的性质是解题的关键．

【类型三】 利用积的乘方比较数的大小

试比较大小：2¹³×3¹⁰与2¹⁰×3¹².

解：∵2¹³×3¹⁰＝2³×(2×3)¹⁰，2¹⁰×3¹²＝3²×(2×3)¹⁰，2³＜3²，∴2¹³×3¹⁰＜2¹⁰×3¹².

方法总结：利用积的乘方，转化成同底数的同指数的幂是解答此类问题的关键．

三、板书设计

1．幂的乘方

幂的运算性质2：幂的乘方，底数不变，指数相乘．

(a^m)ⁿ＝a^mn(m，n都是正整数)．

2．积的乘方

幂的运算性质3：积的乘方等于各因式乘方的积．

(ab)ⁿ＝aⁿbⁿ(n是正整数)．

幂的乘方和积的乘方的探究方式与上一课时相似，因此在教学中可以就此展开教学．在探究问题的过程中，进一步发挥学生的主动性，尽可能地让学生在已有知识的基础上，通过自主探究，获得对新知识的感性认识，进而理解运用