【320680】【典型例题系列】五年级数学下册典型例题系列之第三单元长方体和正方体的表面积提高部分（解

2021-2022学年五年级数学下册典型例题系列之

第三单元长方体和正方体的表面积提高部分（解析版）

编者的话：

《2021-2022学年五年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。

典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。

专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。

本专题是第三单元长方体和正方体的表面积提高部分。本部分内容考察长方体和正方体的表面积的增减变化及不规则立体图形的表面积，考点和题型难度稍大，建议作为本章核心内容选择性进行讲解，一共划分为十个考点，欢迎使用。

【考点一】正方体表面积的增减变化：切片问题。

【方法点拨】

1.表面积的增减变化问题主要有三种，一种是切片问题，表面积会相应增加，一种是拼接问题，表面积会相应减少，一种是高的变化引起的表面积变化。

2.切片问题，即切一刀多两个切面，沿着不同的方向切，多出的表面积一般是不一样的，但正方体比较特殊，它的表面积的增减变化都是都是正方形在进行变化，相对比较简单。

3.刀数×2=切面个数。

【典型例题】

把一个棱长是2cm的正方体切成两个完全一样的长方体后，表面积比原来增加了（ ）平方厘米，每个小长方体的表面积是（ ）平方厘米。

解析：8；16

【对应练习1】

一个正方体的棱长是4厘米，把它切成两个完全相同的长方体后，表面积增大（ ）平方厘米，每个长方体的表面积是（ ）平方厘米，两个长方体的表面积和是（ ）平方厘米。

解析：32；64；128

【对应练习2】

把一个棱长是5分米的正方体木块锯成两个完全一样的长方体，表面积比原来增加了（ ）平方分米，每个小长方体的表面积是（ ）平方分米。

解析：50；100

【对应练习3】

一个正方体的表面积是20平方厘米，将它切成8个一样大小的小正方体，每个小正方体的表面积是多少平方厘米？

解析：

观察图形可知，把一个大正方体切成8个一样大小的小正方体，需要切3刀，每切一刀就增加2个原正方体的面，由此即可求出切割后的8个小正方体的表面积之和是：原正方体的表面积+增加的6个原正方体的面的面积，即等于原正方体的表面积的2倍，是20×2=40平方厘米，再除以8，就是1个小正方体的表面积。

20×2÷8=5（平方厘米）

答：每个小正方体的表面积是5平方厘米。

【对应练习4】

一个正方体形状的木块，棱长为1m，沿着水平方向将它锯成3片，每片又按任意尺寸锯成4条，每条再按任意尺寸锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块，如图所示。这60块长方体表面积的和是多少平方米？

解析：

2＋3＋4＝9（刀）

1×1×6＋9×2×1×1

＝6＋18

＝24（平方米）

答：这60块长方体表面积的和是24平方米。

【考点二】正方体表面积的增减变化：拼接问题。

【方法点拨】

1.表面积的增减变化问题主要有三种，一种是切片问题，表面积会相应增加，一种是拼接问题，表面积会相应减少，一种是高的变化引起的表面积变化。

2.拼接问题会使表面积减少，两个正方体的拼接，有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，与切片问题类似，可以先判断刀数，再根据刀数去推正方形的个数。

3.段数-1=刀数；刀数×2=切面个数。

【典型例题】

两个棱长都是4厘米的正方体，拼成一个长方体。长方体的表面积是( )平方厘米，比两个正方体的表面积之和少( )平方厘米。

解析：

拼成一个长方体后，表面积减少的部分为正方体的两个表面。据此，利用正方体的表面积公式，先求出两个正方体的表面积，再将其减去两个面的面积，求出长方体的表面积。根据正方形的面积公式，求出长方体的表面积比正方体的少多少。

4×4×6×2－4×4×2

＝192－32

＝160（平方厘米）

4×4×2＝32（平方厘米）

答：长方体的表面积是160平方厘米，比两个正方体的表面积之和少32平方厘米。

【对应练习1】

用3个棱长3cm的正方体拼成一个长方体，表面减少了( )cm²。

解析：

把3个棱长3cm的正方体拼成一个长方体，有两个重合面，一个重合面有两个正方形重合在一起，所以一共减少了4个正方形的面积；根据正方形的面积＝边长×边长，求出一个正方形的面积，即可求出一共减少的四个正方形的面积。

一个正方形的面积为：3×3＝9（cm²）

4个正方形的面积为：9×4＝36（cm²）

【对应练习2】

把5个棱长1厘米的小正方体拼成一个长方体后，表面积减少( )平方厘米。

解析：1×1×8＝8（平方厘米）

【对应练习3】

把两个完全相同的小正方体拼成一个长方体后，这个长方体的表面积比原来每个小正方体的表面积增加60平方厘米，那么原来每个小正方体的表面积是（       ）平方厘米。

A．72 B．60 C．180 D．90

解析：

60÷（10－6）×6

＝60÷4×6

＝90（平方厘米）

【考点三】正方体表面积的增减变化：高的变化引起表面积的变化。

【方法点拨】

1.表面积的增减变化问题主要有三种，一种是切片问题，表面积会相应增加，一种是拼接问题，表面积会相应减少，一种是高的变化引起的表面积变化。

2.正方体高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。

【典型例题】

一个正方体的底面周长是40厘米，如果把它的高增加3厘米，则表面积比原来增加多少平方厘米？

解析：

根据题意可知，增加的面为前后、左右四个面，根据棱长＝底面周长÷4求出棱长，再根据“表面积增加的数量＝棱长×增加的高度×4”，解答即可。

40÷4＝10（厘米）

10×3×4

＝30×4

＝120（平方厘米）

【考点四】长方体表面积的增减变化：切片问题一。

【方法点拨】

长方体表面积的增减变化问题同样满足切片问题的增减变化方式，即切一刀多两个切面，但是由于长方体各个面的不同，所以沿着不同的方向切，多出的表面积可能不一样。

【典型例题】

把一根长40厘米的长方体木条锯成两段，表面积增加了18平方厘米。原来木条的体积是（ ）立方厘米。

解析：360

【对应练习1】

把一根长30分米的长方体钢材截成两段，表面积比原来增加了2平方分米，这个钢材原来的体积是（ ）立方分米。

解析：30

【对应练习2】

一根长方体的木料，一刀截成了两个相同的正方体，表面积增加了18平方厘米，每个正方体的表面积是多少？

解析：

18÷2×6＝54（平方厘米）

答：每个正方体的表面积是54平方厘米。

【对应练习3】

一个长方体的表面积是60平方厘米，把它平均切开，正好成为两个相同的小正方体，求每个小正方体的表面积是多少平方厘米？

解析
根据题干可知，把长方体平均切开，正好成为两个相同的小正方体，则表面积比原来增加了2个小正方体的面的面积；所以长方体的表面积是10个小正方体的面的面积之和，所以1个小正方体的面的面积是60÷10=6平方厘米，由此即可解决问题。

60÷（12﹣10）×6

=6×6

=36（平方厘米）

答：每个小正方体的表面积是36平方厘米。

【考点五】长方体表面积的增减变化：切片问题二。

【方法点拨】

切片问题切多次的问题：

1.切一刀多两个面；

2.沿着相同的方向，切一刀后分成2段，切两刀分成3段，切三刀分成4段…

依次类推可知：段数-1=刀数，增加的面数=刀数x2。

【典型例题】

如图，把一根长6分米的长方体木料沿横截面平均截成三段，表面积比原来增加16平方分米，原来长方体木料横截面的面积是多少平方分米？这根木料的体积是多少立方分米？

解析：

横截面的面积∶16÷（2×2）=4（平方分米）

这根木料的体积∶4×6=24（立方分米）。

【对应练习1】

如图，一段长5m的长方体木料，将它截成5段后，表面积增加了38.4dm²。请问这段木料的体积是多少立方分米?

解析：

将木料截成5段，由示意图可知截了4次，一共增加了8个横截面，由表面积增加了38.4dm²可求出木料横截面的面积，横截面的面积乘木料的长即为它的体积.要注意统一单位。

38.4÷8=4.8（平方分米）

4.8×50=240（立方分米）

【对应练习2】

一段长20分米的长方体木料，将它截成5段后，表面积增加了40平方分米。这根木料的体积是多少立方分米?

解析：

40÷8×20=100（立方分米）

【对应练习3】

如图，长方体的长是12cm，宽是4cm，高是6cm，把这个长方体沿虚线剪开，剪开后的3个小长方体的表面积的和比原来的长方体增加了( )平方厘米。

解析：

每切一次增加两个截面，用宽×高×增加的截面数量即可。

4×6×4＝96（平方厘米）

【对应练习4】

把长3厘米，宽1厘米，高1厘米的长方体分割成3个小正方体，表面积增加了（       ）平方厘米。

A．3 B．6 C．1 D．4

解析：

1×1×4＝4（平方厘米）

【对应练习5】

把一个横放着的长40厘米、宽15厘米、高10厘米的长方体木块沿水平方向平均分成三块后，木块的表面积增加了多少平方厘米？

解析：

40×15×4=2400（平方厘米）

答：木块的表面积增加了2400平方厘米。

【考点六】长方体表面积的增减变化：切片问题三。

【方法点拨】

切一刀增加两个面，增加的这两个面完全相同，要使表面积增加的最少，以最大面作为截面来切；要使表面积增加的最多，以最小面作为截面来切。

【典型例题】

一块蛋糕长12cm，宽5cm，厚6cm，切一刀表面积最少增加多少平方厘米？最多增加多少平方厘米？

解析：

切一刀增加两个面，增加的这两个面完全相同，要使表面积增加的最少，以长为6厘米、宽为5厘米为横截面切开，即6×5×2求出增加的面积；要使表面积增加的最多，以长为12厘米、宽为6厘米为横截面切开，即12×6×2，可据此解答。

表面积最少增加：

6×5×2

＝30×2

＝60（cm²）

表面积最多增加：

12×6×2

＝72×2

＝144（cm²）

【对应练习1】

把一个长12厘米，宽5厘米，高7厘米的长方体，截成两个同样大小的小长方体，表面积最少增加多少平方厘米？

解析：

把一个长方体截成两个同样大小的小长方体，有3种不同的截法，要使表面积增加的最少，也就是与长方体的最小面平行截开，表面积增加两个截面的面积，根据长方形的面积公式：S＝ab，把数据代入公式解答。

7×5×2

＝35×2

＝70（平方厘米）

答：表面积最少增加70平方厘米。

【对应练习2】

将一个长4dm，宽2dm，高3dm的长方体木料截成2个长方体，要使其表面积增加最少，则增加的是( ) 。

解析：

2×3×2＝12（平方分米）

其表面积最少增加12平方分米。

【对应练习3】

把一个长、宽、高分别是5分米，3分米、2分米的长方体截成两个小长方体，这两个小长方体表面积之和最大能增加( )平方分米。

解析：

沿着最大的面截成两个小长方体，表面积增加的最多，用长×宽×2即可。

5×3×2＝30（平方分米）

【对应练习4】

一根长方体木料，长5分米，宽3分米，高2分米，把它截成相等的三段，三段的表面积之和最少比原来增加( )平方分米。

解析：3×2×4＝24（平方分米）

【考点七】长方体表面积的增减变化：拼接问题。

【方法点拨】

1.表面积的增减变化问题主要有两种，一种是切片问题，表面积会相应增加，一种是拼接问题，表面积会相应减少。

2.拼接问题会使表面积减少，要使拼成长方体的表面积最小，那就要把最大面拼在一起，要使拼成的长方体的表面积最大，就要把最小面拼在一起。

3.段数-1=刀数；刀数×2=切面个数。

【典型例题】

用长6cm、宽3cm、高1cm的两个小长方体拼成一个大长方体。这个大长方体的表面积最小是( )cm²，表面积最大是( )cm²。

解析：

最小表面积：（6×3＋6×1＋3×1）×2×2－3×6×2

＝27×4－36

＝108－36

＝72（平方厘米）

最大表面积：（6×3＋6×1＋3×1）×2×2－3×1×2

＝27×4－6

＝108－6

＝102（平方厘米）

【对应练习】

两个完全一样的长方体，长是6cm，宽是4cm，高是2cm。把它们按下面的方式拼成一个大长方体，拼成的大长方体的表面积是多少平方厘米？

解析：

（cm²）

答：大长方体的表面积是128平方厘米。

【考点八】长方体表面积的增减变化：高的变化引起表面积的变化。

【方法点拨】

1.表面积的增减变化问题主要有三种，一种是切片问题，表面积会相应增加，一种是拼接问题，表面积会相应减少，一种是高的变化引起的表面积变化。

2.长方体高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的是前后左右四个面。

【典型例题】

一个长方体，如果高减少 就变成了一个正方体，表面积比原来减少 。原来长方体的表面积是多少平方厘米？

解析：

根据题意可知：一个长方体，如果高减少2 cm，就变成一个正方体，说明原来长方体的底面是正方形；又表面积比原来减少了72cm2，表面积减少的是高为2 cm的长方体的4个侧面的面积，由此可以求出减少部分的1个侧面的面积，进而求出底面边长和高，再根据长方体的表面积公式：s＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入公式解答即可。

原长方体的底面边长是：

72÷4÷2

＝18÷2

＝9（cm）     

高是：

（9×9＋9×11＋9×11）×2

＝（81＋99＋99）×2

＝279×2

＝558（cm²）

答：原来长方体的表面积是558平方厘米。

【对应练习1】

一个长方体，如果高减少3厘米，就变成一个正方体，这时表面积比原来减少72平方厘米。原来长方体的表面积是多少？

解析：

减少的面的长（即剩下正方体的棱长）为：72÷4÷3＝6（厘米）

原长方体的高为：6＋3＝9（厘米）

因此原长方体的长宽高分别为6厘米、6厘米、9厘米

所以原长方体的表面积为：

6×6×2＋6×9×4

＝36×2＋54×4

＝72＋216

＝288（平方厘米）

答：原长方体的表面积是288平方厘米。

【对应练习2】

一个长方体的底面是一个周长为20厘米的正方形，如果把高增加4厘米，就变成一个正方体．原来长方体的表面积是多少平方厘米？

解析：

长方体的长和宽：20÷4=5（厘米）

长方体的高：5﹣4=1（厘米）

长方体的表面积：（5×5+5×1+1×5）×2

=（25+5+5）×2

=35×2

=70（平方厘米）

答：原来长方体的表面积是70平方厘米。

【对应练习3】

爸爸绘制图纸，把一个长方体的高增加了3cm，这个长方体就变成了一个正方体，这时爸爸说：“现在这个正方体的表面积比原来长方体的表面积增加了144cm²”。小明说自己可以帮爸爸计算出原长方体的体积是多少立方厘米。

解析：

想一想，然后写出小明的计算过程吧！

原长方体的长和宽：144÷4÷3＝12（厘米）

原长方体的高：12－3＝9（厘米）

原长方体的体积：12×12×9＝1296（立方厘米）

答：原长方体的体积是1296立方厘米。

【考点九】求不规则立体图形的表面积。

【方法点拨】

在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。

【典型例题】

如下图，在棱长是1分米的正方体的一个顶角锯下一个棱长1厘米的小正方体，剩下部分的表面积是( )平方分米。

解析：

根据题图可知，从正方体的一个顶角锯下一个小正方体后，表面积减少了3个小正方形的面，同时又增加了3个小正方形的面，所以表面积不变，据此解答即可。

1×1×6＝6（平方分米）

【对应练习1】

如图，把一个长方体切去一个小正方体，剩下图形的表面积与原长方休表面积相比较，（       ）。

A．增加了 B．减少了 C．不变

解析：C

【对应练习2】

如图，一个棱长3分米的正方体。在它的一个顶点处挖掉一个棱长1分米的小正方体。求剩下部分的表面积。

解析：

32×6＝54（平方分米）

答：剩下部分的表面积是54平方分米。

【对应练习3】

一个正方体，它的棱长为5厘米，在它的上、下、前、后、左、右的正中位置各挖去一个棱长为2厘米的正方体，问现在的表面积是多少？

解析：观察图形可知，在它的上、下、前、后、左、右的正中位置各挖去一个棱长为2厘米的正方体后，这个图形的表面积在原来的基础上增加了4×6=24个边长为2厘米的小正方形的面的面积，由此利用正方体的表面积公式求出这个正方体原来的表面积，再加上24个边长为2厘米的小正方形的面积即可。

5×5×6+2×2×24

=150+96

=246（平方厘米）

答：现在的面积是246平方厘米。

【考点十】拓展：染色问题。

【方法点拨】

三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面：

染三个面的小正方体数量∶8个。

染两个面的小正方体数量∶12×（a-2）。

染一个面的小正方体数量∶6×（a-2）x（a-2）。

没有染色的面的小正方体数量∶（a-2）×（a-2）×（a-2）。

【典型例题】

如图，是由125个小正方体拼成的一个大正方体，把它的表面全部涂上颜色。

（1）没有涂到颜色的小正方体有（ ）块。

（2）一面涂色的小正方体有（ ）块。

（3）两面涂色的小正方体有（ ）块。

（4）三面涂色的小正方体有（ ）块。

解析：27；54；36；8

【对应练习1】

如图，一个4×4×4的正方体，将其平均分成64块，如果将其表面涂成红色，那么其中只有两个面被涂成红色的小正方体有多少块?

解析：两面涂红色的在棱长处，共2×12=24块。

【对应练习2】

用棱长是1厘米的小正方体拼成下侧的大正方体，然后把它的表面涂色，没有涂色的小正方体共有( )块。

解析：

由图意可知：三面涂色的块数有8块；两面涂色的块数36块； 一面涂色的块数54块，

没有涂色的块数有：

5×5×5－8－36－54

＝125－8－36－54

＝27（块）