【319647】【课本】三年级（下）第18讲 阵列问题

上一讲讨论了有关直线和环形上的排列问题，其实在日常生活中我们遇到的更多是排成一个阵列，最常见的就是正方形阵和长方形阵，例如：

其中正方形阵又可以简称为方阵，这就是本讲主要讨论的问题，前图中的小山羊、卡莉娅和蛋糕就一起组成了一个三层的方阵，大家可以仔细观察图中小山羊、卡莉娅和蛋糕的位置和数量，从中找出一些关于方阵的规律来．

先来看看小山羊的数量，一边上有6个小山羊，一共有20只小山羊，并不是 只，因为角落上的小山羊都被算了2次，要减去多算的1次，所以有 只．

数一数，图中小山羊比卡莉娅多几个？卡莉娅又比蛋糕多了几个？不难发现，每个方向上的小山羊要比卡莉娅多2个，每个方向上的卡莉娅要比蛋糕多2个，而小山羊、卡莉娅和蛋糕分别占据了这个方阵的三层，并且小山羊比卡莉娅多8个，卡莉娅比蛋糕多8个．

一般来说：

方阵里相邻的两层之间每条边上的人数差2，而每层的人数总和差8．

但只有一种情况下不符合这条规律：当这个方阵最里层只有1个人的时候此层不符合．

1. 若干名同学站成一个 的方阵，请问：最外层一共有多少人？这个方阵一共有多少层？从里向外的第七层有多少人？

「分析」方阵的最外一层每边有15人，是不是最外面一层共有 人呢？

练习：

1. 一批同学站成一个 的方阵，请问：最外一层共有多少人？从外向里的第3层有多少人？

2. 一个实心方阵，最外面一层共有44人，请问：
   （1）这个方阵共有多少人？
   （2）如果让这个方阵减少一行一列，一共需要减少多少人？

「分析」（1）这个方阵最外一层每边有多少人？

（2）减少一行一列，那么最外一层每边多少人？

练习：

2. 一个实心方阵，最外面一层共有36人，如果要让这个方阵增加一行一列，需要增加多少人？

前两个例题是有关实心方阵的，相比之下空心方阵的问题要稍难一些，而“相邻层每边差2，总人数差8”仍然适用．

3. 某小学三年级共有学生120人，排成一个三层的空心方阵．这个方阵最外层每边有多少人？如果在外面加一层，变成一个四层的空心方阵，那应该增加几个人？如果在内部再加一层，变成一个五层的空心方阵，那么还需要增加几个人？

「分析」要回答后面两问，第一问是关键，所以搞清楚这三层每边的人数，就可以了解方阵的结构．然后解决这个问题．

练习：

3. 共有240人排成一个5层空心方阵，这个方阵最里面一层每边多少人？如果要在内部加一层，变成6层空心方阵，还需要增加多少人？

4. 用红、绿两种颜色的小正方形瓷砖400块铺成一块正方形墙面，这个墙面最外圈铺的是红色瓷砖，由外到内的第二圈是绿色瓷砖，第三圈是红色瓷砖，第四圈又是绿色瓷砖，……，这样依次铺下去．请问这个墙面上哪种颜色的瓷砖更多？两种瓷砖相差多少块？

「分析」先不看颜色，400块瓷砖一共铺了多少层？最外面一层是红色，那么最里面一层是什么颜色呢？

练习：

4. 用黑、白两种颜色的正方形瓷砖共256块铺满一面正方形的墙，最外一层是黑色，第二层是白色，第三层是黑色，……，这样下去，那么整面墙上共有黑色瓷砖多少块？

前几个例题都是关于方阵的，但阵列的形式其实是很多的，除了方阵，还有三角阵、六边形阵等等．这些阵列也具有非常有趣的性质，只要稍加观察，也可以像方阵那样，总结出很多简单的数量关系与计算方法．

右图就是一个每边7人的三角形阵列．如果我们从上往下数，就会发觉人数正好构成一个自然数列．最上面那层是1个人，第二层是2个人，第三层是3人，……，最后一层正好是7个人，总数就等于1234567=28．

由此可见，只要知道三角形阵列的大小，就可以从上往下把总人数加出来．上图是一个每边7人的阵列，所以总人数正好是1一直加到7，如果是每边8个人，总人数就应该是从1一直加到8．如果每边人数是n，那总人数就是：

这就是实心三角形阵列总数的求法．

下面来看一个有关三角形阵列的问题．

5. 如 图，一块绿地由3块相同的等边三角形草地和一个水池构成．现在要在草地上种花，要求在草地与草地的公共点都种上（即图中的A、B、C点），且每块草地上的花朵排成了一个三角形点阵，且每条边上有10朵花．请问：整个绿地一共要种多少朵花？

「分析」总共有三片草地，每一片草地上应该种多少朵花？有没有花同时算在两片草地里的？

6. 在学校的运动会上，同学们集体表演一个节目，站成了一个空心的正六边形阵列，与图中的阵列类似．从外向内一共8层，分别站着两层六年级的同学、两层五年级的同学、两层四年级的同学以及两层三年级的同学．已知参加表演的六年级同学有126名，那么：
   
   （1）最外层有多少人？
   （2）现在阵列中一共有多少人？
   （3）如果想要让一、二年级的同学把这个空心阵列填满，还需要多少人？

作业：

1. 请问：一个 的方阵中，最外一层共有多少人？从里向外的第3层有多少人？

2. 一个实心方阵，最外面一层共有56人，那么这个方阵一共有多少人？

3. 共有200人排成一个5层空心方阵，这个方阵最外面一层每边多少人？如果要在最外面增加一行一列，那么需要增加多少人？

4. 用白、蓝两种颜色的正方形瓷砖铺满一面正方形的墙，共用了324块，最里面一层是蓝色的，第二层是白色，第三层是蓝色，……，这样下去，最外面一层是什么颜色？整面墙上共有白色瓷砖多少块？

5. 某班所有学生恰好可以排成一个每边为8人的三角阵，请问：这个班共有多少人？