- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

-

在数学中，还原问题也很多．比如计算一个数加3，同学们很快可以算出最后的结果．但如果知道最后的结果等于8，反过来要求原来的数呢？大家自然想到利用加法的逆运算——减法，我们利用 ，就可以算出原数等于5．像这样把结果还原成开始的数量的问题叫做还原问题．

本讲中我们就将遇到这样一类应用题：开始时的状态不知道，只知道中间的过程以及结束时的状态．这时我们需要从最后结果出发，利用已知条件一步一步倒推，逐步接近最开始的状态，直至解决问题．这种思考问题的方法叫做倒推法（还原法）．

我们在倒推求解问题时，常常通过逆运算来还原：加法用减法还原，减法用加法还原，乘法用除法还原，除法用乘法还原．即原来是加（减）几，还原时要变成减（加）几；原来是乘（除以）几，还原时要变成除以（乘）几．

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

分析：我们把一个数经过的四步计算过程用下面的示意图来表示，看看能先算出哪个数呢？

分析：我们根据最后树上剩下的四个桃子，可以一步一步地倒推出原来树上有多少个桃子．第三只猴子吃了三个桃子并摘下了剩下桃子的一半，我们应该先倒推摘桃子的过程还是倒推吃桃子的过程？

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

当题目中有两个或两个以上的量在变化时，只是画出示意图有时不能把中间步骤表示清楚，这时我们可以采用多排倒推图的方法依次记录每一个变化过程．

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

_分析：你能算出最后哥哥和弟弟各挑多少块砖吗？在倒推的过程中，哥俩挑的砖都在变化，一个示意图就显得力不从心了．我们可以用双行倒推图来倒推分析两人挑的砖的数量变化．

分析：你能算出最后阿呆和阿瓜各有多少块西瓜皮吗？在倒推的过程中，阿呆和阿瓜的西瓜数量都在变化，请试着画出双行倒推图来表示出两者的变化．

分析：大家能算出最后三人各有多少钱吗？试着用多行倒推图分析吧．

分析：倒推过程中注意其中出现的周期规律．

作业

1. 某数加上2，除以5，加上5，除以2，其结果等于10，那么这个数是多少？

2. 袋子里有若干个球．小明每次拿出其中的一半再放回一个球，一共这样做了4次之后，袋子里还有3个球．请问原来袋子里有多少个球？

3. 淘淘和奇奇是两只猴子，它们俩结伴去摘桃子．摘了一个下午，一共摘了40个桃子．奇奇不高兴了，把淘淘摘的桃子的一半抢了过来，和自己摘的放在一起；淘淘也不甘示弱，又抢走了奇奇现有桃子的一半；最后奇奇又从淘淘那里抢了7个桃子，这时淘淘和奇奇的桃子一样多．请问开始时奇奇摘了多少个桃子？

4. 在电脑里输入一个数，它会按既定的指令进行如下运算：如果是偶数，就把它除以2；如果是奇数，就把它加上3．这样进行了3次运算之后，得到的结果为27．请问原来输入的数可能是多少？

5. 有甲、乙、丙三袋水果糖．先取出甲袋的一半，平均放入乙、丙两袋中；再取出乙袋的一半，平均放入甲、丙两袋中；最后取出丙袋的一半，平均放入甲、乙两袋中，这时三袋糖正好都是32块．请问原来甲、乙、丙三袋中各有多少块水果糖？