【319471】【课本】三年级(上)第20讲 等差数列初步
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第二十讲 等差数列初步
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“数列”就是一列数,也就是一些数排成一列.“等差”,就是差相等,也就是相邻两数的差都相等.特别要注意的是,类似于1,2,3,2,1,2,3,2,1,…和1,0,1,0,1,0,…的数列,虽然相邻两个数的差都相等,但这样的数列不是等差数列,因为在同一个等差数列中,必须要么每一项都比前一项大,要么每一项都比前一项小,不能出现既有后一项比前一项大,又有后一项比前一项小的情况.
在等差数列中,称第1个数为第1项,第2个数为第2项,第3个数为第3项,……依此类推.
我们把等差数列第1项称为首项,最后1项称为末项,数列中所有数的个数称为项数,而相邻两项的的差则被称为公差.
在等差数列中,首先要寻找这四个关键量(即首项、末项、项数和公差)之间的关系.请看下图:
在上图中,你能看出第3项比第1项大几个公差吗?
第5项比第2项大几个公差呢?
第7项比第1项大几个公差呢?
第17项比第9项大几个公差呢?
在等差数列中,第
项与第
项之间相隔
个公差.
如下图所示:
更重要的是,首项其实就是第1项,末项就是第“项数”项,那么首项和末项之间相隔的公差个数就等于
.由此,我们就知道末项减去首项等于
个公差的和,因此
由此可以得到等差数列的通项公式:
同时我们还可以得到以下这些公式:
在运用这些公式时,有一个共同的关键点:某两项之间相差的公差的个数.抓住这个关键点,很多问题便能迎刃而解.
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例题1
(1)一个等差数列共有13项.每一项都比它的前一项大2,并且首项为33,那么末项是多少?
(2)一个等差数列共有13项.每一项都比它的前一项小2,并且首项为33,那么末项是多少?
分析:本题中的首项和末项相差了几个公差?是首项大还是末项大呢?
练习1
一个等差数列共有10项.每一项都比它的前一项大1,并且首项为21,那么末项是多少?
例题2
(1)一个等差数列共有10项.每一项都比它的前一项大7,并且末项为125,那么首项是多少?
(2)一个等差数列共有10项.每一项都比它的前一项小7,并且末项为125,那么首项是多少?
分析:本题中的首项和末项相差了几个公差?是首项大还是末项大呢?
练习2
一个等差数列共有12项.每一项都比它的前一项小4,并且末项为56,那么首项是多少?
例题3
(1)一个等差数列首项为7,第10项为61,那么这个等差数列的公差等于多少?
(2)一个等差数列第4项为7,第10项为61,那么这个等差数列的公差等于多少?
分析:第1项与第10项之间相差几个公差?第4项与第10项之间相差几个公差?7又与61差了几?相当于几个公差?
练习3
一个等差数列第5项为25,第16项为91,那么这个等差数列的公差等于多少?
例题4
(1)一个等差数列首项为5,末项为93,公差为8,那么这个等差数列一共有多少项?
(2)一个等差数列第3项为50,末项为130,公差为8,那么这个等差数列一共有多少项?
分析:首项和末项之间差几?相当于几个公差?公差的数量和项数是什么关系?
练习4
已知等差数列2、9、16、23、30,……那么709是其中的第几项?
例题5
一个等差数列的首项为11,第10项为200,这个等差数列的公差等于多少?第19项等于多少?305是第几项?
分析:第1项与第10项之间相差几个公差?与第19项呢?305又与200差了几?相当于几个公差?
例题6
下面的各算式是按规律排列的:
,
,
,
,
,
,
,
,
,……请写出其中所有结果为98的算式.
分析:每个算式的第一个数有什么周期规律?第二个数是什么数列?分别求出第98个数是几?
作业
一个等差数列共有10项.每一项都比它的前一项大2,并且末项为75,那么首项是几?
一个等差数列共有10项.每一项都比它的前一项小2,并且末项为75,那么首项是几?
一个等差数列首项为13,第9项为29,这个等差数列的公差为几?第20项为几?
一个等差数列的第5项为47,第15项为87,这个等差数列的公差等于几?63是第几项?
如图所示,有一堆按规律摆放的砖.从上往下数,第1层有1块砖,第2层有5块砖,第3层有9块砖,…….按照这个规律,第19层有多少块砖?
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