第二十一讲 等差数列求和

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对于一个等差数列而言，除了它的首项、公差、项数和末项很重要之外，数列中所有数之和也是非常重要的．

在进行等差数列求和时，最常用的方法就是分组法．以 为例：

把上下两行相加，注意上下对齐，不难发现每一对上下对齐的数之和都等于首项加末项 ，而且共有项数 那么多对，所以所有数之和等于：

因为我们把原来的等差数列写了2遍，所以所有数之和就等于原来等差数列之和的2倍，于是可以得到等差数列求和公式：

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例题1

计算下列各题：

_（1） _；

_（2） _．

分析：试着用公式进行一下计算，首项、末项、项数分别是多少？

练习1

计算： ．

例题2

_{计算下列各题：}
（1） _{；
（2） ．}

分析：要用等差数列求和公式，需要知道整个数列的首项、末项和项数，现在还缺哪些？试着把未知的那些算出来．

练习2

计算： ．

例题3

_{计算下列各题：}
（1） _{；
（2） ．}

分析：要用等差数列求和公式，需要知道整个数列的首项、末项和项数，现在还缺哪些？试着把未知的那些算出来．

练习3

_计算： ．

例题4

萱萱读一本课外书，第一天读了15页，以后每天都比前一天多读3页，最后一天读了36页，刚好把书读完．请问：萱萱一共读了多少天？这本课外书共有多少页？

分析：萱萱每天读书的页数构成了一个等差数列，这个等差数列的首项、末项、项数分别是多少？

练习4

暑假里，小高练习游泳，第一天他游了200米，以后每一天都比前一天多游50米，最后一天游了600米，请问：小高这些天里一共游了多少米？

例题5

小华把一些珠子放在桌子上的15个盒子中，已知盒子中的珠子数按盒子从左往右的顺序成一个等差数列，并且从左数第8个盒子中有24颗珠子，请问：这15个盒子中一共有多少颗珠子？

分析：奇数项等差数列求和公式？中间数是几？项数有几项？

例题6

小明从1开始计算若干连续自然数的和，他因为把其中一个数多加了一遍，得到了一个错误的结果2007．小刚也从1开始计算若干连续自然数的和，他因为漏加了其中的一个自然数，也得到了错误结果2007．请问被重复计算和漏掉的两个数之和是多少？

分析：等差数列求和接近2007时，这个等差数列的最后一项是几？

作业

1. 计算： ．（476）
   
   

2. 计算： ．（791）
   
   

3. 计算： ．（1550）
   
   

4. 一个等差数列的首项是21，从第二项起每一项都比前一项大2，它的前20项之和是多少？（800）
   
   

5. 馋嘴猴特别爱吃香蕉，它每周吃的香蕉数量成等差数列，已知它第5周吃了18根香蕉．馋嘴猴前9周一共吃了多少根香蕉？（162）