【332005】类比归纳专题：比例式、等积式的常见证明方法

类比归纳专题：比例式、等积式的常见证明方法

——直接法、间接法一网搜罗

类型一　三点定型法：找线段对应的三角形，利用相似证明

1．如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E，连接AG.

(1)求证：AG＝CG；

(2)求证：AG²＝GE·GF.

2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.

(1)若FD＝2FB，求的值；

(2)若AC＝2，BC＝，求S_△FDC的值．

类型二　利用等线段代换

3．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB.求证：＝.

类型三　找中间比利用等积式代换

4．如图，已知CE是Rt△ABC斜边AB上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP，垂足为G，交CE于D，求证：CE²＝PE·DE.

参考答案与解析

1．证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，∴∠F＝∠FCD.在△ADG与△CDG中，∴△ADG≌△CDG，∴∠EAG＝∠DCG，AG＝CG.

(2)∵∠EAG＝∠DCG，∠F＝∠DCG，∴∠EAG＝∠F.又∵∠AGE＝∠FGA，∴△AGE∽△FGA，∴＝，∴AG²＝GE·GF.

2．解：(1)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＋∠ABC＝∠DCB＋∠ABC，∴∠A＝∠DCB.∵E是AC的中点，∠ADC＝90°，∴ED＝EA，∴∠A＝∠EDA.∵∠BDF＝∠EDA，∴∠DCB＝∠BDF.又∵∠F＝∠F，∴△BDF∽△DCF，∴FD∶CF＝BF∶FD＝1∶2.

(2)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BDC＝∠ACB.∵∠ABC＝∠CBD，∴△BDC∽△BCA，∴BD∶CD＝BC∶AC＝∶2＝1∶2.在Rt△BAC中，由勾股定理可得AB＝5，∴＝＝，∴S_△BDC＝××2×＝3.∵△BDF∽△DCF，∴＝＝，即＝.∵S_△BDC＝3，∴S_△FDC＝4.

3．证明：∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE.∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ACB.又∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴＝.又∵AB＝AD，∴＝.

4．证明：∵∠ACB＝90°，CE⊥AB，∴∠ACE＋∠BCE＝90°，∠ACE＋∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠BCE，∴Rt△ACE∽Rt△CBE，∴＝，∴CE²＝AE·BE.又∵BG⊥AP，CE⊥AB，∴∠DEB＝∠DGP＝∠PEA＝90°.∵∠1＝∠2，∴∠P＝∠3，∴△AEP∽△DEB，∴＝，∴PE·DE＝AE·BE，∴CE²＝PE·DE.