【331868】第三章 圆周周测15（全章）

3. 圆

1．如图3－Y－1，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝30°，则∠BAD的度数为(　　)

A．30° B．50° C．60° D．70°

图3－Y－1

　　　 图3－Y－2

2．如图3－Y－2，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是(　　)

A．3 B．2.5 C．2 D．1

3．如图3－Y－3，已知直线AD是⊙O的切线，A为切点，OD交⊙O于点B，点C在⊙O上，且∠ODA＝36°，则∠ACB的度数为(　　)

A．54° B．36° C．30° D．27°

图3－Y－3

　　　 图3－Y－4

4．如图3－Y－4，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为(　　)

A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm

5 如图3－Y－5，⊙O的直径AB＝4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC＝5，则AD的长为(　　)

A. B. C. D.

图3－Y－5

　　　 图3－Y－6

6．如图3－Y－6，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，若∠ABT＝40°，则∠ATB＝________°.

7．如图3－Y－7，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为________．

8．如图3－Y－8，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB＝130°，∠CAO＝60°，OA＝6，则BC的长为________．

图3－Y－7

　　　 图3－Y－8

9．如图3－Y－9，AB是⊙O的直径，AB＝4，M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA＝45°，则弦CD的长为________．

图3－Y－9

　　　 图3－Y－10

10． 如图3－Y－10，直线AB与CD分别与⊙O相切于B，D两点，且AB⊥CD，垂足为P，连接BD.若BD＝4，则阴影部分的面积为________．

11．如图3－Y－11，已知⊙O的内接正方形ABCD，E为边CD上一点，且DE＝CE，延长BE交⊙O于点F，连接FC，若正方形的边长为1，求弦FC的长．

图3－Y－11

12．如图3－Y－12，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，E是BC的中点，连接BD，DE.

(1)若＝，求sinC；

(2)求证：DE是⊙O的切线．

图3－Y－12

13．如图3－Y－13，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OD⊥AB，与AC交于点E，与过点C的⊙O的切线交于点D.

(1)若AC＝4，BC＝2，求OE的长；

(2)试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．

图3－Y－13

14．如图3－Y－14，C，D是半圆O上的三等分点，直径AB＝4，连接AD，AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F.

(1)求∠AFE的度数；

(2)求阴影部分的面积(结果保留π和根号)．

图3－Y－14

15．如图3－Y－15，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠APB＝60°，连接PO并延长与⊙O交于点C，连接AC，BC.

(1)求证：四边形ACBP是菱形；

(2)若⊙O的半径为1，求菱形ACBP的面积．

图3－Y－15

1．C　[解析] 如图，连接BD，

∵∠ACD＝30°，∴∠ABD＝30°.

∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，

∴∠BAD＝90°－∠ABD＝60°.

故选C.

2．C　[解析] 如图，连接OA，设CD＝x，

∵OA＝OC＝5，∴OD＝5－x.

∵OC⊥AB，

∴由垂径定理，得AD＝4，

由勾股定理，得5²＝4²＋(5－x)²，

∴x＝2，∴CD＝2.

故选C.

3．D　[解析] ∵AD为⊙O的切线，

∴AD⊥OA，即∠OAD＝90°.

∵∠ODA＝36°，∴∠AOD＝54°，

∴∠ACB＝∠AOD＝27°.

故选D.

4．C　[解析] 过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C.∵OB＝13 cm，CD＝8 cm，∴OD＝5 cm.在Rt△BOD中，BD＝＝12 cm，∴AB＝2BD＝24 cm.

5．B　[解析] 如图，连接BD.

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.

∵OC∥AD，∴∠A＝∠BOC，

∴cosA＝cos∠BOC.

∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC，

∴cos∠BOC＝＝，

∴cosA＝.

又∵cosA＝，AB＝4，

∴AD＝.故选B.

6．50

7．3 　[解析] 如图，连接OB，

∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，

∴∠BOM＝＝30°，

∴OM＝OB·cos∠BOM＝6×＝3 .

故答案为：3 .

8.π　[解析] 连接OC，如图，

∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠CAO＝60°，

∴∠AOC＝60°，∴∠BOC＝130°－60°＝70°，

∴BC的长为＝π.

故答案为：π.

9.　[解析] 连接OD，过点O作OE⊥CD于点E，如图所示．

则CE＝DE.

∵AB是⊙O的直径，AB＝4，M是OA的中点，

∴OD＝OA＝2，OM＝1.

∵∠OME＝∠CMA＝45°，

∴△OEM是等腰直角三角形，

∴OE＝OM＝.

在Rt△ODE中，由勾股定理，得DE＝＝，

∴CD＝2DE＝.

故答案为：.

10．2π－4　[解析] 如图，连接OB，OD.∵直线AB与CD分别与⊙O相切于B，D两点，∴AB⊥OB，PC⊥OD.

∵AB⊥CD，∴四边形BODP是矩形．又OB＝OD，∴四边形BODP是正方形．∴⊙O的半径r＝BD＝2 .

∴S_阴影＝S_扇形BOD－S_△BOD＝×π×(2 )²－×2 ×2 ＝2π－4.

11．解：如图，连接BD，则BD为⊙O的直径．

∵CE＝×1＝，∴BE＝＝.

在Rt△ABD中，BD＝＝.

∵∠DBE＝∠FCE，∠CFE＝∠BDE，

∴△DEB∽△FEC，

∴＝，∴＝，∴FC＝.

12．解：(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，

∴∠ABD＋∠BAD＝90°.

∵∠ABC＝90°，∴∠C＋∠BAC＝90°，

∴∠C＝∠ABD.

∵＝，∴sin∠ABD＝，∴sinC＝.

(2)证明：如图，连接OD，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，

∴∠BDC＝90°.

∵E为BC的中点，∴DE＝BE＝CE，

∴∠EDB＝∠EBD.

∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.

∵∠ABC＝90°，

∴∠EDO＝∠EDB＋∠ODB＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABC＝90°，

∴OD⊥DE.

∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．

13．解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.

在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝＝＝2 ，

∴AO＝AB＝×2 ＝.

∵OD⊥AB，

∴∠AOE＝∠ACB＝90°.

又∵∠A＝∠A，

∴△AOE∽△ACB，

∴＝，∴OE＝＝＝.

(2)∠CDE＝2∠A.理由如下：

如图所示，连接OC.

∵OA＝OC，∴∠1＝∠A.

∵CD是⊙O的切线，

∴OC⊥CD，

∴∠OCD＝90°，∴∠2＋∠CDE＝90°.

∵OD⊥AB，∴∠2＋∠3＝90°.

∴∠3＝∠CDE.

∵∠3＝∠A＋∠1＝2∠A，∴∠CDE＝2∠A.

14．解：(1)连接OD，OC，

∵C，D是半圆O上的三等分点，

∴AD＝CD＝BC，

∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°，

∴∠CAB＝30°.

∵DE⊥AB，∴∠AEF＝90°，

∴∠AFE＝90°－30°＝60°.

(2)由(1)知，∠AOD＝60°.

∵OA＝OD，AB＝4，

∴△AOD是等边三角形，OA＝2.

∵DE⊥AO，∴DE＝，

∴S_阴影＝S_扇形AOD－S_△AOD＝－×2×＝π－.

15．解：(1)证明：如图，连接AO，BO，

∵PA，PB是⊙O的切线，

∴∠OAP＝∠OBP＝90°，PA＝PB，∠APO＝∠BPO＝∠APB＝30°，

∴∠AOP＝60°，

∴∠ACO＝∠OAC＝30°，

∴∠ACO＝∠APO，∴AC＝AP.

同理BC＝BP，

∴AC＝BC＝BP＝AP，

∴四边形ACBP是菱形．

(2)如图，连接AB交PC于点D，

易得AD⊥PC.

∵OA＝1，∠AOP＝60°，

∴AD＝OA＝，∴PD＝，

∴PC＝3，AB＝，

∴菱形ACBP的面积＝AB·PC＝.