【331772】第二十八章达标检测卷

第二十八章达标检测卷

一、选择题(每题3分，共30分)

1．sin 30°的值为(　　)

A． B． C． D．

2．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则sin B的值是(　　)

A． B． C． D．

3．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为(　　)

A． B． C． D．1

4．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA＝，BC＝10，则AB的长是(　　)

A．3 B．6 C．8 D．9

5．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sinE的值为(　　)

A． B． C． D．

6．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知AB＝4，BC＝5，则cos∠EFC的值为(　　)

A． B． C． D．

7．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S₁，S₂，则(　　)

A．S₁＝S₂ B．S₁＝S₂ C．S₁＝S₂ D．S₁＝S₂

8．如图，长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为(　　)

A．2 m B．2 m C．(2－2)m D．(2－2)m

9．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是12，则等腰三角形顶角的度数为(　　)

A．30° B．50° C．60°或120° D．30°或150°

10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A，D为圆心，AB的长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是(　　)

A． B． C． D．

二、填空题(每题3分，共30分)

11．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sin A＝，cos B＝，则∠C＝________．

12．计算：－|－2＋tan45°|＋(－1.41)⁰＝________.

13．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M，N两点关于对角线AC所在的直线对称，若DM＝1，则tan∠ADN＝________.

14．已知锐角∠A的正弦sin A是一元二次方程2x²－7x＋3＝0的根，则sin A＝________．

15．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为点E，DE＝6 cm，sin A＝，则菱形ABCD的面积是________cm².

16．如图，在高度是21 m的小山山顶A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD＝____________.(结果保留根号)

17．如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的点D′处，那么tan∠BAD′等于________．

18．一次函数的图象经过点(tan 45°，tan 60°)和(－cos 60°，－6tan 30°)，则此一次函数的解析式为________．

19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，AC＝6，CD＝5，则sin A等于________．

20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且＝.连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD，DE.若CF＝2，AF＝3.下列结论：①△ADF∽△AED；②FG＝2；③tan E＝；④S_△DEF＝4，其中正确的是________．

三、解答题(21题12分，23题8分，其余每题10分，共60分)

21．计算：

(1)(2cos 45°－sin 60°)＋；

(2)(－2)⁰－3tan 30°－|－2|.

22．在△ABC中，∠C＝90°.

(1)已知c＝8，∠A＝60°，求∠B，a，b；

(2)已知a＝3，∠A＝45°，求∠B，b，c.

23．如图，已知▱ABCD，点E是BC边上的一点，将边AD延长至点F，使∠AFC＝∠DEC．

(1)求证：四边形DECF是平行四边形；

(2)若AB＝13，DF＝14，tan A＝，求CF的长．

24．如图，大海中某岛C的周围25 km范围内有暗礁．一艘海轮向正东方向航行，在A处望见C在其北偏东60°的方向上，前进20 km后到达B处，测得C在其北偏东45°的方向上．如果该海轮继续向正东方向航行，有无触礁危险？请说明理由．(参考数据：≈1.41，≈1.73)

25．如图，拦水坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽BC为6 m，坝高为3.2 m，为了提高水坝的拦水能力需要将水坝加高2 m，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的1∶2变成1∶2.5(坡度是坡高与坡的水平长度的比)．求加高后的坝底HD的长为多少．

26．【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sin α＝，求sin 2α的值．

小娟是这样给小芸讲解的：

如图①，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB＝90°. 设∠BAC＝α，则sin α＝＝.易得∠BOC＝2α.设BC＝x，则AB＝3x，AC＝2x.作CD⊥AB于D，求出CD＝________(用含x的式子表示)，可求得sin 2α＝＝________.

【问题解决】已知，如图②，点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P＝β，sin β＝，求sin 2β的值．

答案

一、1.C　2.D　3.B

4．B　点拨：因为AD＝DC，所以∠DAC＝∠DCA.又因为AD∥BC，所以∠DAC＝∠ACB，所以∠DCA＝∠ACB.在Rt△ACB中，AC＝BC·cos ∠ACB＝10×＝8，则AB＝＝6.

5．A　6.D

7．D　点拨：如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥EF，交FE的延长线于点N.在Rt△ABM中，∵sin B＝，∴AM＝3×sin 50°，∴S₁＝BC·AM＝×7×3×sin 50°＝sin 50°.在Rt△DEN中，∠DEN＝180°－130°＝50°.∵sin ∠DEN＝，∴DN＝7×sin 50°，∴S₂＝EF·DN＝×3×7×sin 50°＝sin 50°，∴S₁＝S₂.故选D.

8．B　点拨：在Rt△ABD中，∵∠ABD＝60°，∴AD＝4sin 60°＝2(m)．在Rt△ACD中，∵∠ACD＝45°，∴AC＝AD＝×2＝2(m)．　

9．D　点拨：有两种情况：当顶角为锐角时，如图①，sin A＝，则∠A＝30°；当顶角为钝角时，如图②，sin (180°－∠BAC)＝，则180°－∠BAC＝30°，所以∠BAC＝150°.

10．B　点拨：如图所示，设BC＝x.在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，

∴AB＝＝x.根据题意，得AD＝BC＝x，AE＝DE＝AB＝x，过点E作EM⊥AD于点M，则AM＝AD＝x.在Rt△AEM中，cos ∠EAD＝＝＝，故选B.

二、11.60°　点拨：∵在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，sin A＝，cos B＝，∴∠A＝∠B＝60°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－60°＝60°.

12．2＋　点拨：原式＝3－|－2＋|＋1＝4－2＋＝2＋.

13.

14.

15．60　点拨：在Rt△ADE中，sin A＝＝，DE＝6 cm，∴AD＝10 cm，∴AB＝AD＝10 cm，∴S_菱形ABCD＝AB·DE＝10×6＝60(cm²)．

16．(7＋21)m

17.　点拨：由题意知BD′＝BD＝2.在Rt△ABD′中，tan ∠BAD′＝＝＝.

18．y＝2x－　点拨：tan 45°＝1，tan 60°＝，－cos 60°＝－，－6tan 30°＝－2.设y＝kx＋b的图象经过点(1，)，，则用待定系数法可求出k＝2，b＝－.

19.　点拨：∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，∴AB＝2CD＝2×5＝10，∴BC＝＝＝8，∴sin A＝＝＝.

20．①②④

三、21.解：(1)原式＝×＋

＝2－＋

＝2.

(2)原式＝1－＋－2＝－1.

22．解：(1)∵∠C＝90°，∠A＝60°，

∴∠B＝30°.

∵sin A＝，sin B＝，

∴a＝c·sin A＝8×＝12.

b＝c·sin B＝8×＝4.

(2)∵∠C＝90°，∠A＝45°，

∴∠B＝45°.∴b＝a＝3.

∴c＝＝6.

23．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AF∥BC.∴∠ADE＝∠DEC.

又∵∠AFC＝∠DEC，∴∠AFC＝∠ADE，∴DE∥FC.

∴四边形DECF是平行四边形．

(2)解：过点D作DH⊥BC于点H，如图．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BCD＝∠A，AB＝CD＝13.

又∵tan A＝＝tan ∠DCH＝，

∴DH＝12，CH＝5.

∵DF＝14，∴CE＝14.∴EH＝9.

∴DE＝＝15.∴CF＝DE＝15.

24．解：该海轮继续向正东方向航行，无触礁危险．

理由如下：

如图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，

∴∠BCD＝∠CBM＝45°.

设BD＝x km，则CD＝x km.

∵∠CAN＝60°，∴∠CAD＝30°.

在Rt△CAD中，tan ∠CAD＝tan 30°＝＝，

∴AD＝CD＝x(km)．

∵AB＝20 km，AB＋BD＝AD，

∴20＋x＝x，

解得x＝10＋10，

∴CD＝10＋10≈27.3(km)＞25 km，

∴该海轮继续向正东方向航行，无触礁危险．

25．解：由题意得BG＝3.2 m，MN＝EF＝3.2＋2＝5.2(m)，

ME＝NF＝BC＝6 m．在Rt△DEF中，＝，

∴FD＝2EF＝2×5.2＝10.4(m)．在Rt△HMN中，

＝，∴HN＝2.5MN＝13(m)．

∴HD＝HN＋NF＋FD＝13＋6＋10.4＝29.4(m)．

∴加高后的坝底HD的长为29.4 m.

26．解：；

如图，连接NO，并延长交⊙O于点Q，连接MQ，MO，过点M作MR⊥NO于点R.

在⊙O中，易知∠NMQ＝90°.

∵∠Q＝∠P＝β，

∴∠MON＝2∠Q＝2β.

在Rt△QMN中，∵sin β＝＝，

∴设MN＝3k，则NQ＝5k，

∴MQ＝＝4k，OM＝NQ＝k.

∵S_△NMQ＝MN·MQ＝NQ·MR，

∴3k·4k＝5k·MR.∴MR＝k.

在Rt△MRO中，sin 2β＝sin ∠MOR＝＝＝.