【331662】初中数学人教九下第二十八章卷（2）

单元测试卷（二）

一、选择题（每小题3分，共 24分）

1．斜坡的倾斜角为α，一辆汽车沿这个斜坡前进了500米，则它上升的高度是（　　）

A．500•sinα米 B． 米 C．500•cosα米 D． 米

2．如图，△ABC的项点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为（　　）

A． B． C． D．

3．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，设∠ABC=α，则下列结论错误的是（　　）

A．BC= B．CD=AD•tanα C．BD=ABcosα D．AC=ADcosα

4．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S₁、S₂，则（　　）

A．S₁= S₂ B．S₁= S₂ C．S₁=S₂ D．S₁= S₂

5．如图，为了测量河岸A，B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC=a，∠ABC=α，那么AB等于（　　）

A．a•sinα B．a•cosα C．a•tanα D．

6．如图，小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为9.0m，眼睛与地面的距离为1.6m，那么这棵树的高度大约是（　　）

A．5.2m B．6.8m C．9.4m D．17.2m

7．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为（　　）

A．20米 B． 米 C． 米 D． 米

8．如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（　　）（结果精确到0.1m， ≈1.73）．

A．3.5m B．3.6m C．4.3m D．5.1m

二、填空题（每小题5分，共20分）

9．如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为　 　m（结果不作近似计算）．

10．如图，AC是操场上直立的一个旗杆，从旗杆上的B点到地面C涂着红色的油漆，用测角仪测得地面上的D点到B点的仰角是∠BDC=45°，到A点的仰角是∠ADC=60°（测角仪的高度忽略不计）如果BC=3米，那么旗杆的高度AC=　 米．

11．如图，小明在测量旗杆高度的实践活动中，发现地面上有一滩积水，他刚好能从积水中看到旗杆的顶端，测得积水与旗杆底部距离CD=6米，他与积水的距离BC=1米，他的眼睛距离地面AB=1.5米，则旗杆的高度DE=　 　米．

12．如图，某山顶上建有手机信号中转塔AB，在地面D处测得塔尖的仰角∠ADC=60°，塔底的仰角∠BDC=45°，点D距塔AB的距离DC为100米，手机信号中转塔AB的高度为 米（结果保留根号）．

三、解答题（共56分）

13．（6分）在一个阳光明媚，微风习习的周末，小明和小强一起到聂耳文化广场放风筝，放了一会儿，两个人争吵起来：

小明说：“我的风筝飞得比你的高”．

小强说：“我的风筝引线比你的长，我的风筝飞得更高”．

谁的风筝飞得更高呢？于是他们将两个风筝引线的一段都固定在地面上的C处（如图），现已知小明的风筝引线（线段AC）长30米，小强的风筝引线（线段BC）长36米，在C处测得风筝A的仰角为60°，风筝B的仰角为45°，请通过计算说明谁的风筝飞得更高？

（结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.41， ≈1.73）

14．（8分）如图，一热气球在距地面90米高的P处，观测地面上点A的俯角为60°，气球以每秒9米的速度沿AB方向移动，5秒到达Q处，此时观测地面上点B的俯角为45°．（点P，Q，A，B在同一铅直面上）．

(1)若气球从Q处继续向前移动，方向不变，再过几秒位于B点正上方？

(2)求AB的长（结果保留根号）．

　

15．（6分）在数学课外实践活动中，要测量教学楼的高度AM．下面是两位同学的对话：

请你根据两位同学的对话，结合图形计算教学楼的高度AM．（参考数据：sin20°≈ ，cos20°≈ ，tan20°≈ ）

16．（6分）国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如图1，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A测得高华峰顶F点的俯角为30°，保持方向不变前进1200米到达B点后测得F点俯角为45°，如图2．请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度多少米．（结果保留整数，参考数值： =1.732， =1.414）

17．（6分）如图，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，此时小方正好站在A处，并测得∠CBD=60°，牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度（结果精确到个位）

　

18．（6分）如图，小山顶上有一信号塔AB，山坡BC的倾角为30°，现为了测量塔高AB，测量人员选择山脚C处为一测量点，测得塔顶仰角为45°，然后顺山坡向上行走100米到达E处，再测得塔顶仰角为60°，求塔高AB（结果保留整数， ≈1.73， ≈1.41）

　

19．（8分）天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度，如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB=112m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（tan36°≈0.73，结果保留整数）．

20．（10分）如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住，为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处，已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米，猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，老鼠躲藏处M（点M在DE上）距D点3米．

（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

(1)猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？

(2)要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到0.1米）？

答案解析

1．斜坡的倾斜角为α，一辆汽车沿这个斜坡前进了500米，则它上升的高度是（　　）

A．500•sinα米 B． 米 C．500•cosα米 D． 米

【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．

【专题】选择题

【分析】根据题意画出图形，再利用坡角的正弦值即可求解．

【解答】解：如图，∠A=α，AE=500．

则EF=500sinα．

故选A．

【点评】此题主要考查坡度坡角问题，正确掌握坡角的定义是解题关键．

2．如图，△ABC的项点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为（　　）

A． B． C． D．

【考点】T1：锐角三角函数的定义；KQ：勾股定理．

【专题】选择题

【分析】先构建格点三角形ADC，则AD=2，CD=4，根据勾股定理可计算出AC，然后根据余弦的定义求解．

【解答】解：在格点三角形ADC中，AD=2，CD=4，

∴AC= = =2 ，

∴cosC= = = ．

故选B．

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值．也考查了勾股定理．

3．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，设∠ABC=α，则下列结论错误的是（　　）

A．BC= B．CD=AD•tanα C．BD=ABcosα D．AC=ADcosα

【考点】T7：解直角三角形．

【专题】选择题

【分析】在直角三角形中利用锐角三角函数求角边关系即可．

【解答】解：A．在Rt△ABC中，sinα= ，

∴BC= ，故A正确；

B．∵∠B+∠BAD=90°，∠CAD+∠BAD=90°，

∴∠B=∠CAD=α，

在Rt△ADC中，tanα= ，

∴CD=AD•tanα，

故B正确；

C．在Rt△ABD中，

cosα= ，

∴BD=AB•cosα，

故C正确；

D．在Rt△ADC中，cosα= ，

∴AD=AC•cosα，

故D错误；

故选D．

【点评】本题主要考查了直角三角形角边关系，熟练掌握边角之间的关系：sinA=∠A的对边斜边=ac，cosA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．

（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）是解答此题的关键．

4．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S₁、S₂，则（　　）

A．S₁= S₂ B．S₁= S₂ C．S₁=S₂ D．S₁= S₂

【考点】T7：解直角三角形；K3：三角形的面积．

【专题】选择题

【分析】过A点作AG⊥BC于G，过D点作DH⊥EF于H．在Rt△ABG中，根据三角函数可求AG，在Rt△ABG中，根据三角函数可求DH，根据三角形面积公式可得S₁，S₂，依此即可作出选择．

【解答】解：过A点作AG⊥BC于G，过D点作DH⊥EF于H．

在Rt△ABG中，AG=AB•sin40°=5sin40°，

∠DEH=180°﹣140°=40°，

在Rt△DHE中，DH=DE•sin40°=8sin40°，

S₁=8×5sin40°÷2=20sin40°，

S₂=5×8sin40°÷2=20sin40°．

则S₁=S₂．

故选C．

【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，关键是作出高线构造直角三角形．

5．如图，为了测量河岸A，B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC=a，∠ABC=α，那么AB等于（　　）

A．a•sinα B．a•cosα C．a•tanα D．

【考点】T8：解直角三角形的应用．

【专题】选择题

【分析】根据已知角的正切值表示即可．

【解答】解：∵AC=a，∠ABC=α，在直角△ABC中tanα= ，

∴AB= ．

故选D．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．

6．如图，小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为9.0m，眼睛与地面的距离为1.6m，那么这棵树的高度大约是（　　）

A．5.2m B．6.8m C．9.4m D．17.2m

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【专题】选择题

【分析】三角尺和树构成直角三角形，根据一直角边和三角尺的度数，可将眼睛到树尖的距离求出，加上眼睛与地面的距离即为这棵树的高度．

【解答】解：由图中所示：眼睛到树尖的距离h₁=tan30°×9= ，

眼睛与地面之间的距离：h₂=1.6，

∴这棵树的高度h=h₁+h₂=3 +1.6≈6.8（m）．

故选B．

【点评】本题主要是将实际问题与解直角三角形联系起来，使求解过程变得简单．

7．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为（　　）

A．20米 B． 米 C． 米 D． 米

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【分析】根据点G是BC中点，可判断EG是△ABC的中位线，求出AB，在Rt△ABC中求出BC，在Rt△AFD中求出DF，继而可求出CD的长度．

【解答】解：∵点G是BC中点，EG∥AB，

∴EG是△ABC的中位线，

∴AB=2EG=30米，

在Rt△ABC中，∠CAB=30°，

则BC=ABtan∠BAC=30× =10 米．

如图，过点D作DF⊥AF于点F．

在Rt△AFD中，AF=BC=10 米，

则FD=AF•tanβ=10 × =10米，

综上可得：CD=AB﹣FD=30﹣10=20米．

故选：A．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．

　

8．如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（　　）（结果精确到0.1m， ≈1.73）．

A．3.5m B．3.6m C．4.3m D．5.1m

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【专题】12 ：应用题．

【分析】设CD=x，在Rt△ACD中求出AD，在Rt△CED中求出ED，再由AE=4m，可求出x的值，再由树高=CD+FD即可得出答案．

【解答】解：设CD=x，

在Rt△ACD中，CD=x，∠CAD=30°，

则tan30°=CD：AD=x：AD

故AD= x，

在Rt△CED中，CD=x，∠CED=60°，

则tan60°=CD：ED=x：ED

故ED= x，

由题意得，AD﹣ED= x﹣ x=4，

解得：x=2 ，

则这棵树的高度=2 +1.6≈5.1m．

故选D．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．

　

9．如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为　12 　m（结果不作近似计算）．

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【分析】首先过点D作DE⊥AB于点E，可得四边形BCDE是矩形，然后分别在Rt△ABC与Rt△ADE中，利用正切函数的知识，求得AB与AE的长，继而可求得答案．

【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，

则四边形BCDE是矩形，

根据题意得：∠ACB=β=60°，∠ADE=α=30°，BC=18m，

∴DE=BC=18m，CD=BE，

在Rt△ABC中，AB=BC•tan∠ACB=18×tan60°=18 （m），

在Rt△ADE中，AE=DE•tan∠ADE=18×tan30°=6 （m），

∴DC=BE=AB﹣AE=18 ﹣6 =12 （m）．

故答案为：12 ．

【点评】本题考查俯角的知识．此题难度不大，注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想的应用．

　

10．如图，AC是操场上直立的一个旗杆，从旗杆上的B点到地面C涂着红色的油漆，用测角仪测得地面上的D点到B点的仰角是∠BDC=45°，到A点的仰角是∠ADC=60°（测角仪的高度忽略不计）如果BC=3米，那么旗杆的高度AC=　3 　米．

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【专题】12 ：应用题．

【分析】在Rt△BDC中，根据∠BDC=45°，求出DC=BC=3米，在Rt△ADC中，根据∠ADC=60°即可求出AC的高度．

【解答】解：在Rt△BDC中，

∵∠BDC=45°，

∴DC=BC=3米，

在Rt△ADC中，

∵∠ADC=60°，

∴AC=DCtan60°=3× =3 （米）．

故答案为：3 ．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是根据仰角构造直角三角形，解直角三角形，难度一般．

　

11．如图，小明在测量旗杆高度的实践活动中，发现地面上有一滩积水，他刚好能从积水中看到旗杆的顶端，测得积水与旗杆底部距离CD=6米，他与积水的距离BC=1米，他的眼睛距离地面AB=1.5米，则旗杆的高度DE=　9　米．

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【分析】先根据光的反射定律得出∠ACB=∠ECD，再得出Rt△ACB∽Rt△ECD，根据相似三角形对应边成比例即可得出结论．

【解答】解：根据光的反射定律，∠ACB=∠ECD，

∵∠ACB=∠EDC，CD=6米，AB=1.5米，BC=1米，

∴Rt△ACB∽Rt△ECD，

∴ = ，即 = ，解得DE=9．

故答案为：9．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．

　

12．如图，某山顶上建有手机信号中转塔AB，在地面D处测得塔尖的仰角∠ADC=60°，塔底的仰角∠BDC=45°，点D距塔AB的距离DC为100米，手机信号中转塔AB的高度为 米（结果保留根号）．

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【分析】先在Rt△BCD中，根据∠BDC=45°，得出BC=CD=100；再在Rt△ACD中，根据正切函数的定义，求出AC=100 ，然后由AB=AC﹣BC即可求解．

【解答】解：由题意可知，△ACD与△BCD都是直角三角形．

在Rt△BCD中，∵∠BDC=45°，

∴BC=CD=100．

在Rt△ACD中，∵∠ADC=60°，CD=100，

∴tan∠ADC= ，即 ，

∴ ，

∴AB=AC﹣BC= ．

答：手机信号中转塔的高度为 米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，难度适中，解答本题的关键是借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．

　

13．在一个阳光明媚，微风习习的周末，小明和小强一起到聂耳文化广场放风筝，放了一会儿，两个人争吵起来：

小明说：“我的风筝飞得比你的高”．

小强说：“我的风筝引线比你的长，我的风筝飞得更高”．

谁的风筝飞得更高呢？于是他们将两个风筝引线的一段都固定在地面上的C处（如图），现已知小明的风筝引线（线段AC）长30米，小强的风筝引线（线段BC）长36米，在C处测得风筝A的仰角为60°，风筝B的仰角为45°，请通过计算说明谁的风筝飞得更高？

（结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.41， ≈1.73）

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【分析】在Rt△ACD和Rt△BCE中，分别解直角三角形，求得AD和BE的高度，比较即可．

【解答】解：分别过A，B作地面的垂线，垂足分别为D，E，

在Rt△ACD中，

∵sin∠ACD= ，

∴AD=AC•sin∠ACD=30×sin60°=15 ≈26.0（米）．

在Rt△BCE中，

∵sin∠BCE= ，

∴BE=BC•sin∠BCE=36×sin45°=18 ≈25.4（米）．

∵26.0＞25.4，

∴小明的风筝飞得更高．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．

　

14．如图，一热气球在距地面90米高的P处，观测地面上点A的俯角为60°，气球以每秒9米的速度沿AB方向移动，5秒到达Q处，此时观测地面上点B的俯角为45°．（点P，Q，A，B在同一铅直面上）．

(1)若气球从Q处继续向前移动，方向不变，再过几秒位于B点正上方？

(2)求AB的长（结果保留根号）．

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【分析】(1)首先过点B作BH⊥PQ，垂足为H，即可得出QH=HB=90m，进而利用平移速度得出答案；

(2)首先过点P作PE⊥AB，垂足为E，利用tan60°= = = ，进而得出AE的长，再利用PH=BE进而得出AB的长．

【解答】解：(1)过点B作BH⊥PQ，垂足为H，

∵一热气球在距地面90米高的P处，

∴HB=90m，

∵∠HQB=45°，

∴∠2=45°，

∴QH=HB=90m，

∴90÷9=10（秒），

答：气球从Q处继续向前移动，方向不变，再过10秒位于B点正上方；

(2)过点P作PE⊥AB，垂足为E，

∵一热气球在距地面90米高的P处，

∴PE=90m，

∵∠QPA=60°，

∴∠1=60°，

∴tan60°= = = ，

∴AE= =30 ，

∵气球以每秒9米的速度沿AB方向移动，5秒到达Q处，

∴PQ=5×9=45（m），

∴PH=45+90=135（m），

∴BE=135（m），

∴AB=BE﹣AE=（135﹣30 ）m，

答：AB的长为（135﹣30 ）m．

【点评】此题主要考查了仰角与俯角的应用，根据题意得出直角三角形利用已知角度得出HQ的长是解题关键．

15．在数学课外实践活动中，要测量教学楼的高度AM．下面是两位同学的对话：

请你根据两位同学的对话，结合图形计算教学楼的高度AM．（参考数据：sin20°≈ ，cos20°≈ ，tan20°≈ ）

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【分析】设AB=x，则BC=x，DB=20+x，在Rt△△ABD中利用20°的锐角三角函数值即可求出BC的长，又因为AM=AB+BM，问题得解．

【解答】解：由题意得∠ABC=90°

∵∠ACB=45°

∴∠CAB=90°﹣∠ACB=90°﹣45°=45°

∴AB=BC

设AB=x，则BC=x，DB=20+x

在Rt△ABD中

∵tan∠ADB=

∴tan20°= ，

∵tan20°≈ ，

∴ ，

x=11.25

∵BM=CE=1.5

∴AM=11.25+1.5=12.75

答：教学楼的高AM是12.75米．

方法二

解：设BD为x，则BC=x﹣20

∵∠ACB=45°，∠ABC=90°

∴∠CAB=45°

∴AB=BC=x﹣20

在Rt△ABD中

∵tan∠ADB= ，

∴tan20°= ，

∵tan20°= ，

∴ ，

x=31.25

∴BC=31.25﹣20=11.25

∵BM=CE=1.5

∴AM=11.25+1.5=12.75．

答：教学楼的高AM约为12.75米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，构造仰角所在的直角三角形，利用两个直角三角形的公共边求解是常用的解直角三角形的方法．

　

16．国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如图1，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A测得高华峰顶F点的俯角为30°，保持方向不变前进1200米到达B点后测得F点俯角为45°，如图2．请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度多少米．（结果保留整数，参考数值： =1.732， =1.414）

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【分析】设CF=x，在Rt△ACF和Rt△BCF中，分别用CF表示AC、BC的长度，然后根据AC﹣BC=1200，求得x的值，用h﹣x即可求得最高海拔．

【解答】解：设CF=x，

在Rt△ACF和Rt△BCF中，

∵∠BAF=30°，∠CBF=45°，

∴BC=CF=x，

=tan30°，

即AC= x，

∵AC﹣BC=1200米，

∴ x﹣x=1200，

解得：x=600（ +1），

则DF=h﹣x=2001﹣600（ +1）≈362（米）．

答：钓鱼岛的最高海拔高度约362米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据俯角构造直角三角形求出AC、BC的长度，难度一般．

　

17．如图，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，此时小方正好站在A处，并测得∠CBD=60°，牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度（结果精确到个位）

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【分析】易得DE=AB，利用BC长和60°的正弦值即可求得CD长，加上DE长就是此时风筝离地面的高度．

【解答】解：依题意得，∠CDB=∠BAE=∠ABD=∠AED=90°，

∴四边形ABDE是矩形，（1分）

∴DE=AB=1.5，（2分）

在Rt△BCD中， ，（3分）

又∵BC=20，∠CBD=60°，

∴CD=BC•sin60°=20× =10 ，（4分）

∴CE=10 +1.5≈19米，（5分）

答：此时风筝离地面的高度约为19米．

【点评】考查仰角的定义，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是仰角问题常用的方法．

　

18．如图，小山顶上有一信号塔AB，山坡BC的倾角为30°，现为了测量塔高AB，测量人员选择山脚C处为一测量点，测得塔顶仰角为45°，然后顺山坡向上行走100米到达E处，再测得塔顶仰角为60°，求塔高AB（结果保留整数， ≈1.73， ≈1.41）

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【专题】12 ：应用题．

【分析】先判断△ACE为等腰三角形，在Rt△AEF中表示出EF、AF，在Rt△BEF中求出BF，根据AB=AF﹣BF即可得出答案．

【解答】解：依题意可得：∠AEB=∠EAB=30°，∠ACE=15°，

又∵∠AEB=∠ACE+∠CAE

∴∠CAE=15°，

即△ACE为等腰三角形，

∴AE=CE=100m，

在Rt△AEF中，∠AEF=60°，

∴EF=AEcos60°=50m，AF=AEsin60°=50 m，

在Rt△BEF中，∠BEF=30°，

∴BF=EFtan30°=50× = m，

∴AB=AF﹣BF=50 ﹣ = ≈58（米）．

答：塔高AB大约为58米．

【点评】本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度，难度一般．

　

19．天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度，如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB=112m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（tan36°≈0.73，结果保留整数）．

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【分析】首先根据题意得：∠CAD=45°，∠CBD=54°，AB=112m，在Rt△ACD中，易求得BD=AD﹣AB=CD﹣112；在Rt△BCD中，可得BD=CD•tan36°，即可得CD•tan36°=CD﹣112，继而求得答案．

【解答】解：根据题意得：∠CAD=45°，∠CBD=54°，AB=112m，

∵在Rt△ACD中，∠ACD=∠CAD=45°，

∴AD=CD，

∵AD=AB+BD，

∴BD=AD﹣AB=CD﹣112（m），

∵在Rt△BCD中，tan∠BCD= ，∠BCD=90°﹣∠CBD=36°，

∴tan36°= ，

∴BD=CD•tan36°，

∴CD•tan36°=CD﹣112，

∴CD= ≈ ≈415（m）．

答：天塔的高度CD约为：415m．

【点评】本题考查了仰角的知识．此题难度适中，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．

　

20．如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住，为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处，已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米，猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，老鼠躲藏处M（点M在DE上）距D点3米．

（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

(1)猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？

(2)要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到0.1米）？

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【专题】12 ：应用题．

【分析】(1)根据猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，可知∠DFG=90°﹣53°=37°，在△DFG中，已知DF的长度，求出DG的长度，若DG＞3，则看不见老鼠，若DG＜3，则可以看见老鼠；

(2)根据(1)求出的DG长度，求出AG的长度，然后在Rt△CAG中，根据 =sin∠ACG=sin37°，即可求出CG的长度．

【解答】解：(1)能看到；

由题意得，∠DFG=90°﹣53°=37°，

则 =tan∠DFG，

∵DF=4米，

∴DG=4×tan37°≈4×0.75=3（米），

故能看到这只老鼠；

(2)由(1)得，AG=AD+DG=2.7+3=5.7（米），

又 =sin∠ACG=sin37°，

则CG= ≈ =9.5（米）．

答：要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞约9.5米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形并解直角三角形，利用三角函数求解相关线段，难度一般．