【331460】2019年河南省中考数学模试卷（一）含答案解析

2019年河南省中考数学模试卷（一）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．﹣3的绝对值是（　　）

A．﹣3 B．3 C． D．

2．中国的陆地面积和领水面积共约9970000km²，9970000这个数用科学记数法可表示为（　　）

A．9.97×10⁵ B．99.7×10⁵ C．9.97×10⁶ D．0.997×10⁷

3．如图是由棱长为1的正方体搭成的某几何体三视图，则图中棱长为1的正方体的个数是（　　）

A．9 B．8 C．7 D．6

4．一次函数y=﹣3x+b和y=kx+1的图象如图所示，其交点为P（3，4），则不等式kx+1≥﹣3x+b的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A． B． C． D．

5．某射击队要从甲、乙、丙、丁四人中选拔一名选手参赛，在选拔赛中，每人射击10次，然后从他们的成绩平均数（环）及方差两个因素进行分析，甲、乙、丙的成绩分析如表所示，丁的成绩如图所示．

	甲	乙	丙
平均数	7.9	7.9	8.0
方差	3.29	0.49	1.8

根据以上图表信息，参赛选手应选（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是 上一点，且 = ，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（　　）

A．45° B．50° C．55° D．60°

7．如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB= ，∠C=120°，则点B′的坐标为（　　）

A．（3， ） B．（3， ） C．（ ， ） D．（ ， ）

8．如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则S_△DEF：S_△AOB的值为（　　）

A．1：3 B．1：5 C．1：6 D．1：11

9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x²经过平移得到抛物线y=ax²+bx，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 ，则a、b的值分别为（　　）

A． ， B． ，﹣ C． ，﹣ D．﹣ ，

10．在平面直角坐标系中，正方形A₁B₁C₁D₁、D₁ E₁E₂B₂、A₂B₂ C₂D₂、D₂E₃E4B₃…按如图所示的方式放置，其中点B₁在y轴上，点C₁、E₁、E₂、C₂、E₃、E₄、C₃…在x轴上，已知正方形A₁B₁C₁D₁的边长为l，∠B₁C₁O=60°，B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃…，则正方形A₂₀₁₇B₂₀₁₇C₂₀₁₇ D₂₀₁₇的边长是（　　）

A．（ ）²⁰¹⁶ B．（ ）²⁰¹⁷ C．（ ）²⁰¹⁶ D．（ ）²⁰¹⁷

　

二、填空题（本小题共5小题，每小题3分，共15分）

11．计算： +（π﹣2）⁰+（﹣1）²⁰¹⁷=　 　．

12．已知关于x的一元二次方程ax²﹣（a+2）x+2=0有两个不相等的正整数根时，整数a的值是　 　．

13．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y= 上，第二象限的点B在反比例函数y= 上，且OA⊥OB，tanA= ，则k的值为　 　．

14．如图，扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为4，点C在 上，CD⊥OA，垂足为点D，当△OCD的面积最大时，图中阴影部分的面积为　 　．

15．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，点E为射线BC上一动点，将△ABE沿AE折叠，得到△AB′E．若B′恰好落在射线CD上，则BE的长为　 　．

　

三、解答题（本题共8小题，共75分．）

16．先化简，再求值： ÷ ，其中m是方程x²+2x﹣3=0的根．

17．在信息快速发展的社会，“信息消费”已成为人们生活的重要组成部分．某高校组织课外小组在郑州市的一个社区随机抽取部分家庭，调查每月用于信息消费的金额，根据数据整理成如图所示的不完整统计表和统计图．已知A，B两组户数频数直方图的高度比为1：5．

月信息消费额分组统计表

组别	消费额（元）
A	10≤x＜100
B	100≤x＜200
C	20≤x＜300
D	300≤x＜400
E	x≥400

请结合图表中相关数据解答下列问题：

（1）这次接受调查的有　 　户；

（2）在扇形统计图中，“E”所对应的圆心角的度数是　 　；

（3）请你补全频数直方图；

（4）若该社区有2000户住户，请估计月信息消费额不少于200元的户数是多少？

18．如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD、PO．

（1）求证：△CDP≌△POB；

（2）填空：

①若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为　 　；

②连接OD，当∠PBA的度数为　 　时，四边形BPDO是菱形．

19．如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．

（1）求斜坡CD的高度DE；

（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）

20．同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元．

（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？

（2）根据同庆中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？

21．根据下列要求，解答相关问题：

（1）请补全以下求不等式﹣2x²﹣4x≥0的解集的过程

①构造函数，画出图象：

根据不等式特征构造二次函数y=﹣2x²﹣4x；抛物线的对称轴x=﹣1，开口向下，顶点（﹣1，2）与x轴的交点是（0，0），（﹣2，0），用三点法画出二次函数y=﹣2x²﹣4x的图象如图1所示；

②数形结合，求得界点：

当y=0时，求得方程﹣2x²﹣4x=0的解为　 　；

③借助图象，写出解集：

由图象可得不等式﹣2x²﹣4x≥0的解集为　 　．

（2）利用（1）中求不等式解集的方法步骤，求不等式x²﹣2x+1＜4的解集．

①构造函数，画出图象；

②数形结合，求得界点；

③借助图象，写出解集．

（3）参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于x的不等式ax²+bx+c＞0（a＞0）的解集．

22．（1）问题发现：

（1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、AB上的点，且CE=BF，连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC，请判断：FG与CE的数量关系是　 　，位置关系是　 　．

（2）拓展探究：

如图2，若点E、F分别是CB、BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请出判断判断予以证明；

（3）类比延伸：

如图3，若点E、F分别是BC、AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．

23．如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C，且A（4，0），C（0，﹣3），对称轴是直线x=1．

（1）求二次函数的解析式；

（2）若M是第四象限抛物线上一动点，且横坐标为m，设四边形OCMA的面积为s．请写出s与m之间的函数关系式，并求出当m为何值时，四边形OCMA的面积最大；

（3）设点B是x轴上的点，P是抛物线上的点，是否存在点P，使得以A，B、C，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

　

参考答案与试题解析

　

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．﹣3的绝对值是（　　）

A．﹣3 B．3 C． D．

【考点】15：绝对值．

【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．

【解答】解：|﹣3|=3．

故﹣3的绝对值是3．

故选：B．

2．中国的陆地面积和领水面积共约9970000km²，9970000这个数用科学记数法可表示为（　　）

A．9.97×10⁵ B．99.7×10⁵ C．9.97×10⁶ D．0.997×10⁷

【考点】科学计数法．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：9970000=9.97×10⁶，

故选：C．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

　　

3．如图是由棱长为1的正方体搭成的某几何体三视图，则图中棱长为1的正方体的个数是（　　）

A．9 B．8 C．7 D．6

【考点】U3：由三视图判断几何体．

【分析】易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图和左视图可得第二层正方体的个数，相加即可．

【解答】解：由俯视图易得最底层有6个正方体，第二层有2个正方体，那么共有6+2=8个正方体组成，

故选B．

　

4．一次函数y=﹣3x+b和y=kx+1的图象如图所示，其交点为P（3，4），则不等式kx+1≥﹣3x+b的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A． B． C． D．

【考点】FD：一次函数与一元一次不等式；C4：在数轴上表示不等式的解集．

【分析】观察图象，直线y=kx+1落在直线y=﹣3x+b上方的部分对应的x的取值范围即为所求．

【解答】解：∵一次函数y=﹣3x+b和y=kx+1的图象交点为P（3，4），

∴当x≥3时，kx+1≥﹣3x+b，

∴不等式kx+1≥﹣3x+b的解集为x≥3，

在数轴上表示为：

故选B．

　

5．某射击队要从甲、乙、丙、丁四人中选拔一名选手参赛，在选拔赛中，每人射击10次，然后从他们的成绩平均数（环）及方差两个因素进行分析，甲、乙、丙的成绩分析如表所示，丁的成绩如图所示．

	甲	乙	丙
平均数	7.9	7.9	8.0
方差	3.29	0.49	1.8

根据以上图表信息，参赛选手应选（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【考点】W7：方差；W1：算术平均数．

【分析】根据方差的计算公式求出丁的成绩的方差，根据方差的性质解答即可．

【解答】解：由图可知丁射击10次的成绩为：8、8、9、7、8、8、9、7、8、8，

则丁的成绩的平均数为： ×（8+8+9+7+8+8+9+7+8+8）=8，

丁的成绩的方差为： ×[（8﹣8）²+（8﹣8）²+（8﹣9）²+（8﹣7）²+（8﹣8）²+（8﹣8）²+（8﹣9）²+（8﹣7）²+（8﹣8）²+（8﹣8）²]=0.4，

∵丁的成绩的方差最小，

∴丁的成绩最稳定，

∴参赛选手应选丁，

故选：D．

　

6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是 上一点，且 = ，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（　　）

A．45° B．50° C．55° D．60°

【考点】M6：圆内接四边形的性质；M4：圆心角、弧、弦的关系．

【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．

【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，

∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．

∵ = ，∠BAC=25°，

∴∠DCE=∠BAC=25°，

∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．

故选B．

　

7．如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB= ，∠C=120°，则点B′的坐标为（　　）

A．（3， ） B．（3， ） C．（ ， ） D．（ ， ）

【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转；L8：菱形的性质．

【分析】首先根据菱形的性质，即可求得∠AOB的度数，又由将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，可求得∠B′OA的度数，然后在Rt△B′OF中，利用三角函数即可求得OF与B′F的长，则可得点B′的坐标．

【解答】解：过点B作BE⊥OA于E，过点B′作B′F⊥OA于F，

∴∠BE0=∠B′FO=90°，

∵四边形OABC是菱形，

∴OA∥BC，∠AOB= ∠AOC，

∴∠AOC+∠C=180°，

∵∠C=120°，

∴∠AOC=60°，

∴∠AOB=30°，

∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，

∴∠BOB′=75°，OB′=OB=2 ，

∴∠B′OF=45°，

在Rt△B′OF中，

OF=OB′•cos45°=2 × = ，

∴B′F= ，

∴点B′的坐标为：（ ，﹣ ）．

故选D．

　

8．如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则S_△DEF：S_△AOB的值为（　　）

A．1：3 B．1：5 C．1：6 D．1：11

【考点】S9：相似三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．

【分析】根据平行四边形的性质可知BO=DO，又因为E为OD的中点，所以DE：BE=1：3，根据相似三角形的性质可求出S_△DEF：S_△BAE．然后根据 = ，即可得到结论．

【解答】解：∵O为平行四边形ABCD对角线的交点，

∴DO=BO，

又∵E为OD的中点，

∴DE= DB，

∴DE：EB=1：3，

又∵AB∥DC，

∴△DFE∽△BAE，

∴ =（ ）²= ，

∴S_△DEF= S_△BAE，

∵ = ，

∴S_△AOB= S_△BAE，

∴S_△DEF：S_△AOB= =1：6，

故选C．

　

9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x²经过平移得到抛物线y=ax²+bx，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 ，则a、b的值分别为（　　）

A． ， B． ，﹣ C． ，﹣ D．﹣ ，

【考点】H6：二次函数图象与几何变换．

【分析】确定出抛物线y=ax²+bx的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，从而判断出阴影部分的面积等于三角形的面积，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．

【解答】解：如图 ，

∵y=ax²+bx= x²+bx= （x+ ）²﹣ ，

∴平移后抛物线的顶点坐标为（﹣ ，﹣ ），对称轴为直线x=﹣ ，

当x=﹣ 时，y= ，

∴平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积，

×（ + ）×（﹣ ）= ．

解得b=﹣ ，

故选：C．

　

10．在平面直角坐标系中，正方形A₁B₁C₁D₁、D₁ E₁E₂B₂、A₂B₂ C₂D₂、D₂E₃E4B₃…按如图所示的方式放置，其中点B₁在y轴上，点C₁、E₁、E₂、C₂、E₃、E₄、C₃…在x轴上，已知正方形A₁B₁C₁D₁的边长为l，∠B₁C₁O=60°，B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃…，则正方形A₂₀₁₇B₂₀₁₇C₂₀₁₇ D₂₀₁₇的边长是（　　）

A．（ ）²⁰¹⁶ B．（ ）²⁰¹⁷ C．（ ）²⁰¹⁶ D．（ ）²⁰¹⁷

【考点】D2：规律型：点的坐标．

【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．

【解答】解：∵正方形A₁B₁C₁D₁的边长为1，∠B₁C₁O=60°，B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃，

∴D₁E₁=B₂E₂，D₂E₃=B₃E₄，∠D₁C₁E₁=∠C₂B₂E₂=∠C₃B₃E₄=30°，

∴D₁E₁=C₁D₁sin30°= ，

则B₂C₂= = =（ ）¹，

同理可得：B₃C₃= =（ ）²，

故正方形A_nB_nC_nD_n的边长是：（ ）^n﹣1，

则正方形A₂₀₁₇B₂₀₁₇C₂₀₁₇D₂₀₁₇的边长为：（ ）²⁰¹⁶，

故选：C．

　

二、填空题（本小题共5小题，每小题3分，共15分）

11．计算： +（π﹣2）⁰+（﹣1）²⁰¹⁷=　﹣2　．

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂．

【分析】直接利用零指数幂的性质以及立方根的定义分别化简进而求出答案．

【解答】原式=﹣2+1﹣1

=﹣2．

故答案为：﹣2．

　

12．已知关于x的一元二次方程ax²﹣（a+2）x+2=0有两个不相等的正整数根时，整数a的值是　a=1　．

【考点】AA：根的判别式．

【分析】由一元二次方程的定义可得出a≠0，再利用根的判别式△=b²﹣4ac，套入数据即可得出△=（a﹣2）²≥0，可得出a≠2且a≠0，设方程的两个根分别为x₁、x₂，利用根与系数的关系可得出x₁•x₂= ，再根据x₁、x₂均为正整数，a为整数，即可得出结论．

【解答】解：∵方程ax²﹣（a+2）x+2=0是关于x的一元二次方程，

∴a≠0．

∵△=（a+2）²﹣4a×2=（a﹣2）²≥0，

∴当a=2时，方程有两个相等的实数根，

当a≠2且a≠0时，方程有两个不相等的实数根．

∵方程有两个不相等的正整数根，

∴a≠2且a≠0．

设方程的两个根分别为x₁、x₂，

∴x₁•x₂= ，

∵x₁、x₂均为正整数，

∴ 为正整数，

∵a为整数，a≠2且a≠0，

∴a=1，

故答案为：a=1．

　

13．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y= 上，第二象限的点B在反比例函数y= 上，且OA⊥OB，tanA= ，则k的值为　﹣ 　．

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．

【分析】作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，易证△OBD∽△AOC，则面积的比等于相似比的平方，即tanA的平方，然后根据反比例函数中比例系数k的几何意义即可求解．

【解答】解：作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D．

则∠BDO=∠ACO=90°，

则∠BOD+∠OBD=90°，

∵OA⊥OB，

∴∠BOD+∠AOC=90°，

∴∠BOD=∠AOC，

∴△OBD∽△AOC，

∴ =（ ）²=（tanA）²= ，

又∵S_△AOC= ×2=1，

∴S_△OBD= ，

∴k=﹣ ．

故答案为：﹣ ．

　

14．如图，扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为4，点C在 上，CD⊥OA，垂足为点D，当△OCD的面积最大时，图中阴影部分的面积为　2π﹣4　．

【考点】MO：扇形面积的计算；H7：二次函数的最值；KQ：勾股定理．

【分析】由OC=4，点C在 上，CD⊥OA，求得DC= = ，运用S_△OCD= OD• ，求得OD=2 时△OCD的面积最大，运用阴影部分的面积=扇形AOC的面积﹣△OCD的面积求解．

【解答】解：∵OC=4，点C在 上，CD⊥OA，

∴DC= =

∴S_△OCD= OD•

∴ = OD²•（16﹣OD²）=﹣ OD⁴+4OD²=﹣ （OD²﹣8）²+16

∴当OD²=8，即OD=2 时△OCD的面积最大，

∴DC= = =2 ，

∴∠COA=45°，

∴阴影部分的面积=扇形AOC的面积﹣△OCD的面积= ﹣ ×2 ×2 =2π﹣4，

故答案为：2π﹣4．

　

15．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，点E为射线BC上一动点，将△ABE沿AE折叠，得到△AB′E．若B′恰好落在射线CD上，则BE的长为　 或15　．

【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．

【分析】如图1，根据折叠的性质得到AB′=AB=5，B′E=BE，根据勾股定理得到BE²=（3﹣BE）²+1²，

于是得到BE= ，如图2，根据折叠的性质得到AB′=AB=5，求得AB=BF=5，根据勾股定理得到CF=4根据相似三角形的性质列方程得到CE=12，即可得到结论．

【解答】解：如图1，∵将△ABE沿AE折叠，得到△AB′E，

∴AB′=AB=5，B′E=BE，∴CE=3﹣BE，∵AD=3，∴DB′=4，∴B′C=1，∵B′E²=CE²+B′C²，

∴BE²=（3﹣BE）²+1²，

∴BE= ，

如图2，∵将△ABE沿AE折叠，得到△AB′E，

∴AB′=AB=5，

∵CD∥AB，

∴∠1=∠3，

∵∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∵AE垂直平分BB′，

∴AB=BF=5，

∴CF=4，

∵CF∥AB，

∴△CEF∽△ABE，

∴ ，

即 = ，

∴CE=12，∴BE=15，

综上所述：BE的长为： 或15，

故答案为： 或15．

　

三、解答题（本题共8小题，共75分．）

16．先化简，再求值： ÷ ，其中m是方程x²+2x﹣3=0的根．

【考点】6D：分式的化简求值；A8：解一元二次方程﹣因式分解法．

【分析】首先根据运算顺序和分式的化简方法，化简 ÷ ，然后应用因数分解法解一元二次方程，求出m的值是多少；最后把求出的m的值代入化简后的算式，求出算式 ÷ 的值是多少即可．

【解答】解： ÷

=

=

∵x²+2x﹣3=0，

∴（x+3）（x﹣1）=0，

解得x₁=﹣3，x₂=1，

∵m是方程x²+2x﹣3=0的根，

∴m₁=﹣3，m₂=1，

∵m+3≠0，

∴m≠﹣3，

∴m=1，

所以原式=

=

=

　

17．在信息快速发展的社会，“信息消费”已成为人们生活的重要组成部分．某高校组织课外小组在郑州市的一个社区随机抽取部分家庭，调查每月用于信息消费的金额，根据数据整理成如图所示的不完整统计表和统计图．已知A，B两组户数频数直方图的高度比为1：5．

月信息消费额分组统计表

组别	消费额（元）
A	10≤x＜100
B	100≤x＜200
C	20≤x＜300
D	300≤x＜400
E	x≥400

请结合图表中相关数据解答下列问题：

（1）这次接受调查的有　50　户；

（2）在扇形统计图中，“E”所对应的圆心角的度数是　28.8°　；

（3）请你补全频数直方图；

（4）若该社区有2000户住户，请估计月信息消费额不少于200元的户数是多少？

【考点】VB：扇形统计图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；V8：频数（率）分布直方图．

【分析】（1）根据A、B两组户数直方图的高度比为1：5，即两组的频数的比是1：5，据此即可求得A组的频数；利用A和B两组的频数的和除以两组所占的百分比即可求得总数；

（2）用“E”组百分比乘以360°可得；

（3）利用总数乘以百分比即可求得C组的频数，从而补全统计图；

（4）利用总数2000乘以C、D、E的百分比即可．

【解答】解：（1）A组的频数是：10× =2；

∴这次接受调查的有（2+10）÷（1﹣8%﹣28%﹣40%）=50（户），

故答案为：50；

（2）“E”所对应的圆心角的度数是360°×8%=28.8°，

故答案为：28.8°；

（3）C组的频数是：50×40%=20，如图，

（4）2000×（28%+8%+40%）=1520（户），

答：估计月信息消费额不少于200元的约有1520户．

　

18．如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD、PO．

（1）求证：△CDP≌△POB；

（2）填空：

①若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为　4　；

②连接OD，当∠PBA的度数为　60°　时，四边形BPDO是菱形．

【考点】L9：菱形的判定；KD：全等三角形的判定与性质．

【分析】（1）根据中位线的性质得到DP∥AB，DP= AB，由SAS可证△CDP≌△POB；

（2）①当四边形AOPD的AO边上的高等于半径时有最大面积，依此即可求解；

②根据有一组对应边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形BPDO是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，以及等边三角形的判定和性质即可求解．

【解答】（1）证明：∵PC=PB，D是AC的中点，

∴DP∥AB，

∴DP= AB，∠CPD=∠PBO，

∵BO= AB，

∴DP=BO，

在△CDP与△POB中，

∴△CDP≌△POB（SAS）；

（2）解：①当四边形AOPD的AO边上的高等于半径时有最大面积，

（4÷2）×（4÷2）

=2×2

=4；

②如图：

∵DP∥AB，DP=BO，

∴四边形BPDO是平行四边形，

∵四边形BPDO是菱形，

∴PB=BO，

∵PO=BO，

∴PB=BO=PO，

∴△PBO是等边三角形，

∴∠PBA的度数为60°．

故答案为：4；60°．

　

19．如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．

（1）求斜坡CD的高度DE；

（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．

【分析】（1）在直角三角形DCE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长即可；

（2）过D作DF垂直于AB，交AB于点F，可得出三角形BDF为等腰直角三角形，设BF=DF=x，表示出BC，BD，DC，由题意得到三角形BCD为直角三角形，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出AB的长．

【解答】解：（1）在Rt△DCE中，DC=4米，∠DCE=30°，∠DEC=90°，

∴DE= DC=2米；

（2）过D作DF⊥AB，交AB于点F，

∵∠BFD=90°，∠BDF=45°，

∴∠BFD=45°，即△BFD为等腰直角三角形，

设BF=DF=x米，

∵四边形DEAF为矩形，

∴AF=DE=2米，即AB=（x+2）米，

在Rt△ABC中，∠ABC=30°，

∴BC= = = = 米，

BD= BF= x米，DC=4米，

∵∠DCE=30°，∠ACB=60°，

∴∠DCB=90°，

在Rt△BCD中，根据勾股定理得：2x²= +16，

解得：x=4+4 ，

则AB=（6+4 ）米．

　

20．同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元．

（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？

（2）根据同庆中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？

【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用．

【分析】（1）根据费用可得等量关系为：购买3个足球和2个篮球共需310元；购买2个足球和5个篮球共需500元，把相关数值代入可得一个足球、一个篮球的单价；

（2）不等关系为：购买足球和篮球的总费用不超过5720元，列式求得解集后得到相应整数解，从而求解．

【解答】（1）解：设购买一个足球需要x元，购买一个篮球需要y元，

根据题意得 ，

解得 ，

∴购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80元．

（2）方法一：

解：设购买a个篮球，则购买（96﹣a）个足球．

80a+50（96﹣a）≤5720，

a≤30 ．

∵a为正整数，

∴a最多可以购买30个篮球．

∴这所学校最多可以购买30个篮球．

方法二：

解：设购买n个足球，则购买（96﹣n）个篮球．

50n+80（96﹣n）≤5720，

n≥65

∵n为整数，

∴n最少是66

96﹣66=30个．

∴这所学校最多可以购买30个篮球．

　

21．根据下列要求，解答相关问题：

（1）请补全以下求不等式﹣2x²﹣4x≥0的解集的过程

①构造函数，画出图象：

根据不等式特征构造二次函数y=﹣2x²﹣4x；抛物线的对称轴x=﹣1，开口向下，顶点（﹣1，2）与x轴的交点是（0，0），（﹣2，0），用三点法画出二次函数y=﹣2x²﹣4x的图象如图1所示；

②数形结合，求得界点：

当y=0时，求得方程﹣2x²﹣4x=0的解为　x₁=0，x₂=﹣2　；

③借助图象，写出解集：

由图象可得不等式﹣2x²﹣4x≥0的解集为　﹣2≤x≤0　．

（2）利用（1）中求不等式解集的方法步骤，求不等式x²﹣2x+1＜4的解集．

①构造函数，画出图象；

②数形结合，求得界点；

③借助图象，写出解集．

（3）参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于x的不等式ax²+bx+c＞0（a＞0）的解集．

【考点】HC：二次函数与不等式（组）；H2：二次函数的图象；H3：二次函数的性质．

【分析】（1）直接解方程进而利用函数图象得出不等式﹣2x²﹣4x≥0的解集；

（2）首先画出y=x²﹣2x+1的函数图象，再利用当y=4时，方程x²﹣2x+1=4的解，得出不等式x²﹣2x+1＜4的解集；

（3）利用ax²+bx+c=0的解集，利用函数图象分析得出答案．

【解答】解：（1）②方程﹣2x²﹣4x=0的解为：x₁=0，x₂=﹣2；

③不等式﹣2x²﹣4x≥0的解集为：﹣2≤x≤0；

（2）①构造函数，画出图象，如图2，：

构造函数y=x²﹣2x+1，抛物线的对称轴x=1，

且开口向上，顶点坐标（1，0），

关于对称轴x=1对称的一对点（0，1），（2，1），

用三点法画出图象如图2所示：

；

②数形结合，求得界点：

当y=4时，方程x²﹣2x+1=4的解为：x₁=﹣1，x₂=3；

③借助图象，写出解集：

由图2知，不等式x²﹣2x+1＜4的解集是：﹣1＜x＜3；

（3）解：①当b²﹣4ac＞0时，关于x的不等式ax²+bx+c＞0（a＞0）

的解集是x＞ 或x＜ ．

当b²﹣4ac=0时，关于x的不等式ax²+bx+c＞0（a＞0）的解集是：x≠﹣ ；

当b²﹣4ac＜0时，关于x的不等式ax²+bx+c＞0（a＞0）的解集是全体实数．

　

22．（1）问题发现：

（1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、AB上的点，且CE=BF，连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC，请判断：FG与CE的数量关系是　FG=CE　，位置关系是　FG∥CE　．

（2）拓展探究：

如图2，若点E、F分别是CB、BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请出判断判断予以证明；

（3）类比延伸：

如图3，若点E、F分别是BC、AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．

【考点】LO：四边形综合题．

【分析】（1）构造辅助线后证明△HGE≌△CED，利用对应边相等求证四边形GHBF是矩形后，利用等量代换即可求出FG=CE，FG∥CE；

（2）构造辅助线后证明△HGE≌△CED，利用对应边相等求证四边形GHBF是矩形后，利用等量代换即可求出FG=CE，FG∥CE；

（3）证明△CBF≌△DCE，即可证明四边形CEGF是平行四边形，即可得出结论．

【解答】解：（1）FG=CE，FG∥CE；理由如下：

过点G作GH⊥CB的延长线于点H，如图1所示：

则GH∥BF，∠GHE=90°，

∵EG⊥DE，

∴∠GEH+∠DEC=90°，

∵∠GEH+∠HGE=90°，

∴∠DEC=∠HGE，

在△HGE与△CED中， ，

∴△HGE≌△CED（AAS），

∴GH=CE，HE=CD，

∵CE=BF，

∴GH=BF，

∵GH∥BF，

∴四边形GHBF是矩形，

∴GF=BH，FG∥CH

∴FG∥CE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴CD=BC，

∴HE=BC，

∴HE+EB=BC+EB，

∴BH=EC，

∴FG=EC；

故答案为：FG=CE，FG∥CE；

（2）FG=CE，FG∥CE仍然成立；理由如下：

过点G作GH⊥CB的延长线于点H，如图2所示：

∵EG⊥DE，

∴∠GEH+∠DEC=90°，

∵∠GEH+∠HGE=90°，

∴∠DEC=∠HGE，

在△HGE与△CED中， ，

∴△HGE≌△CED（AAS），

∴GH=CE，HE=CD，

∵CE=BF，∴GH=BF，

∵GH∥BF，

∴四边形GHBF是矩形，

∴GF=BH，FG∥CH

∴FG∥CE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴CD=BC，

∴HE=BC，

∴HE+EB=BC+EB，

∴BH=EC，

∴FG=EC；

（3）FG=CE，FG∥CE仍然成立．理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠FBC=∠ECD=90°，

在△CBF与△DCE中， ，

∴△CBF≌△DCE（SAS），

∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，

∵EG=DE，∴CF=EG，

∵DE⊥EG

∴∠DEC+∠CEG=90°

∵∠CDE+∠DEC=90°

∴∠CDE=∠CEG，

∴∠BCF=∠CEG，

∴CF∥EG，

∴四边形CEGF平行四边形，

∴FG∥CE，FG=CE．

　

23．如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C，且A（4，0），C（0，﹣3），对称轴是直线x=1．

（1）求二次函数的解析式；

（2）若M是第四象限抛物线上一动点，且横坐标为m，设四边形OCMA的面积为s．请写出s与m之间的函数关系式，并求出当m为何值时，四边形OCMA的面积最大；

（3）设点B是x轴上的点，P是抛物线上的点，是否存在点P，使得以A，B、C，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）利用抛物线的对称性可得到点D的总表，然后将A、C、D的坐标代入抛物线的解析式可求得a、b、c的值，从而可得到二次函数的解析式；

（2）设M（m， x²﹣ x﹣3），|y_M|=﹣ m²+ m+3，由S=S_△ACM+S_△OAM可得到S与m的函数关系式，然后利用配方法可求得S的最大值；

（3）当AB为平行四边形的边时，则AB∥PC，则点P的纵坐标为﹣3，将y=﹣3代入抛物线的解析式可求得点P的横坐标；当AB为对角线时，AB与CP互相平分，则点P的纵坐标为3，把y=3代入抛物线的解析式可求得点P的横坐标．

【解答】解：（1）∵A（4，0），对称轴是直线x=l，

∴D（﹣2，0）．

又∵C（0，﹣3）

∴

解得．a= ，b=﹣ ，c=﹣3，

∴二次函数解析式为：y= x²﹣ x﹣3．

（2）如图1所示：

设M（m， x²﹣ x﹣3），|y_M|=﹣ m²+ m+3，

∵S=S_△ACM+S_△OAM

∴S= ×OC×m+ ×OA×|y_M|= ×3×m+ ×4×（﹣ m²+ m+3）=﹣ m²+3m+6=﹣ （m﹣2）²+9，

当m=2时，s最大是9．

（3）当AB为平行四边形的边时，则AB∥PC，

∴PC∥x轴．

∴点P的纵坐标为﹣3．

将y=﹣3代入得： x²﹣ x﹣3=﹣3，解得：x=0或x=2．

∴点P的坐标为（2，﹣3）．

当AB为对角线时．

∵ABCP为平行四边形，

∴AB与CP互相平分，

∴点P的纵坐标为3．

把y=3代入得： x²﹣ x﹣3=3，整理得：x²﹣2x﹣16=0，解得：x=1+ 或x=1﹣ ．

综上所述，存在点P（2，﹣3）或P（1+ ，3）或P（1﹣ ，3）使得以A，B、C，P四点为顶点的四边形为平行四边形．