【331227】22．2　相似三角形的判定(第1课时)

22．2　相似三角形的判定

第1课时　相似三角形的判定(1)

【学习目标】

1．学会用平行于三角形一边的直线判定三角形相似．

2．经历定理的证明过程，培养分析问题、解决问题的能力．

【学习重点】

三角形相似的判定定理及应用．

【学习难点】

三角形相似的判定定理及应用．

旧知回顾：什么叫相似多边形？满足什么条件的两个三角形相似？

解：对应角相等，对应边的比相等，这两个多边形叫做相似多边形．对于△ABC和△A′B′C′，当∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′且＝＝，则△ABC∽△A′B′C′.

基础知识梳理

阅读教材P₇₆页的内容，回答以下问题：

1．什么是相似三角形？它有何性质？

解：形状相同的两个三角形叫相似三角形．相似三角形对应角相等，对应边成比例．

2．△ABC与△A′B′C′相似比记为k₁，△A′B′C′与△ABC相似比记为k₂，k₁与k₂有何关系？当k₁＝k₂时，这两个三角形全等吗？

解：k₁＝，当k₁＝k₂＝1时，两个三角形全等．

例：如图所示，若△ABC∽△ADE，且∠ADE＝∠B，则下列比例式正确的是(　D　)

A.＝　B.＝　C.＝　D.＝

解：由对应关系可知D正确．

变式：已知有两个三角形相似，一个边长分别为2，3，4，另一个对应边长分别为x，y，12，则x，y的值分别为6，9或8，16或18，24．

解：分三类情况：＝＝或＝＝或＝＝，可得x、y的值分别为6，9或8，16或18，24.

阅读教材P₇₇页的内容，回答以下问题：

在△在ABC中，D为AB上任意一点，过D作BC的平行线DE，交AC于点E，那么△ADE与△ABC相似吗？

【分析】要判定两个三角形相似，我们可以从相似的定义来判定，即对应边成比例、对应角相等．

解：过D作AC的平行线交BC于F点．∵DE∥BC，DF∥AC，∴＝，＝.∵四边形DFCE是平行四边形，∴DE＝FC，即＝.∴＝＝，又∵∠A＝∠A，∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED，∴△ADE∽△ABC.

通过上面的证明，你能得到什么结论？

【归纳结论】平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似．

例1：如图，在△ABC中，DE∥BC，若＝，DE＝3cm，求BC的长．

解：∵AD∶DB＝1∶3，∴AD∶AB＝1∶4.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD∶AB＝DE∶BC.∵DE＝3cm，∴BC＝12cm.

例2：如图所示，已知在▱ABCD中，E为AB延长线上的一点，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.∴△BEF∽△CDF∽△AED.

例3：在△ABC中，DE∥BC，M为DE中点，CM交AB于N，若AD∶AB＝2∶3，求ND∶BD.

解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝.∵M为DE的中点，∴＝，∵DM∥BC，∴△NDM∽△NBC，∴＝＝，∴ND∶DB＝1∶2.

基础知识训练

1．如图所示，已知点E、F分别是△ABC的边AC，AB的中点，BE与CF相交于点G，FG＝2，则CF的长是(　D　)

A．4 B．4.5 C．5 D．6

2．如图，AB⊥AE，DC⊥AE，EF⊥AE，垂足分别为A、C、E，求证：＝.

证明：∵AB⊥AE，DC⊥AE，EF⊥AE，∴AB∥CD∥EF，∴△ABD∽△FED，∴＝.又∵DC∥FE，∴＝.∴＝.

3．如图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝4cm，BD＝8cm，DE＝5cm，试求线段BF的长．

解：∵DE∥BC，∴＝，∴＝，∴BC＝15.∵DE∥BC，DF∥EC，∴四边形DECF是平行四边形，∴DE＝FC＝5，∴BF＝15－5＝10cm.

本课内容反思

1．收获：________________________________________________________________________

2．困惑：________________________________________________________________________