【331278】24.4 第2课时 圆锥的侧面积和全面积

第2课时 圆锥的侧面积和全面积

一、课前预习 (5分钟训练)

1.圆锥的底面积为25π，母线长为13 cm，这个圆锥的底面圆的半径为________ cm，高为________ cm，侧面积为________ cm².

2 .圆锥的轴截面是一个边长为10 cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积为________ cm²，锥角为_________，高为________ cm.

3.已知Rt△ABC的两直角边AC=5 cm，BC=12 cm，则以BC为轴旋转所得的圆锥的侧面积为_________ cm²，这个圆锥的侧面展开图的弧长为_________ cm，面积为_________ cm².

4.如图24-4-2-1，已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的全面积为__________.

图24-4-2-1 图24-4-2-2

二、课中强化(10分钟训练)

1.粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是4 m，母线长为3 m，为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为( )

A.6 m² B.6π m² C.12 m² D.12π m²

2.若圆锥的侧面展开图是一个半径为a的半圆，则圆锥的高为( )

A.a B. a C.3a D. a

3.用一张半径为9 cm、圆心角为120°的扇形纸片，做成一个圆锥形冰淇淋的侧面(不计接缝)，那么这个圆锥形冰淇淋的底面半径是_________ cm.

4.如图24-4-2-2，已知圆锥的母线长OA=8，地面圆的半径r=2.若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周 后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是______(结果保留根式).

5.一个圆锥的高为3 cm，侧面展开图是半圆，

求：(1)圆锥母线与底面半径的比；(2)锥角的大小；(3)圆锥的全面积.

三、课后巩固(30分钟训练)

1.已知圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为4 cm，则它的侧面积为_________ cm²(结果保留π).

2.如图24-4-2-3，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6 m的正三角形ABC，母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是___________ m.(结果不取近似数)

图24-4-2-3 图24-4-2-4

3.若圆锥的底面直径为6 cm，母线长为5 cm，则它的侧面积为___________ .(结果保留π)

4.在Rt△ABC中，已知AB=6，AC=8，∠A=90°.如果把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S₁；把Rt△ABC绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S₂.那么S₁∶S₂等于( )

A.2∶3 B.3∶4 C.4∶9 D.5∶12

5.如图24-4-2-4是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为____________ cm²(不考虑接缝等因素，计算结果用π表示).

6.制作一个底面直径为30 cm、高为40 cm的圆柱形无盖铁桶,所需铁皮至少为( )

A.1 425π cm² B.1 650π cm² C.2 100π cm² D.2 625π cm²

7.在半径为27 m的广场中央，点O的上空安装了一 个照明光源S，S射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB的顶角为120°(如图24-4-2-5)，求光源离地面的垂直高度SO.(精确到0.1 m； =1.414， =1.732， =2.236，以上数据供参考)

参考答案

一、课前预习 (5分钟训练)

1.圆锥的底面积为25π，母线长为13 cm，这个圆锥的底面圆的半径为________ cm，高为________ cm，侧面积为________ cm².

思路解析：圆的面积为S= πr²，所以r= =5(cm)；圆锥的高为 =12(cm)；侧面积为 ×10π·13=65π(cm²).

答案：5 12 65π

2 .圆锥的轴截面是一个边长为10 cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积为________ cm²，锥角为_________，高为________ cm.

思路解析：S_侧面积= ×10π×10=50π(cm²)；锥角为正三角形的内角，高为正三角形的高.

答案：50π 60° 5

3.已知Rt△ABC的两直角边AC=5 cm，BC=12 cm，则以BC为轴旋转所得的圆锥的侧面积为__________ cm²，这个圆锥的侧面展开图的弧长为__________ cm，面积为___________ cm².

思路解析：以BC为轴旋转所得圆锥的底面半径为5 cm，高为12 cm，母线长为13 cm.利用公式计算.

答案：65π 10π 65π

4.如图24-4-2-1，已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的全面积为__________.

图24-4-2-1

思路解析：圆锥的全面积为侧面积加底面积.

答案：16π

二、课中强化(10分钟训练)

1.粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是4 m，母线长为3 m，为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为( )

A.6 m² B.6π m² C.12 m² D.12π m²

思路解析：侧面积= 底面直径·π·母线长= ×4×π×3=6π(m²).

答案：B

2.若圆锥的侧面展开图是一个半径为a的半圆，则圆锥的高为( )

A.a B. a C.3a D. a

思路解析：展开图的弧长是aπ，故底面半径是 ，这时母线长、底面半径和高构成直角三角形.

答案：D

3.用一张半径为9 cm、圆心角为120°的扇形纸片，做成一个圆锥形冰淇淋的侧面(不计接缝)，那么这个圆锥形冰淇淋的底面半径是_________ cm.

思路解析：扇形的弧长为 =6π(cm)，所以圆锥底面圆的半径为 =3(cm).

答案：3

4.如图24-4-2-2，已知圆锥的母线长OA=8，地面圆的半径r=2.若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周 后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是_________(结果保留根式).

图24-4-2-2

思路解析：如图，圆锥的侧面展开图是扇形，它的圆心角是 =90°，连结AB，则△AOB是等腰直角三角形，OA=OB=8，所以AB= =8 .

答案：8

5.一个圆锥的高为3 cm，侧面展开图是半圆，

求：(1)圆锥母线与底面半径的比；

(2)锥角的大小；

(3)圆锥的全面积.

思路分析：圆锥的母线在侧面展开图中是扇形的半径，底面周长是展开扇形的弧长.锥角是轴截面的等腰三角形的顶角.知道圆锥母线和底面半径，就可由扇形面积公式求侧面积，底面积加侧面积就得圆锥全面积.

解：如图，AO为圆锥的高，经过AO的截面是等腰△ABC，则AB为圆锥母线l，BO为底面半径r.

(1)因圆锥的侧面展开图是半圆，所以2πr=πl，则 =2.

(2)因 =2，则有AB=2OB，∠BAO=30°，所以∠BAC=60°，即锥角为60°.

(3)因圆锥的母线l，高h和底面半径r构成直角三角形，所以l²=h²＋r²；又l=2r，h=3 cm，则r=3 cm，l=6 cm.

所以S_表=S_侧＋S_底=πrl＋πr²=3·6π＋3²π=27π(cm²).

三、课后巩固(30分钟训练)

1.已知圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为4 cm，则它的侧面积为_________ cm²(结果保留π).

思路解析：S_圆锥侧= ×2×π× ×4×4=8π.

答案：8π

2.如图24-4-2-3，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6 m的正三角形ABC，母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是___________ m.(结果不取近似数)

图24-4-2-3

思路解析：小猫经过的最短路程是圆锥侧面展开图中的PB(如图).

则扇形的圆心角为 =180°,因为P在AC的中点上，

所以∠PAB=90° .在Rt△PAB中，PA=3，AB=6，

则PB= =3 .

答案：3

3.若圆锥的底面直径为6 cm，母线长为5 cm，则它的侧面积为___________ .(结果保留π)

思路解析：已知底面直径和 母线长直接代入圆锥侧面积公式即可.

设圆锥底面半径为r，母线为l，则r=3 cm，l=5 cm，∴S_侧=πr·l=π×3×5=15π(cm²).

答案：15π cm²

4.在Rt△ABC中，已知AB=6，AC=8，∠A=90°.如果把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S₁；把Rt△ABC绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S₂.那么S₁∶S₂等于( )

A.2∶3 B.3∶4 C.4∶9 D.5∶12

思路解析：根据题意分别计算出S₁和S₂即得答案.在求S₁和S₂时，应分清圆锥侧面展开图(扇形)的半径是斜边BC，弧长是以AB(或AC)为半径的圆的周长.

∵∠ A=90°，AC=8，AB=6，∴BC= = =10.

当以AC为轴时，AB为底面半径，S₁=S_侧＋S_底=πAB·BC＋πAB²=π×6×10＋π×36=96π.

当以AB为轴时，AC为底面半径，S₂=S_侧＋S_底=80π＋π×8²=144π.

∴S₁∶S₂=96π∶144π=2∶3，故选A.

答案:A

5.如图24-4-2-4是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为____________ cm²(不考虑接缝等因素，计算结果用π表示).

图24-4-2-4

思路解析：由题意知：S_侧面积= ×30π×20=300π(cm²).

答案：300π

6.制作一个底面直径为30 cm、高为40 cm的圆柱形无盖铁桶,所需铁皮至少为( )

A.1 425π cm² B.1 650π cm² C.2 100π cm² D.2 625π cm²

思路解析:由题意知S_铁皮=底面积+侧面积=π×15²+40×2π×15=15×95π=1 425π.

答案:A

7.在半径为27 m的广场中央，点O的上空安装了一 个照明光源S，S射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB的顶角为120°(如图24-4-2-5)，求光源离地面的垂直高度SO.(精确到0.1 m； =1.414， =1.732， =2.236，以上数据供参考)

图24-4-2-5

思路分析：利用勾股定理和30°的角所对的直角边等于斜边的一半解题.

解：在△SAB中，SA=SB，∠ASB=120°.

∵SO⊥AB，∴O为AB的中点，且∠ASO=∠BSO=60°，∠SAO=30°.

在Rt△ASO中，OA=27 m，设SO=x，则AS=2x，∴27²+x²=(2x)².∴x=9 ≈15.6(m).

答：光源离地面的垂直高度SO为15.6 m.