8．4　因式分解

1．提公因式法

1．理解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系，会用提取公因式的方法分解因式；(重点)

2．会确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式．(难点)

一、情境导入

学校有一个长方形植物园，面积为(6ab＋3ab²)平方米，如果长为3ab米，那么宽是多少米？

二、合作探究

探究点一：因式分解的概念

下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　)

①x²－y²－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x³＋x＝x(x²＋1)；③(x－y)²＝x²－2xy＋y²；④x²－9y²＝(x＋3y)(x－3y)．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

解析：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解；③是整式的乘法，故③不是因式分解；④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解．故选B.

方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．

探究点二：公因式的确定

多项式6ab²c－3a²bc＋12a²b²中各项的公因式是(　　)

A．abc B．3a²b² C．3a²b²c D．3ab

解析：系数的最大公约数是3，相同字母的最低指数次幂是ab，∴公因式为3ab.故选D.

方法总结：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：(1)定系数，即确定各项系数的最大公约数；(2)定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；(3)定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂．

探究点三：提公因式法分解因式

【类型一】 直接用提公因式法进行因式分解

因式分解：

(1)8a³b²＋12ab³c；

(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；

(3)(a＋b)(a－b)－a－b.

解析：将原式各项提取公因式即可得到结果．

解：(1)原式＝4ab²(2a²＋3bc)；

(2)原式＝(2a－3)(b＋c)；

(3)原式＝(a＋b)(a－b－1)．

方法总结：提公因式法的基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式．

【类型二】 利用因式分解简化运算

计算：

(1)39×37－13×91；

(2)29×20.15＋72×20.15＋13×20.15－20.15×14.

解析：(1)首先提取公因式13，进而求出即可；(2)首先提取公因式20.15，进而求出即可．

解：(1)39×37－13×91＝3×13×37－13×91＝13×(3×37－91)＝13×20＝260；

(2)29×20.15＋72×20.15＋13×20.15－20.15×14＝20.15×(29＋72＋13－14)＝2015.

方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．

【类型三】 利用因式分解整体代换求值

已知a＋b＝7，ab＝4，求a²b＋ab²的值．

解析：原式提取公因式变形后，将a＋b与ab的值代入计算即可求出值．

解：∵a＋b＝7，ab＝4，∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.

方法总结：求代数式的值，有时要将已知条件看作一个整体代入求值．

三、板书设计

1．因式分解的概念

2．公因式

3．提公因式法分解因式

ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．

本节中要给学生留出自主学习的空间，然后引入稍有层次的例题，让学生进一步感受因式分解与整式的乘法是逆过程，从而可用整式的乘法检查错误．本节课在对例题的探究上，提倡引导学生合作交流，使学生发挥群体的力量，以此提高教学效果