7．1　不等式及其基本性质

1．理解并掌握不等式的概念及性质；(重点)

2．会用不等式表示简单问题的数量关系．(重点、难点)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

一、情境导入

有一群猴子，一天结伴去摘桃子．分桃子时，如果每只猴子分3个，那么还剩下59个；如果每只猴子分5个，那么最后一只猴子分得的桃子不够5个．你知道有几只猴子，几个桃子吗？

二、合作探究

探究点一：不等式

【类型一】 不等式的概念

下列各式中：①－3＜0；②4x＋3y＞0；③x＝3；④x²＋xy＋y²；⑤x≠5；⑥x＋2＞y＋3.不等式的个数有(　　)

A．5个 B．4个 C．3个 D．1个

解析：③是等式，④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式．不等式有①②⑤⑥，共4个．故选B.

方法总结：本题考查不等式的判定，一般用不等号表示不相等关系的式子是不等式．解答此类题的关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠.如果式子中没有这些不等号，就不是不等式．

【类型二】 用不等式表示数量关系

根据下列数量关系，列出不等式：

(1)x与2的和是负数；

(2)m与1的相反数的和是非负数；

(3)a与－2的差不大于它的3倍；

(4)a，b两数的平方和不小于它们的积的两倍．

解析：(1)负数即小于0；(2)非负数即大于或等于0；(3)不大于就是小于或等于；(4)不小于就是大于或等于．

解：(1)x＋2<0；

(2)m－1≥0；

(3)a＋2≤3a；

(4)a²＋b²≥2ab.

【类型三】 实际问题中的不等式

亮亮准备用自己节省的零花钱买一台学生平板电脑．他现在已存有55元，计划从现在起以后每个月节省20元，知道他至少需要350元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是(　　)

A．20x－55≥350 B．20x＋55≥350

C．20x－55≤350 D．20x＋55≤350

解析：此题中的不等关系：现在已存有55元，计划从现在起以后每个月节省20元，知道他至少需要350元．列出不等式20x＋55≥350.故选B.

方法总结：用不等式表示实际问题中数量关系时，要找准题干中表示不等关系的两个量，并用代数式表示；正确理解题中的关键词，如大于、不大于、小于、不小于、不足、不超过、至少、至多等的含义．

探究点二：不等式的性质

【类型一】 比较代数式的大小

根据不等式的性质，下列变形正确的是(　　)

A．由a>b得ac²>bc²

B．由ac²>bc²得a>b

C．由－a>2得a<2

D．由2x＋1＞x得x＜－1

解析：A中a>b，c＝0时，ac²＝bc²，故A错误；B中不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的符号不改变，故B正确；C中不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，右边也应乘以－2，故C错误；D中不等式的两边都加或减同一个整式，不等号的方向不变，故D错误．故选B.

方法总结：本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．

【类型二】 把不等式化成“x>a”或“x<a”的形式

把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：

(1)2x－2<0；

(2)3x－9<6x；

(3)x－2＞x－5.

解析：根据不等式的基本性质，把含未知数项放到不等式的左边，常数项放到不等式的右边，然后把系数化为1.

解：(1)根据不等式的基本性质1，两边都加上2得2x<2.根据不等式的基本性质2，两边除以2得x<1；

(2)根据不等式的基本性质1，两边都加上9－6x得－3x<9.根据不等式的基本性质3，两边都除以－3得x＞－3；

(3)根据不等式的基本性质1，两边都加上2－x得－x>－3.根据不等式的基本性质3，两边都除以－1得x<3.

方法总结：运用不等式的基本性质进行变形，把不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式时，可以先在不等式两边同时加上一个适当的代数式，使含未知数的项在不等式的左边，常数项在不等式的右边(也可通过移项实现)．然后把未知数的系数化为1.

【类型三】 判断不等式变形是否正确

如果不等式(a＋1)x＜a＋1可变形为x＞1，那么a必须满足________．

解析：根据不等式的基本性质可判断，a＋1为负数，即a＋1＜0，可得a＜－1.

方法总结：只有当不等式的两边都乘(或除以)一个负数时，不等号的方向才改变．

三、板书设计

1．不等式

2．不等式的性质

性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；

性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；

性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变；

性质4：如果a>b，那么b<a；

性质5：如果a>b，b>c，那么a>c.

本节课通过实际问题引入不等式，并用不等式表示数量关系．要注意常用的关键词的含义：负数、非负数、正数、大于、不大于、小于、不小于、不足、不超过，这些关键词中如果含有“不”“非”等文字，一般应包括“＝”，这也是学生容易出错的地方