【327759】2022年山东省淄博市中考数学试卷

2022年山东省淄博市中考数学试卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）若实数a的相反数是﹣1，则a+1等于（　　）

A．2

B．﹣2

C．0

D．

【答案】A

【考点】实数的性质；相反数

【分析】根据相反数的定义求出a的值，代入代数式求值即可．

【解答】解：∵实数a的相反数是﹣1，∴a＝1，∴a+1＝2．故选：A．

【难度】1

2．（5分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【考点】中心对称图形；轴对称图形

【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．

【解答】解：A．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．

【难度】1

3．（5分）经过折叠可以围成正方体，且在正方体侧面上的字恰好环绕组成一个四字成语的图形是（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【考点】专题：正方体相对两个面上的文字

【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，一线隔一个，“Z”字两端是对面，即可解答．

【解答】解：A、因为图中两个空白面不是相对面，所以图中的四个字不能恰好环绕组成一个四字成语，故A不符合题意；B、因为图中两个空白面不是相对面，所以图中的四个字不能恰好环绕组成一个四字成语，故B不符合题意；C、因为金与题是相对面，榜与名是相对面，所以正方体侧面上的字恰好环绕组成一个四字成语金榜题名，故C符合题意；D、因为图中两个空白面不是相对面，所以图中的四个字不能恰好环绕组成一个四字成语，故D不符合题意；故选：C．

【难度】1

4．（5分）小红在“养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书大赛活动中，随机调查了本校初二年级20名同学，在近5个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：

则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（　　）

A．13，15

B．14，15

C．13，18

D．15，15

【答案】D

【考点】众数；中位数

【分析】利用中位数，众数的定义即可解决问题．

【解答】解：中位数为第10个和第11个的平均数 15，众数为15．故选：D．

【难度】1

5．（5分）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（　　）

A．23°

B．25°

C．27°

D．30°

【答案】B

【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质

【分析】先根据平行线的性质，由AB∥CD得到∠DFE＝∠BAE＝50°，根据等腰三角形的性质得出∠C＝∠E，再根据三角形外角性质计算∠E的度数．

【解答】解：∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠BAE＝50°，∵CF＝EF，∴∠C＝∠E，∵∠DFE＝∠C+∠E，∴∠C ∠DFE 50°＝25°，故选：B．

【难度】1

6．（5分）下列分数中，和π最接近的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【考点】有理数大小比较

【分析】把分数化小数，用分数的分子除以分母即得小数商；据此先分别把每个选项中的分数化成小数，进而比较得解．

【解答】解： 3.1416； 3.1408； 3.14； 3.1428，因为π≈3.1416，所以和π最接近的是 ．故选：A．

【难度】1

7．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°．分别以点A和C为圆心，以大于 AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若CD＝3，则BD的长为（　　）

A．4

B．5

C．6

D．7

【答案】C

【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形

【分析】连接AD，如图，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠B＝∠C＝30°，再由作法得DE垂直平分AC，所以DA＝DC＝3，所以∠DAC＝∠C＝30°，从而得到∠BAD＝90°，然后根据含30度角的直角三角形三边的关系求BD的长．

【解答】解：连接AD，如图，∵AB＝AC，∠A＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，由作法得DE垂直平分AC，∴DA＝DC＝3，∴∠DAC＝∠C＝30°，∴∠BAD＝120°﹣30°＝90°，在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∴BD＝2AD＝6．故选：C．

【难度】3

8．（5分）计算（﹣2a³b）²﹣3a⁶b²的结果是（　　）

A．﹣7a⁶b²

B．﹣5a⁶b²

C．a⁶b²

D．7a⁶b²

【答案】C

【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项

【分析】先根据积的乘方法则计算，再合并同类项．

【解答】解：原式＝4a⁶b²﹣3a⁶b²＝a⁶b²，故选：C．

【难度】1

9．（5分）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%．设第二次采购单价为x元，则下列方程中正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【考点】由实际问题抽象出分式方程

【分析】根据题目中的数据和两次购买的数量相同，可以列出相应的分式方程．

【解答】解：由题意可得， ，故选：D．

【难度】3

10．（5分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为（　　）

A．16

B．6

C．12

D．30

【答案】B

【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质

【分析】连接AC交BD于O，如图，根据菱形的性质得到AD∥BC，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥BD，BO＝OD，OC＝AO，再利用∠DEF＝∠DFE得到DF＝DE＝2，证明∠BCF＝∠BFC得到BF＝BC＝4，则BD＝6，所以OB＝OD＝3，接着利用勾股定理计算出OC，从而得到AC＝2 ，然后根据菱形的面积公式计算它的面积．

【解答】解：连接AC交BD于O，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥BD，BO＝OD，OC＝AO，∵E为AD边的中点，∴DE＝2，∵∠DEF＝∠DFE，∴DF＝DE＝2，∵DE∥BC，∴∠DEF＝∠BCF，∵∠DFE＝∠BFC，∴∠BCF＝∠BFC，∴BF＝BC＝4，∴BD＝BF+DF＝4+2＝6，∴OB＝OD＝3，在Rt△BOC中，OC ，∴AC＝2OC＝2 ，∴菱形ABCD的面积 AC•BD 2 6＝6 ．故选：B．

【难度】5

11．（5分）若二次函数y＝ax²+2的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式n²﹣4m²﹣4n+9的最小值为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

【答案】A

【考点】二次函数图象上点的坐标特征；因式分解﹣运用公式法

【分析】利用非负数的性质，利用配方法解决问题即可．

【解答】解：∵二次函数y＝ax²+2的图象经过P（1，3），∴3＝a+2，∴a＝1，∴y＝x²+2，∵Q（m，n）在y＝x²+2上，∴n＝m²+2，∴n²﹣4m²﹣4n+9＝（m²+2）²﹣4m²﹣4（m²+2）+9＝m⁴﹣4m²+5＝（m²﹣2）²+1，∵（m²﹣2）²≥0，∴n²﹣4m²﹣4n+9的最小值为1．故选：A．

【难度】3

12．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（　　）

A．6

B．7

C．8

D．9

【答案】B

【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形的内切圆与内心

【分析】如图，连接AI，BI，CI，DI，过点I作IT⊥AC于点T．证明△IDT≌△IDE（AAS），推出DE＝DT，IT＝IE，证明Rt△BEI≌Rt△CTI（HL），推出BE＝CT，设BE＝CT＝x，根据DE＝DT，可得10﹣x＝x﹣4，求出x即可解决问题．

【解答】解：如图，连接AI，BI，CI，DI，过点I作IT⊥AC于点T． ∵I是△ABD的内心，∴∠BAI＝∠CAI，∵AB＝AC，AI＝AI，∴△BAI≌△CAI（SAS），∴IB＝IC，∵∠ITD＝∠IED＝90°，∠IDT＝∠IDE，DI＝DI，∴△IDT≌△IDE（AAS），∴DE＝DT，IT＝IE，∵∠BEI＝∠CTI＝90°，∴Rt△BEI≌Rt△CTI（HL），∴BE＝CT，设BE＝CT＝x，∵DE＝DT，∴10﹣x＝x﹣4，∴x＝7，∴BE＝7．故选：B．

【难度】5

二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分。

13．（4分）要使根式 有意义，则a的取值范围是 　 　．

【答案】a≥5．

【考点】二次根式有意义的条件

【分析】由a﹣5≥0，即可求解．

【解答】解：∵a﹣5≥0，∴a≥5，故答案为：a≥5．

【难度】1

14．（4分）分解因式：x³﹣9x＝　 　．

【答案】x（x+3）（x﹣3）

【考点】提公因式法与公式法的综合运用

【分析】根据提取公因式、平方差公式，可分解因式．

【解答】解：原式＝x（x²﹣9）＝x（x+3）（x﹣3），故答案为：x（x+3）（x﹣3）．

【难度】1

15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A₁B₁C₁的位置．若顶点A（﹣3，4）的对应点是A₁（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B₁的坐标是 　 　．

【答案】（1，3）．

【考点】坐标与图形变化﹣平移

【分析】根据点A（﹣3，4）的对应点是A₁（2，5），可得点A向右平移5个单位，向上平移1个单位至A₁，进而可以解决问题．

【解答】解：∵点A（﹣3，4）的对应点是A₁（2，5），∴点B（﹣4，2）的对应点B₁的坐标是（1，3）．故答案为：（1，3）．

【难度】3

16．（4分）计算： 　 　．

【答案】﹣2

【考点】分式的加减法

【分析】先变形，再根据分式的加减法则求出即可．

【解答】解：原式 ＝﹣2，故答案为：﹣2．

【难度】3

17．（4分）如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D₁，再将D₁绕点B逆时针旋转90°得点D₂，再将D₂绕点C逆时针旋转90°得点D₃，再将D₃绕点D逆时针旋转90°得点D₄，再将D₄绕点A逆时针旋转90°得点D₅……以此类推，则点D₂₀₂₂的坐标是 　 　．

【答案】D₂₀₂₂（﹣2023，2022）．

【考点】规律型：点的坐标；坐标与图形变化﹣旋转

【分析】如图，过点D₁作D₁E⊥y轴于E，过点D₂作D₂F⊥x轴于F，过点D₃作D₃G⊥y轴于G，过点D₄作D₄H⊥x轴于H，过点D₅K作D₅K⊥y轴于K，可得D₁（1，2），D₂（﹣3，2），D₃（﹣3，﹣4），D₄（5，﹣4），D₅（5，6），D₆（﹣7，6），……，观察发现：每四个点一个循环，D_4n（4n+1，﹣4n），D_4n+1（4n+1，4n+2），D_4n+2（﹣4n﹣3，4n+2），D_4n+3（﹣4n﹣3，﹣4n﹣4），由2022＝505×4+2，推出D₂₀₂₂（﹣2023，2022）．

【解答】解：如图，过点D₁作D₁E⊥y轴于E，过点D₂作D₂F⊥x轴于F，过点D₃作D₃G⊥y轴于G，过点D₄作D₄H⊥x轴于H，过点D₅K作D₅K⊥y轴于K， ∵正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，D（1，0），∴OA＝OB＝OC＝OD＝1，AB＝BC＝CD＝AD ，∠BAO＝∠CBO＝∠DCO＝∠ADO＝45°，∴A（0，1），B（﹣1，0），C（0，﹣1），∵将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D₁，∴∠D₁AE＝45°，∠AED₁＝90°，AD₁＝AD ，∴AE＝AD₁•cos∠D₁AE cos45°＝1，D₁E＝AD₁•sin∠D₁AE sin45°＝1，∴OE＝OA+AE＝1+1＝2，BD₁＝AB+BD₁ 2 ，∴D₁（1，2），∵再将D₁绕点B逆时针旋转90°得点D₂，∴∠D₂BF＝45°，∠D₂FB＝90°，BD₂＝BD₁＝2 ，∴D₂F＝BD₂sin∠D₂BF＝2 sin45°＝2，BF＝BD₂cos∠D₂BF＝2 cos45°＝2，∴OF＝OB+BF＝1+2＝3，∴D₂（﹣3，2），再将D₂绕点C逆时针旋转90°得点D₃，再将D₃绕点D逆时针旋转90°得点D₄，再将D₄绕点A逆时针旋转90°得点D₅……同理可得：D₃（﹣3，﹣4），D₄（5，﹣4），D₅（5，6），D₆（﹣7，6），……，观察发现：每四个点一个循环，D_4n（4n+1，﹣4n），D_4n+1（4n+1，4n+2），D_4n+2（﹣4n﹣3，4n+2），D_4n+3（﹣4n﹣3，﹣4n﹣4），∵2022＝4×505+2，∴D₂₀₂₂（﹣2023，2022）；故答案为：（﹣2023，2022）．

【难度】5

三、解答题：本大题共7个小题，共70分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（8分）解方程组： ．

【答案】 ．

【考点】解二元一次方程组

【分析】利用加减消元法或代入消元法解二元一次方程组即可．

【解答】解：整理方程组得 ，①×2﹣②得﹣7y＝﹣7，y＝1，把y＝1代入①得x﹣2＝3，解得x＝5，∴方程组的解为 ．

【难度】1

19．（8分）如图，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BE＝CD，连接BD，CE．求证：BD＝CE．

【答案】证明见解析．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质

【分析】根据等腰三角形的性质得出∠EBC＝∠DCB，进而利用SAS证明△EBC与△DCB全等，再利用全等三角形的性质解答即可．

【解答】证明：∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC＝∠DCB，在△EBC与△DCB中， ，∴△EBC≌△DCB（SAS），∴BD＝CE．

【难度】3

20．（10分）如图，直线y＝kx+b与双曲线y 相交于A（1，2），B两点，与x轴相交于点C（4，0）．

（1）分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；

（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；

（3）直接写出当x＞0时，关于x的不等式kx+b 的解集．

【答案】（1）直线AC的解析式为y x ，双曲线的解析式为y （x＞0）；（2） ；（3）1＜x＜3．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题

【分析】（1）将已知点坐标代入函数表达式，即可求解；

（2）直线AC：y x 与双曲线：y （x＞0）相交于A（1，2），B两点，联立方程组，求出点B的坐标为（3， ），根据组合法（即基本图形面积的和差）即可以解决问题；

（3）根据图象即可解决问题．

【解答】解：（1）将A（1，2），C（4，0）代入y＝kx+b，得 ，解得： ，∴直线AC的解析式为y x ，将A（1，2）代入y （x＞0），得m＝2，∴双曲线的解析式为y （x＞0）；（2）∵直线AC的解析式为y x 与y轴交点D，∴点D的坐标为（0， ），∵直线AC：y x 与双曲线：y （x＞0）相交于A（1，2），B两点，∴ ，∴ ， ，∴点B的坐标为（3， ），∴△AOB的面积 4 4 1 ；（3）观察图象，∵A（1，2），B（3， ），∴当x＞0时，关于x的不等式kx+b 的解集是1＜x＜3．

【难度】3

21．（10分）某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：

请结合上述信息，解答下列问题：

（1）共有 　 　名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是 　 　度；

（2）补全调查结果条形统计图；

（3）小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．

【答案】（1）120，99；（2）图形见解析；（3） ．

【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图

【分析】（1）由选修“礼仪”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，即可解决问题；

（2）求出选修“厨艺”和“园艺”的学生人数，即可解决问题；

（3）画树状图，共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，再由概率公式求解即可．

【解答】解：（1）参与了本次问卷调查的学生人数为：30÷25%＝120（名），则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：360° 99°，故答案为：120，99；（2）条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：120 18（名），则选修“园艺”的学生人数为：120﹣30﹣33﹣18﹣15＝24（名），补全条形统计图如下： （3）把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为A、B、C、D、E，画树状图如下： 共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为 ．

【难度】3

22．（10分）如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BF＝FD＝40米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9°，点E的俯角为16°．

问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由．

解答过程中可直接选用表格中的数据哟！

【答案】综合楼的高度约是37.00米．

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题

【分析】作EG⊥AB，垂足为G，作AH⊥CD，垂足为H，由题意知，EG＝BF＝40米，EF＝BG＝12.88米，∠HAE＝16°＝∠AEG＝16°，∠CAH＝9°，在Rt△AEG中，有0.287 ，AG≈11.48（米），即得HD＝AB＝24.36米，在Rt△ACH中，有0.158 ，得CH≈12.64（米），故CD＝CH+HD＝37.00（米）．

【解答】解：小明能运用以上数据，得到综合楼的高度，理由如下：作EG⊥AB，垂足为G，作AH⊥CD，垂足为H，如图： 由题意知，EG＝BF＝40米，EF＝BG＝12.88米，∠HAE＝16°＝∠AEG＝16°，∠CAH＝9°，在Rt△AEG中，tan∠AEG ，∴tan16° ，即0.287 ，∴AG＝40×0.287＝11.48（米），∴AB＝AG+BG＝11.48+12.88＝24.36（米），∴HD＝AB＝24.36米，在Rt△ACH中，AH＝BD＝BF+FD＝80米，tan∠CAH ，∴tan9° ，即0.158 ，∴CH＝80×0.158＝12.64（米），∴CD＝CH+HD＝12.64+24.36＝37.00（米），答：综合楼的高度约是37.00米．

【难度】5

23．（12分）已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线与⊙O相交于点D，连接DB．

（1）如图①，设∠ABC的平分线与AD相交于点I，求证：BD＝DI；

（2）如图②，过点D作直线DE∥BC，求证：DE是⊙O的切线；

（3）如图③，设弦BD，AC延长后交⊙O外一点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G作⊙O的切线GH（切点为H），求证：FG＝HG．

【答案】（1）证明见解答；（2）证明见解答；（3）证明见解答．

【考点】圆的综合题

【分析】（1）根据角的和与外角的性质可得：∠BID＝∠DBI，从而得结论；

（2）根据垂径定理可得：OD⊥BC，再由BC∥DE可得结论；

（3）如图③，连接BH，CH，证明△HCG∽△BHG和△CGF∽△FGB，可得结论．

【解答】证明：（1）如图①， ∵AD平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CBD＝∠BAD，∵∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠DBI＝∠CBD+∠CBI，∴∠BID＝∠DBI，∴BD＝DI；（2）如图②，连接OD， ∵∠CAD＝∠BAD，∴ ，∴OD⊥BC，∵DE∥BC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（3）如图，作直径交⊙O于M，连接CM，BH，CH， ∴∠MCH＝90°，∴∠M+∠CHM＝90°，∵∠B＝∠M，∴∠B+∠CHM＝90°，∵GH是⊙O的切线，∴∠OHG＝∠CHG+∠CHM＝90°，∴∠CHG＝∠B，如图③，连接BH，CH， ∵GH是⊙O的切线，∴∠CHG＝∠HBG，∵∠CGH＝∠BGH，∴△HCG∽△BHG，∴ ，∴GH²＝BG•CG，∵AD∥GF，∴∠AFG＝∠CAD，∵∠CAD＝∠FBG，∴∠FBG＝∠AFG，∵∠CGF＝∠BGF，∴△CGF∽△FGB，∴ ，∴FG²＝BG•CG，∴FG＝HG．

【难度】5

24．（12分）如图，抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D（1，4）在直线l：y x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上．

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥l于点N，当1＜m＜3时，求PM+PN的最大值；

（3）设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x²+2x+3；（2） ；（3）四边形AFBG的面积 AB×FG 4×8＝16．

【考点】二次函数综合题

【分析】（1）利用顶点式求解，可得结论；

（2）如图，设直线l交x轴于点T，连接PT，BD，BD交PM于点J．设P（m，﹣m²+2m+3）．四边形DTBP的面积＝△PDT的面积+△PBT的面积 DT×PN TB×PM （PM+PN），推出四边形DTBP的面积最大时，PM+PN的值最大，求出四边形DTBP的面积的最大值，可得结论；

（3）四边形AFBG的面积不变．如图，设P（m，﹣m²+2m+3），求出直线AP，BP的解析式，可得点E，F的坐标，求出FG的长，可得结论．

【解答】解：（1）∵抛物线的顶点D（1，4），∴可以假设抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）²+4＝﹣x²+2x+3；（2）如图，设直线l交x轴于点T，连接PT，BD，BD交PM于点J．设P（m，﹣m²+2m+3）．点D（1，4）在直线l：y x+t上，∴4 t，∴t ，∴直线DT的解析式为y x ，令y＝0，得到x＝﹣2，∴T（﹣2，0），∴OT＝2，∵B（3，0），∴OB＝3，∴BT＝5，∵DT 5，∴TD＝TB，∵PM⊥BT，PN⊥DT，∴四边形DTBP的面积＝△PDT的面积+△PBT的面积 DT×PN TB×PM （PM+PN），∴四边形DTBP的面积最大时，PM+PN的值最大，∵D（1，4），B（3，0），∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+6，∴J（m，﹣2m+6），∴PJ＝﹣m²+4m﹣3，∵四边形DTBP的面积＝△DTB的面积+△BDP的面积 5×4 （﹣m²+4m﹣3）×2＝﹣m²+4m+7＝﹣（m﹣2）²+11∵﹣1＜0，∴m＝2时，四边形DTBP的面积最大，最大值为11，∴PM+PN的最大值 11 ；解法二：延长MP交直线l与点H，易得直线l：y x ，∴H（m， m ） 设直线l交x轴于点C，交y轴于点L， ∴C（﹣2，0），L（0， ），∴CL ，∴sin∠CLO ，由LO∥HM，∴∠NHM＝∠CLO，∴sin∠NHM ，∴PH m m²﹣2m﹣3＝m² m ，∴PN PH，∴PM+PN＝﹣m²+2m+3 （m² m ） （m﹣2）² ，∵ 0，∴m＝2时，PM+PN的值最大，最大值为 ；（3）四边形AFBG的面积不变．理由：如图，设P（m，﹣m²+2m+3），∵A（﹣1，0），B（3，0），∴直线AP的解析式为y＝﹣（m﹣3）x﹣m+3，∴E（1，﹣2m+6），∵E，G关于x轴对称，∴G（1，2m﹣6），∴直线PB的解析式y＝﹣（m+1）x+3（m+1），∴F（1，2m+2），∴GF＝2m+2﹣（2m﹣6）＝8，∴四边形AFBG的面积 AB×FG 4×8＝16．∴四边形AFBG的面积是定值．