【327741】2022年内蒙古通辽市中考数学真题

绝密·启用前

2022年内蒙古通辽市中考数学真题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1.﹣3的绝对值是（　　）
A．﹣3
B．3
C．-
D．

2.冬季奥林匹克运动会是世界上规模最大的冬季综合性运动会，下列四个图是历届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（     ）
A．
B．
C．
D．

3.节肢动物是最大的动物类群，目前已命名的种类有120万种以上，将数据120万用科学记数法表示为（     ）
A．
B．
C．
D．

4.正多边形的每个内角为 ，则它的边数是（     ）
A．4
B．6
C．7
D．5

5.《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数，物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（       ）

A．
B．
C．
D．

6.如图，一束光线 先后经平面镜 ， 反射后，反射光线 与 平行，当 时， 的度数为（     ）

A．
B．
C．
D．

7.在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（     ）
A．
B．
C．
D．

8.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点 ， ， 都在格点上，以 为直径的圆经过点 ， ，则 的值为（     ）

A．
B．
C．
D．

9.若关于 的分式方程： 的解为正数，则 的取值范围为（     ）
A．
B． 且
C．
D． 且

10.下列命题：① ；②数据1，3，3，5的方差为2；③因式分解 ；④平分弦的直径垂直于弦；⑤若使代数式 在实数范围内有意义，则 ．其中假命题的个数是（     ）
A．1
B．3
C．2
D．4

11.如图，正方形 及其内切圆 ，随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是（     ）

A．
B．
C．
D．

12.如图，点 是 内一点， 与 轴平行， 与 轴平行， ， ， ，若反比例函数 的图像经过 ， 两点，则 的值是（     ）

A．
B．
C．
D．

13.菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，则菱形的边长为_____．

14.如图，依据尺规作图的痕迹，求 的度数_________°．

15.如图，在矩形 中， 为 上的点， ， ，则 ______．

16.在 中， ，有一个锐角为 ， ，若点 在直线 上（不与点 ， 重合），且 ，则 的长为_______．

17.如图， 是 的外接圆， 为直径，若 ， ，点 从 点出发，在 内运动且始终保持 ，当 ， 两点距离最小时，动点 的运动路径长为______．

18.计算： ．

19.先化简，再求值： ，请从不等式组 的整数解中选择一个合适的数求值．

20.如图，一个圆环被4条线段分成4个相等的区域，现有2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”各一个，将这两个吉祥物放在任意两个区域内．

(1)求：吉祥物“冰墩墩”放在区域①的概率_______；
(2)求：吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻的两个区域的概率．（用树状图或列表法表示）

21.某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算 的长度（结果保留小数点后一位， ）.

22.某学校在本校开展了四项“课后服务”项目（项目 ：足球；项目 ：篮球；项目 ：跳绳；项目 ：书法），要求每名学生必选且只能选修其中一项，为了解学生的选修情况，学校决定进行抽样调查，并根据收集的数据绘制了图1和图2两幅不完整的统计图．

(1)本次调查的学生共有_______人；在扇形统计图中， 所对应的扇形的圆心角的度数是______ ；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)若全校共有1200名学生， 估计该校选修篮球和跳绳两个项目的总人数．

23.为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：
甲：所有商品按原价8.5折出售；
乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折．
设需要购买体育用品的原价总额为 元，去甲商店购买实付 元，去乙商店购买实付 元，其函数图象如图所示.

(1)分别求 ， 关于 的函数关系式；
(2)两图象交于点 ，求点 坐标；
(3)请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．

24.如图，在 中， ，以 为圆心， 的长为半径的圆交边 于点 ，点 在边 上且 ，延长 交 的延长线于点 ．

(1)求证： 是圆的切线；
(2)已知 ， ，求 长度及阴影部分面积．

25.已知点 在正方形 的对角线 上，正方形 与正方形 有公共点 ．

(1)如图1，当点 在 上， 在 上，求 的值为多少；
(2)将正方形 绕 点逆时针方向旋转 ，如图2，求： 的值为多少；
(3) ， ，将正方形 绕 逆时针方向旋转 ，当 ， ， 三点共线时，请直接写出 的长度．

26.如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 点，直线 方程为 ．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点 为抛物线上一点，若 ，请直接写出点 的坐标；
(3)点 是抛物线上一点，若 ，求点 的坐标．

参考答案

1.B

【解析】
根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案．
根据绝对值的性质得：|-3|=3．
故选B．

2.A

【解析】
根据轴对称图形的定义，即可求解．
解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A

3.D

【解析】
绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10ⁿ， 为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．
解：120万=1200000=1.2×10⁶．
故选：D

4.D

【解析】
根据相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数为72°，再用外角和360°除以72°，计算即可得解．
解：∵正多边形的每个内角等于108°，
∴每一个外角的度数为180°-108°=72°，
∴边数=360°÷72°=5，
故选D．

5.B

【解析】
根据译文可知“人数×8-3=钱数和人数×7+4=钱数”即可列出方程组．
解：由题意可得， ，
故选：B．

6.A

【解析】
根据题意得：∠ABM=∠OBC， ∠BCO=∠DCN，然后平行线的性质可得∠BCD =70°，即可求解．
解：根据题意得：∠ABM=∠OBC， ∠BCO=∠DCN，
∵∠ABM=35°，
∴∠OBC=35°，
∴∠ABC=180°-∠ABM-∠OBC=180°-35°-35°=110°，
∵CD∥AB，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠ABC=70°，
∵∠BCO+∠BCD+∠DCN=180°， ∠BCO=∠DCN，
∴ ．
故选：A

7.D

【解析】
根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
解：将二次函数 的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为
故选D．

8.B

【解析】
首先根据勾股定理求出AB的长度，然后根据圆周角定理的推论得出 ， ，计算出 即可得到 ．
解：∵ 为直径， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
故选：B．

9.B

【解析】
先解方程，含有k的代数式表示x，在根据x的取值范围确定k的取值范围．
解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
∵解为正数，
∴ ，
∴ ，
∵分母不能为0，
∴ ，
∴ ，解得 ，
综上所述： 且 ，
故选：B．

10.C

【解析】
根据积的乘方，方差的计算，多项的因式分解，垂径定理的推论，二次根式有意义的条件，逐项判断即可求解．
解：① ，故原命题是假命题；
②数据1，3，3，5的平均数为 ，所以方差为 ，是真命题；
③ ，是真命题；
④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题是假命题；
⑤使代数式 在实数范围内有意义，则 ，即 ，是真命题；
∴假命题的个数是2．
故选：C

11.B

【解析】
设正方形的边长为a，则其内切圆的直径为a，分别求出正方形和阴影部分的面积，再利用面积比求出概率，即可．
解：设正方形的边长为a，则其内切圆的直径为a，
∴其内切圆的半径为 ，正方形的面积为a²，
∴阴影部分的面积为 ，
∴随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是 ．
故选：B

12.C

【解析】
过点C作CE⊥y轴于点E，延长BD交CE于点F，可证明△COE≌△ABE（AAS），则OE=BD= ；由S_△BDC= •BD•CF= 可得CF=9，由∠BDC=120°，可知∠CDF=60°，所以DF=3 ，所以点D的纵坐标为4 ；设C（m， ），D（m+9，4 ），则k= m=4 （m+9），求出m的值即可求出k的值．
解：过点C作CE⊥y轴于点E，延长BD交CE于点F，

∵四边形OABC为平行四边形，
∴AB OC，AB=OC，
∴∠COE=∠ABD，
∵BD y轴，
∴∠ADB=90°，
∴△COE≌△ABD（AAS），
∴OE=BD= ，
∵S_△BDC= •BD•CF= ，
∴CF=9，
∵∠BDC=120°，
∴∠CDF=60°，
∴DF=3 ．
∴点D的纵坐标为4 ，
设C（m， ），D（m+9，4 ），
∵反比例函数y= （x＜0）的图像经过C、D两点，
∴k= m=4 （m+9），
∴m=-12，
∴k=-12 ．
故选：C．

13.5

【解析】
根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再利用勾股定理列式进行计算即可得解．
如图，

∵四边形ABCD是菱形，
∴OA AC＝4，OB BD＝3，AC⊥BD，
∴AB 5
故答案为5

14.60

【解析】
先根据矩形的性质得出 ，故可得出∠ABD的度数，由角平分线的定义求出∠EBF的度数，再由EF是线段BD的垂直平分线得出∠EFB、∠BEF的度数，进而可得出结论．
解：如图，

∵四边形ABCD为矩形，
∴ ，
∴ ，
由尺规作图可知，BE平分∠ABD，
∴ ，
由尺规作图可知EF垂直平分BD，
∴∠EFB=90°，
∴ ，
∴∠α=∠BEF=60°．
故答案为：60°．

15. ##

【解析】
解：设 ，
在矩形 中， 为 上的点， ， ，
，
，
，
故答案为： ．

16. 或9或3

【解析】
分∠ABC=60、∠ABC=30°两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．
解：当∠ABC=60°时，则∠BAC=30°，
∴ ，
∴ ，
当点P在线段AB上时，如图，

∵ ，
∴∠BPC=90°，即PC⊥AB，
∴ ；
当点P在AB的延长线上时，
∵ ，∠PBC=∠PCB+∠CPB，
∴∠CPB=30°，
∴∠CPB=∠PCB，
∴PB=BC=3，
∴AP=AB+PB=9；
当∠ABC=30°时，则∠BAC=60°，如图，

∴ ，
∵ ，
∴∠APC=60°，
∴∠ACP=60°，
∴∠APC=∠PAC=∠ACP，
∴△APC为等边三角形，
∴PA=AC=3．
综上所述， 的长为 或9或3．
故答案为： 或9或3

17.

【解析】
根据题中的条件可先确定点P的运动轨迹，然后根据三角形三边关系确定CP的长最小时点P的位置，进而求出点P的运动路径长．
解： 为 的直径，




∴
∴点P在以AB为直径的圆上运动，且在△ABC的内部，
如图，记以AB为直径的圆的圆心为 ，连接 交 于点 ，连接


∴当点 三点共线时，即点P在点 处时，CP有最小值，
∵
∴
在 中，
∴∠
∴
∴ 两点距离最小时，点P的运动路径长为

18.

【解析】
根据二次根式的乘法，化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂进行计算即可求解．
解：原式＝

19. ，3

【解析】
根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后根据不等式组求出a的值并代入原式即可求出答案．
解：


，
，
解不等式①得：
解不等式②得： ，
∴ ，
∵a为整数，
∴a取0，1，2，
∵ ，
∴a=1，
当a=1时，原式 ．

20.(1)
(2)

【解析】
（1）根据概率公式直接求解；
（2）根据列表法求概率即可求解．
(1)
吉祥物“冰墩墩”放在区域①的概率 ，
故答案为：
(2)

共有12种等可能结果，吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻的两个区域的共有8种可能，
吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻的两个区域的概率为 ．

21. 的长度约为9.8米

【解析】
延长 交 的垂线 于点 ， 交于点 ,则四边形 是矩形，根据图示，可得四边形 是正方形，解 ，即可求解．
解：如图，延长 交 的垂线 于点 ， 交于点 ,则四边形 是矩形，


，
四边形 是正方形，
，
， ，
，
中， ，
，
中， ，
米．

22.(1)200、108；
(2)见解析
(3)900人

【解析】
（1）由A活动的人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以B活动人数所占比例即可得；
（2）用总人数减去其它活动人数求出C的人数，从而补全图形；
（3）用样本估计总体可得结论．
(1)
本次调查的学生共有30÷15%=200（人），
扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是360°× =108°，
故答案为：200、108；
(2)
C活动人数为200-（30+60+20）=90（人），
补全图形如下：

(3)
（人）
所以，估计该校选修篮球和跳绳两个项目的总人数为900人．

23.(1)y_甲=0.85x；y_乙与x的函数关系式为y_乙=
(2)（600，510）
(3)当x＜600时，选择甲商店更合算；当x=600时，两家商店所需费用相同；当x＞600时，选择乙商店更合算．

【解析】
（1）根据题意，可以分别写出甲、乙两家商店y与x的函数关系式；
（2）根据（1）的结论列方程组解答即可；
（3）由点A的意义并结合图象解答即可．
(1)
由题意可得，y_甲=0.85x；
乙商店：当0≤x≤300时，y_乙与x的函数关系式为y_乙=x；
当x＞300时，y_乙=300+（x-300）×0.7=0.7x+90，
由上可得，y_乙与x的函数关系式为y_乙=
(2)
由 ，解得 ，
点A的坐标为（600，510）；
(3)
由点A的意义，当买的体育商品标价为600元时，甲、乙商店优惠后所需费用相同，都是510元，
结合图象可知，
当x＜600时，选择甲商店更合算；
当x=600时，两家商店所需费用相同；
当x＞600时，选择乙商店更合算．

24.(1)证明见详解；
(2)AC=3，阴影部分面积为 ．

【解析】
（1）连接OD，证明∠ODE=90°即可；
（2）在Rt△OCD中，由勾股定理求出OC、OD、CD，在Rt△OCE中，由勾股定理求出OE，用△OCE的面积减扇形面积即可得出阴影部分面积．
(1)
证明：连接OD

∵OD=OB
∴∠OBD=∠ODB
∵AC=CD
∴∠A=∠ADC
∵∠ADC=∠BDE
∴∠A=∠EDB
∵∠AOB=90°
∴∠A+∠ABO=90°
∴∠ODB+∠BDE=90°
即OD⊥CE，
又D在 上
∴ 是圆的切线；
(2)
解：由（1）可知，∠ODC=90°
在Rt△OCD中，
∴设OD=OB=4x，则OC=5x，
∴
∴AC=3x
∴OA=OC+AC=8x
在Rt△OAB中：
即：
解得 ，（-1舍去）
∴AC=3，OC=5，OB=OD=4
在在Rt△OCE中，
∴设OE=4y，则CE=5y，
∵

解得 ，（ 舍去）
∴

∴阴影部分面积为 ．

25.(1)2
(2)
(3)

【解析】
（1）根据题意可得 ，根据平行线分线段成比例即可求解；
（2）根据（1）的结论，可得 ，根据旋转的性质可得 ，进而证明 ，根据相似三角形的性质即可求解；
（3）勾股定理求得 ， ，进而根据 ，由相似三角形的性质即可求解．
(1)
正方形 与正方形 有公共点 ，点 在 上， 在 上，



四边形 是正方形


(2)
如图，连接 ，

正方形 绕 点逆时针方向旋转 ，



，
(3)
如图，

， ，
, , ，
三点共线，
中， ，
，
由（2）可知 ，
，
．

26.(1)y=-x²+4x-3
(2)( , )或( , )或（ , ）或( , )
(3)( , )

【解析】
（1）先根据一次函数解析式求出点B、C坐标；再代入 ，求出b、c 即可求解；
（2）过点A作AN⊥BC于N，过点P作PM⊥BC于M，过点P作PE BC，交y轴于E,交抛物线于p₁,p₂，过点E作EF⊥BC于F，先求出AN= ，再根据两三角形面积关系，求得PM= ，从而求得CE=1，则点P是将直线BC向上或向下平移1个单位与抛物线的交点，联立解析式即可求出交点坐标；
（3）过点Q作AD⊥CQ于D，过点D作DF⊥x轴于F财富点C作CE⊥DF于E，证△CDE≌△DAD（AAS），得DE=AF，CE=DF，再证四边形OCEF是矩形，得OF=CE，EF=OC=3，然后设DE=AF=n，则CE=DF=OF=n+1， DF=3-n，则n+1=3-n，解得：n=1，即可求出D(2,-2),用待定系数法求直线CQ解析式为y= x-3，最后联立直线与抛物线解析式，求出交点坐标即可求解．
(1)
解：对于直线BC解析式y=x-3，
令x=0时，y=-3，
则C(0,-3)，
令y=0时，x=3，
则B(3,0)，
把B(3,0)，C(0,-3)，分别代入 ，得
，解得： ，
∴求抛物线的解析式为：y=-x²+4x-3；
(2)
解：对于抛物线y=-x²+4x-3，
令y=0，则-x²+4x-3=0，解得：x₁=1,x₂=3,
∴A(1,0)，B(3,0)，
∴OA=1，OB=3，AB=2，
过点A作AN⊥BC于N，过点P作PM⊥BC于M，如图，

∵A(1,0)，B(3,0)，C(0,-3)，
∴OB=OC=3，AB=2，
∴∠ABC=∠OCB=45°，
∴AN= ，
∵ ，
∴PM= ，
过点P作PE BC，交y轴于E，过点E作EF⊥BC于F，
则EF= PM= ，
∴CE=1
∴点P是将直线BC向上或向下平移1个单位，与抛物线的交点，如图P₁，P₂，P₃，P₄，
∵B(3,0)，C(0,-3)，
∴直线BC解析式为：y=x-3，
∴平移后的解析式为y=x-2或y=x-4,
联立直线与抛物线解析式，得
或 ，
解得： ， ， ， ，
∴P点的坐标为( , )或( , )或（ , ）或( , )．
(3)
解：如图，点Q在抛物线上，且∠ACQ=45°，过点Q作AD⊥CQ于D，过点D作DF⊥x轴于F，过点C作CE⊥DF于E，

∵∠ADC=90°，
∴∠ACD=∠CAD=45°，
∴CD=AD，
∵∠E=∠AFD=90°，
∴∠ADF=90°-∠CDE=∠DCE，
∴△CDE≌△DAD（AAS），
∴DE=AF，CE=DF，
∵∠COF=∠E=∠AFD=90°，
∴四边形OCEF是矩形，
∴OF=CE，EF=OC=3，
设DE=AF=n，
∵OA=1，
∴CE=DF=OF=n+1
∴DF=3-n，
∴n+1=3-n
解得：n=1，
∴DE=AF=1，
∴CE=DF=OF=2，
∴D(2,-2),
设直线CQ解析式为y=px-3，
把D(2,-2)代入，得p= ,
∴直线CQ解析式为y= x-3，
联立直线与抛物线解析式，得

解得： ， （不符合题意，舍去），
∴点Q坐标为( , ).