【327728】2022年辽宁省丹东市中考数学真题

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2022年辽宁省丹东市中考数学真题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1.－7的绝对值是（       ）
A．7
B．－7
C．
D．

2.下列运算正确的是（       ）
A．a²•a³＝a⁶
B．（a²）³＝a⁵
C．（ab）³＝a³b³
D．a⁸÷a²＝a⁴

3.如图是由几个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（       ）

A．
B．
C．
D．

4.四张不透明的卡片，正面标有数字分别是﹣2，3，﹣10，6，除正面数字不同外，其余都相同，将它们背面朝上洗匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，则这张卡片正面的数字是﹣10的概率是（       ）
A．
B．
C．
D．1

5.在函数y＝ 中，自变量x的取值范围是（       ）
A．x≥3
B．x≥﹣3
C．x≥3且x≠0
D．x≥﹣3且x≠0

6.如图，直线l₁//l₂，直线l₃与l₁，l₂分别交于A，B两点，过点A作AC⊥l₂，垂足为C，若∠1＝52°，则∠2的度数是（       ）

A．32°
B．38°
C．48°
D．52°

7.甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.2环，方差分别是s_甲²＝0.12，s_乙²＝0.59，s_丙²＝0.33，s_丁²＝0.46，在本次射击测试中，这四个人成绩最稳定的是（       ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁

8.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则 的长为（       ）

A．6π
B．2π
C． π
D．π

9.如图，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则a＝ ．其中正确的有（       ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

10.美丽的丹东山清水秀，水资源丰富．2021年水资源总量约为12600000000立方米，数据12600000000用科学记数法表示为______．

11.因式分解：2a²＋4a＋2＝___________．

12.若关于x的一元二次方程x²+3x+m=0有实数根，则m的取值范围是______．

13.某书店与一所中学建立帮扶关系，连续6个月向该中学赠送书籍的数量（单位：本）分别为：200，300，400，200，500，550，则这组数据的中位数是______本．

14.不等式组 的解集为______．

15.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，分别以A，C为圆心，以大于 AC的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，直线PQ与AC交于点D，则AD的长为______．

16.如图，四边形OABC是平行四边形，点O是坐标原点，点C在y轴上，点B在反比例函数y= （x＞0）的图象上，点A在反比例函数y= （x＞0）的图象上，若平行四边形OABC的面积是7，则k=______．

17.如图，四边形ABCD是边长为6的菱形，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，点E，F分别是线段AB，AC上的动点（不与端点重合），且BE＝AF，BF与CE交于点P，延长BF交边AD（或边CD）于点G，连接OP，OG，则下列结论：①△ABF≌△BCE；②当BE＝2时，△BOG的面积与四边形OCDG面积之比为1：3；③当BE＝4时，BE：CG＝2：1；④线段OP的最小值为2 ﹣2 ．其中正确的是______．（请填写序号）

18.先化简，再求值： ÷ ﹣ ，其中x＝sin45°．

19.为了解学生一周劳动情况，我市某校随机调查了部分学生的一周累计劳动时间，将他们一周累计劳动时间t（单位：小时）划分为A：t＜2，B：2≤t＜3，C：3≤t＜4，D：t≥4四个组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题：

(1)这次抽样调查共抽取_____人，条形统计图中的m＝______；
(2)在扇形统计图中，求B组所在扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整；
(3)已知该校有960名学生，根据调查结果，请你估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有多少人？
(4)学校准备从一周累计劳动时间较长的两男两女四名学生中，随机抽取两名学生为全校学生介绍劳动体会，请用列表法或画树状图法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率．

20.为推动家乡学校篮球运动的发展，某公司计划出资12000元购买一批篮球赠送给家乡的学校．实际购买时，每个篮球的价格比原价降低了20元，结果该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球，每个篮球的原价是多少元？

21.如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．

(1)请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若sin∠ECD＝ ，CE＝5，求⊙O的半径．

22.如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）

23.丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：

(1)直接写出y与x的函数关系式；
(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？

24.已知矩形ABCD，点E为直线BD上的一个动点（点E不与点B重合），连接AE，以AE为一边构造矩形AEFG（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接DG．

(1)如图1，当 ＝ ＝1时，请直接写出线段BE与线段DG的数量关系与位置关系；
(2)如图2，当 ＝ ＝2时，请猜想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系，并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接BG，EG，分别取线段BG，EG的中点M，N，连接MN，MD，ND，若AB＝ ，∠AEB＝45°，请直接写出△MND的面积．

25.如图1，抛物线y＝ax²+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．

(1)求抛物线的表达式；
(2)设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h；
(3)如图2，过点P作PF⊥CE，垂足为F，当CF＝EF时，请求出m的值；
(4)如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．

参考答案

1.A

【解析】
根据负数的绝对值是它的相反数即可求解．
解：－7的绝对值是7，
故答案选：A．

2.C

【解析】
根据同底数幂的乘法运算、同底数幂乘方运算、积的乘方、幂的除法运算法则，对选项进行逐一计算即可．
解：a²•a³＝a⁵，A选项错误；
（a²）³＝a⁶，B选项错误；
（ab）³＝a³b³，C选项正确；
a⁸÷a²＝a⁶，D选项错误；
故选：C．

3.A

【解析】
从左边看该组合体，所得到的图形即为左视图．
解：从左边看到第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，
看到的图形如下：

故选：A．

4.A

【解析】
正面标有数字分别是﹣2，3，﹣10，6，从中随机抽取一张卡片，﹣10的个数是1，再根据概率公式直接求解即可求得概率．
解：由题意可知，共有4张标有数字﹣2，3，﹣10，6的卡片，摸到每一张的可能性是均等的，其中为﹣10的有1种，所以随机抽取一张，这张卡片正面的数字是﹣10的概率是 ，
故选：A．

5.D

【解析】
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组，解不等式组即可得到答案．
解：由题意得：x+3≥0且x≠0，
解得：x≥﹣3且x≠0，
故选：D．

6.B

【解析】
根据平行线的性质求出∠ABC，根据三角形内角和定理求出即可．
解：∵直线l₁∥l₂，∠1＝52°，
∴∠ABC＝∠1＝52°，
∵AC⊥l₂，
∴∠ACB＝90°，
∴∠2＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣52°﹣90°＝38°，
故选：B．

7.A

【解析】
根据方差的定义，方差越小数据越稳定．进行判断即可．
解：∵s_甲²＝0.12，s_乙²＝0.59，s_丙²＝0.33，s_丁²＝0.46，
∴s_甲²＜s_丙²＜s_丁²＜s_乙²，
∴成绩最稳定的是甲，
故选：A．

8.D

【解析】
先根据圆周角定理求出∠BOC＝2∠A＝60°，求出半径OB，再根据弧长公式求出答案即可．
解：∵直径AB=6，
∴半径OB=3，
∵圆周角∠A=30°，
∴圆心角∠BOC=2∠A=60°，
∴ 的长是 =π，
故选：D．

9.D

【解析】
①正确，根据抛物线的位置判断即可；②正确，利用对称轴公式，可得b＝﹣4a，可得结论；③错误，应该是x＞2时，y随x的增大而增大；④正确，判断出k＞0，可得结论；⑤正确，设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）²﹣9a，可得M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K．利用相似三角形的性质，构建方程求出a即可．
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴是直线x＝2，
∴﹣ ＝2，
∴b＝﹣4a＜0
∵抛物线交y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①正确，
∵b＝﹣4a，a＞0，
∴b+3a＝﹣a＜0，故②正确，
观察图象可知，当0＜x≤2时，y随x的增大而减小，故③错误，
一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，
∵b＜0，
∴k＞0，此时E（k，b）在第四象限，故④正确．
∵抛物线经过（﹣1，0），（5，0），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）²﹣9a，
∴M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），
过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K．
∵AM⊥CM，
∴∠AMC＝∠KMH＝90°，
∴∠CMH＝∠KMA，
∵∠MHC＝∠MKA＝90°，
∴△MHC∽△MKA，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴a²＝ ，
∵a＞0，
∴a＝ ，故⑤正确，
故选：D．

10.1.26×10¹⁰

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
解：12600000000=1.26×10¹⁰．
故答案为：1.26×10¹⁰．

11.2（a＋1）²

【解析】
先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解.
2a²＋4a＋2=2（a²＋2a＋1）=2（a＋1）²
故答案为：2（a＋1）²

12.m≤

【解析】
根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可求出m的取值范围．
∵方程x²+3x+m=0有实数根，
∴△=3²-4m≥0，
解得：m≤ ．
故答案为m≤ ．

13.350

【解析】
根据中位数的概念求解即可．
解：将数据200，300，400，200，500，550按照从小到大的顺序排列为：200，200，300，400，500，550．则其中位数为： ＝350．
故答案为：350．

14.1.5＜x＜6

【解析】
先解每一个不等式，再求它们的解集的公共部分．
解：解不等式 得： ，
解不等式 得： ，
所以不等式组的解集为：1.5＜x＜6，
故答案为：1.5＜x＜6．

15.

【解析】
利用勾股定理求出AC，再利用线段的垂直平分线的性质求出AD．
解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=8，
∴AC= = =4 ，
由作图可知，PQ垂直平分线段AC，
∴AD=DC= AC=2 ，
故答案为：2 ．

16.-4

【解析】
连接OB，根据反比例函数系数k的几何意义得到|k|+3=7，进而即可求得k的值．
解：连接OB，

∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB∥OC，
∴AB⊥x轴，
∴S_△AOD= |k|，S_△BOD= = ，
∴S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD= |k|+ ，
∴S_{平行四边形OABC}=2S_△AOB=|k|+3，
∵平行四边形OABC的面积是7，
∴|k|=4，
∵在第四象限，
∴k=-4，
故答案为：-4．
(点评)
本题考查了反比例系数k的几何意义、平行四边形的面积，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 |k

17.①②

【解析】
①证明△ABC是等边三角形，进而得出三角形全等的三个条件；
②可推出点G是AD的中点，可以得出S_△COD＝S_△AOD＝2S_△DOG，根据点O是BD的中点，可以得到S_△BOG＝S_△DOG，进一步得出结果；
③根据AB∥CD得出 ，从而得出CG＝3，于是BE：CG＝4：3；
④可推出∠BPC＝120°，从而得出点P在以等边三角形BCH的外接圆的 上运动，当点O、P、I共线时，OP最小．
解：①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD＝CD，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，
在△ABF和△BCE中， ，
∴△ABF≌△BCE（SAS），
故①正确；
②由①知：△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，
∵AF＝BE＝2，
∴CF＝AC﹣AF＝4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，OB＝OD，OA＝OC，
∴△AGF∽△CBF，S_△BOG＝S_△DOG，S_△AOD＝S_△COD，
∴ ，
∴ ，
∴AG＝3，
∴AG＝ ，
∴S_△AOD＝2S_△DOG，
∴S_△COD＝2S_△COG＝2S_△BOG，
∴∴S_{四边形OCDG}＝S_△DOG+S_△COD＝3S_△DOG＝3S_△BOG，
△BOG的面积与四边形OCDG面积之比为1：3；
故②正确；
③如图1，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴ ，
∴ ，
∴CG＝3，
∴BE：CG＝4：3，
故③不正确；
④如图2，

由①得：△ABF≌△BCE，
∴∠BCE＝∠ABF，
∴∠BCE+∠CBF＝∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝60°，
∴∠BPC＝120°，
作等边三角形△BCH，作△BCH的外接圆I，
则点P在⊙I上运动，
点O、P、I共线时，OP最小，
作HM⊥BC于M，
∴HM＝ ＝3 ，
∴PI＝IH＝ ，
∵∠ACB+∠ICB＝60°+30°＝90°，
∴OI＝ ＝ ＝ ，
∴OP_最小＝OI﹣PI＝ ﹣2 ，
故④不正确，
故答案为：①②．

18. ， ．

【解析】
根据分式的运算法则进行化简，化简后代入即可得出答案．
解：原式＝ ﹣
＝ ﹣
＝ ，
当x＝sin45°＝ 时，则 ，
所以原式＝ ．

19.(1)100，42
(2)72°；补图见解析
(3)估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有672人；
(4)

【解析】
（1）根据D组的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，再用总人数乘以C所占的百分比，即可得出m的值；
（2）用360°乘以B组所占的百分比，求出B组的圆心角度数，再用总人数乘以B所占的百分比，即可得出B组的人数；
（3）用该校的总人数乘以达到3小时及3小时以上的学生所占的百分比即可；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解．
（1）
解：这次抽样调查共抽取的人数有：28÷28%=100（人），
m=100×42%=42，
故答案为：100，42；
（2）
解：B组所在扇形圆心角的度数是：360°×20%=72°；
B组的人数有：100×20%=20（人），
补全统计图如下：
；
（3）
解：根据题意得：
960×（42%+28%）=672（人），
答：估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有672人；
（4）
解：画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生结果数为8，
所以抽取的两人恰好是一名男生和一名女生概率为 ．

20.每个篮球的原价是120元．

【解析】
设每个篮球的原价是x元，则每个篮球的实际价格是（x﹣20）元，根据“该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球”列出方程并解答．
解：设每个篮球的原价是x元，则每个篮球的实际价格是（x﹣20）元，
根据题意，得 ＝ ．
解得x＝120．
经检验x＝120是原方程的解．
答：每个篮球的原价是120元．

21.(1)CD是⊙O的切线，理由见解析
(2)⊙O的半径为

【解析】
（1）结论：CD是⊙O的切线，证明OC⊥CD即可；
（2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．证明四边形CDEJ是矩形，推出CD＝EJ＝4，CJ＝DE＝3，再利用勾股定理构建方程求解．
（1）
解：结论：CD是⊙O的切线．
理由：连接OC．
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC＝∠CBE，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴OC//BD，
∵CD⊥BD，
∴CD⊥OC，
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）
设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∵OC⊥DC，CD⊥DB，
∴∠D＝∠DCJ＝∠DEJ＝90°，
∴四边形CDEJ是矩形，
∴∠CJE＝90°，CD＝EJ，CJ＝DE，
∴OC⊥AE，
∴AJ＝EJ，
∵sin∠ECD＝ ＝ ，CE＝5，
∴DE＝3，CD＝4，
∴AJ＝EJ＝CD＝4，CJ＝DE＝3，
在Rt△AJO中，r²＝（r﹣3）²+4²，
∴r＝ ，
∴⊙O的半径为 ．

22.货船与A港口之间的距离约为80海里

【解析】
过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，根据题意得：EF=BC=33.2海里，AG∥DC，从而可得∠ADC=53°，然后在Rt△AEF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而求出AE的长，最后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，进行计算即可解答．
解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，

由题意得：
EF=BC=33.2海里，AG∥DC，
∴∠GAD=∠ADC=53°，
在Rt△ABF中，∠ABF=50°，AB=40海里，
∴AF=AB•sin50°≈40×0.77=30.8（海里），
∴AE=AF+EF=64（海里），
在Rt△ADE中，AD= ≈ =80（海里），
∴货船与A港口之间的距离约为80海里．

23.(1)y＝﹣2x+160
(2)销售单价应定为50元
(3)当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润1248元

【解析】
（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，用待定系数法可得y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）²+1250，由二次函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
（1）
解：设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，
把（35，90），（40，80）代入得： ，
解得 ，
∴y＝﹣2x+160；
（2）
根据题意得：（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，
解得x₁＝50，x₂＝60，
∵规定销售单价不低于成本且不高于54元，
∴x＝50，
答：销售单价应定为50元；
（3）
设每天获利w元，
w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）²+1250，
∵﹣2＜0，对称轴是直线x＝55，
而x≤54，
∴x＝54时，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）²+1250＝1248（元），
答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．

24.(1)BE＝DG，BE⊥DG
(2)BE＝ ，BE⊥DG，理由见解析
(3)S_△MNG＝

【解析】
（1）证明△BAE≌△DAG，进一步得出结论；
（2）证明BAE∽△DAG，进一步得出结论；
（3）解斜三角形ABE，求得BE＝3，根据（2） 可得DG＝6，从而得出三角形BEG的面积，可证得△MND≌△MNG，△MNG与△BEG的面积比等于1：4，进而求得结果．
（1）
解：由题意得：四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAD﹣∠DAE＝∠EAG﹣∠DAE，
∴∠BAE＝∠DAG，
∴△BAE≌△DAG（SAS），
∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，
∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°，
∴∠BDG＝90°，
∴BE⊥DG；
（2）
BE＝ ，BE⊥DG，理由如下：
由（1）得：∠BAE＝∠DAG，
∵ ＝ ＝2，
∴△BAE∽△DAG，
∴ ，∠ABE＝∠ADG，
∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°，
∴∠BDG＝90°，
∴BE⊥DG；
（3）
如图，

作AH⊥BD于H，
∵tan∠ABD＝ ，
∴设AH＝2x，BH＝x，
在Rt△ABH中，
x²+（2x）²＝（ ）²，
∴BH＝1，AH＝2，
在Rt△AEH中，
∵tan∠ABE＝ ，
∴ ，
∴EH＝AH＝2，
∴BE＝BH+EH＝3，
∵BD＝ ＝5，
∴DE＝BD﹣BE＝5﹣3＝2，
由（2）得： ，DG⊥BE，
∴DG＝2BE＝6，
∴S_△BEG＝ ＝ ＝9，
在Rt△BDG和Rt△DEG中，点M是BG的中点，点N是CE的中点，
∴DM＝GM＝ ，
∵NM＝NM，
∴△DMN≌△GMN（SSS），
∵MN是△BEG的中位线，
∴MN BE，
∴△BEG∽△MNG，
∴ ＝（ ）²＝ ，
∴S_△MNG＝S_△MNG＝ S_△BEG＝ ．