第二十二讲 等差数列应用

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这几个等差数列虽然都不一样，但它们的项数、和与中间数都是相同的：项数都是7，和都是112，中间数都是16．其实只要项数与和相同，中间数就自然相同了，因为我们学过公式：和=中间数×项数，那么中间数=和÷项数．也就是说，可以通过项数与和求出一个等差数列的中间数．这种通过公式反向求解的方法在等差数列的问题中非常常见．

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例题1

一个等差数列的第1项是21，前7项的和为105，这个数列的第10项是多少？

分析：前7项的和是105，根据公式可以求出第几项呢？

练习1

一个等差数列的第1项是3，前11项之和为198，这个数列的第20项是多少？

例题2

9个连续自然数的和是126，其中最小的数是多少？

分析：这9个数是等差数列吗？如果是的话，公差是几？

练习2

7个连续奇数之和为91，其中最小的数是多少？

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当然，要使用公式：和=中间数×项数来解题的话，这个数列的项数必须是奇数．

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例题3

已知一个等差数列的前15项之和为450，前21项之和为819，请问：这个数列的公差是多少？首项是多少？

分析：如果知道任何两项具体的数值，就能算出公差．能不能找到这样的两项呢？

练习3

已知一个等差数列的前13项之和为533，前15项之和为690．请问：这个等差数列的首项是多少？

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但并不是所有的等差数列的项数都是奇数．当项数是偶数时，只能根据公式：
和=（首项+末项）×项数÷2，算出首项与末项的和．如果再能求出首项与末项的差，便能求出首项与末项的具体数值了．

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例题4

把248表示成8个连续偶数的和，其中最大的偶数是多少？

分析：首项与末项的和是多少？差是多少？

练习4

把115表示成10个连续自然数之和，其中最小的数是几？

例题5

已知一个等差数列的前15项之和为450，前20项之和为750．请问：这个数列的公差是多少？首项是多少？

分析：通过“前15项之和为450”这个条件除了能知道“中间数”之外，还能知道其他一些信息吗？

例题6

在一次考试中，第一组同学的分数恰好构成了公差为3的等差数列，总分为609．小高发现自己的分数算少了，找老师更正后，加了21分，这时他们的成绩还是一个等差数列．请问小高正确的分数是多少？

分析：思考下一共有几个人？改分前小高是第几个，改分后小高是第几个？

作业

1. 已知一个等差数列的首项是17，前7项之和为161，这个数列的第11项是多少？（37）
   
   

2. 7个连续偶数之和为112，其中最小的那个数是多少？（10）
   
   

3. 8个连续奇数之和为112，其中最小的那个数是多少？（7）
   
   

4. 把325表示成10个连续自然数之和，其中最小的数是多少？（28）
   
   
   

5. 已知一个等差数列的前11项之和为451，前19项之和为1235，这个数列的首项是多少？
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