【319473】【课本】三年级(上)第22讲 等差数列应用
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第二十二讲 等差数列应用
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这几个等差数列虽然都不一样,但它们的项数、和与中间数都是相同的:项数都是7,和都是112,中间数都是16.其实只要项数与和相同,中间数就自然相同了,因为我们学过公式:和=中间数×项数,那么中间数=和÷项数.也就是说,可以通过项数与和求出一个等差数列的中间数.这种通过公式反向求解的方法在等差数列的问题中非常常见.
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例题1
一个等差数列的第1项是21,前7项的和为105,这个数列的第10项是多少?
分析:前7项的和是105,根据公式可以求出第几项呢?
练习1
一个等差数列的第1项是3,前11项之和为198,这个数列的第20项是多少?
例题2
9个连续自然数的和是126,其中最小的数是多少?
分析:这9个数是等差数列吗?如果是的话,公差是几?
练习2
7个连续奇数之和为91,其中最小的数是多少?
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当然,要使用公式:和=中间数×项数来解题的话,这个数列的项数必须是奇数.
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例题3
已知一个等差数列的前15项之和为450,前21项之和为819,请问:这个数列的公差是多少?首项是多少?
分析:如果知道任何两项具体的数值,就能算出公差.能不能找到这样的两项呢?
练习3
已知一个等差数列的前13项之和为533,前15项之和为690.请问:这个等差数列的首项是多少?
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但并不是所有的等差数列的项数都是奇数.当项数是偶数时,只能根据公式:
和=(首项+末项)×项数÷2,算出首项与末项的和.如果再能求出首项与末项的差,便能求出首项与末项的具体数值了.
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例题4
把248表示成8个连续偶数的和,其中最大的偶数是多少?
分析:首项与末项的和是多少?差是多少?
练习4
把115表示成10个连续自然数之和,其中最小的数是几?
例题5
已知一个等差数列的前15项之和为450,前20项之和为750.请问:这个数列的公差是多少?首项是多少?
分析:通过“前15项之和为450”这个条件除了能知道“中间数”之外,还能知道其他一些信息吗?
例题6
在一次考试中,第一组同学的分数恰好构成了公差为3的等差数列,总分为609.小高发现自己的分数算少了,找老师更正后,加了21分,这时他们的成绩还是一个等差数列.请问小高正确的分数是多少?
分析:思考下一共有几个人?改分前小高是第几个,改分后小高是第几个?
作业
已知一个等差数列的首项是17,前7项之和为161,这个数列的第11项是多少?
7个连续偶数之和为112,其中最小的那个数是多少?
8个连续奇数之和为112,其中最小的那个数是多少?
把325表示成10个连续自然数之和,其中最小的数是多少?
已知一个等差数列的前11项之和为451,前19项之和为1235,这个数列的首项是多少?
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