第十五讲 多重周期问题

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在之前我们已经学过了两讲周期问题，实际生活中还存在一类更加复杂的周期规律．

我们已经知道周期现象无处不在，那么自然的，这些周期现象就很可能组合起来，产生更复杂的规律．

多重周期再怎么复杂也是由多个单一周期问题所组成的，这带给我们两种解决的思路．

第一种思路，分别根据各自的周期计算结果，最后加以组合．如要计算某年的干支，可以先计算天干，再计算地支，最后合起来就行．

下面我们来看一道由多个简单的单一周期问题组成的题目．

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如图所示，表格中每行的文字都是循环出现的：第一行是“大灰狼”3个汉字不断重复，第二行是“坏人”2个汉字不断重复．那么，第200列从上到下依次是哪2个汉字？

分析：这两行各自的规律是什么？各自的周期又是什么？第200列的第一行是什么字？第二行呢？

练习1

如图所示，表格中每行的文字都是循环出现的：第一行是“小鸡炖蘑菇”5个汉字不断重复，第二行是“宫保鸡丁”4个汉字不断重复，第三行则是“回锅肉”3个汉字不断重复．那么第121列从上到下依次是哪3个汉字？

例题2

如图，用“疯、狂、原、始、人”5个字，在一张方格纸中自左上到右下的斜行里按顺序循环填入．求第92行92列交叉处填入的字是？

分析：每行每列各自的规律是什么？各自的周期又是什么？第92行的第一个字是什么？92的周期规律又是什么？

练习2

如图，用“原、始、人”3个字，在一张方格纸中自左上到右下的斜行里按顺序循环填入．求第88行18列交叉处填入的字是？

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第二种思路，找到公共周期，并归纳出公共周期内的具体情况，再进行计算．比如对于数列1、二、3、一、2、三、1、二、3、一、2、三，……，你会发现有两个周期规律，第一个是数字本身的数值，规律是1、2、3、1、2、3，……，周期为3，第二个是按数字汉字来分，规律是数字、汉字、数字、汉字，……，周期为2，于是你会发现从整体上看，公共周期是6．

如何寻找公共周期呢？由于公共周期必须同时是两个规律甚至更多规律的周期，所以公共周期的长度必须是这些周期长度的公倍数，一般的，要找最小的那个，称之为最小公倍数．

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例题3

1201名士兵排成一横排，第一次从左到右1至3循环报数，第二次从左到右1至4循环报数．那么，两次都报1的士兵有多少名？

分析：试着把每个士兵两次报的数都写出来，找找看有没有周期？

练习3

2010名同学排成一队，先从排头向排尾1至2报数，再从排头向排尾1至5报数．两次分别报了1和4的同学有多少人？

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对于报数问题一般有两种，第一种是两次报数都是同向的，第二种是第一次报数是从左到右，第二次报数却是从右到左的，这时可以将反向的周期转化为同向的周期问题．

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例题4

303名士兵排成一排，第一次从左到右1至3循环报数，第二次从右到左1至2循环报数．请问：有多少名士兵两次所报数相同？

分析：试着把每个士兵两次报的数都写出来，找找看有没有周期？第二次是从右到左看能不能转化为从左到右？

练习4

100名士兵排成一排，第一次从左到右1至3循环报数，第二次从右到左1至4循环报数．请问：既报2又报3的士兵有多少名？

例题5

观察下图中图形的规律，
（1）第200个图形应该是下面A，B，C，D四个图形中的哪一个？

（2）这200个图形中出现了多少个A图形？

分析：仔细观察，这些图形的形状有什么规律？这些图形的颜色又有什么规律？试着算出第200个图形分别是什么形状和颜色？

例题6

有六十多人站成一行，从左到右由1开始按1，2，3，4依次循环报数，然后从右到左由1开始按1，2，3依次循环报数，最后发现刚好有12个人既报了1又报了2．请问：这一行最少有多少人？最多有多少人？

分析：试着把每个人两次报的数都写出来，找找看有没有周期？

作业

1. 在下表中，第一行是“太阳系”3个汉字不断重复，第二行是“小行星系”4个汉字不断重复，那么第27列从上到下的两个字是什么？
   （50）
   
   

2. 如图，用“高、思、学、校”4个字，在一张方格纸中自左上到右下的斜行里按顺序循环填入．求第21行40列交叉处填入的字是？（校）
   
   
   

3. 108名学生排成一横排，第一次从左到右1至2循环报数，第二次从左到右1至5循环报数．那么，第一次报1而第二次报5的学生有多少名？（60）
   
   

4. 在下面2行60列的方格表中，第一行从左至右依次填“A”、“B”、“A”、“B”…… 第二行从右至左依次填“1”、“2”、“3”、“1”、“2”、“3”…… 那么在方格表中，有多少列同时写有“A”和“1”？（10）
   （27）
   
   

5. 500名士兵排成一列横队，第一次从左到右1至5循环报数，第二次反过来从右到左1至3循环报数．那么，两次所报数的差（大减小）等于2的有多少名？