【319453】【课本】三年级（上）第02讲 枚举法中的字典排列

基础例题：

在上一讲中我们学习了简单的枚举法——直接把所有情况一一列举出来．但如果问题较为复杂，直接枚举很有可能产生重复或者遗漏，这时就需要有一些特别的方法来帮助我们枚举出所有情况．本讲就主要介绍两种枚举的方法：字典排列法和树形图法．

同学们可以翻一下英汉字典，不难发现字典中单词排列的规律：整本字典按首字母从a到z排列，首字母相同的单词都在一起．在首字母相同的单词中，再按照第2个字母从a到z的顺序排列，然后是第3个字母，第4个字母……所谓“字典排列法”，就是指在枚举时，像字典里的单词顺序那样排列出所有答案．例如，用1、2、3各一次可以组成多少个不同的三位数？用字典排列法枚举时，每个位置都按从小到大排列，枚举的顺序是：123，132，213，231，312，321．下面我们用字典排列法来解决几个问题．

1. 卡莉娅、墨莫、小高三个人去游乐园玩，三人在藏宝屋中一共发现了5件宝物，三人找到的宝物数量共有多少种不同的可能？（可能有人没有发现宝物）

分析：每个人最少找到几件宝物？最多呢？

练习：

1. 老师准备了6个笔记本奖励萱萱、小高和墨莫三人，每人至少得到1本笔记本，请问：老师有多少种不同的奖励方法？

2. 老师要求每个同学写出3个自然数，并且要求这3个数的和是8．如果两个同学写出的3个自然数相同，只是顺序不一样，则算是同一种写法．试问：同学们最多能得出多少种不同的写法？

分析：注意顺序不同算一种写法，也就是三个数分别为（1、2、5）、（2、5、1）和（5、1、2）都算同一种写法．

练习：

2. 三个大于0的整数之和（数与数可以相同）等于10，共有多少组这样的三个数？

用字典排序法枚举的时候，判断题目要求到底是“交换顺序后算作两种”还是“交换顺序后仍然是同一种”非常关键．往往题目中要求“交换顺序后仍然是同一种”，那么枚举的每个结果里就没有明确的顺序关系；反之，那么枚举时要注意每个结果中应该都符合一定的顺序关系．

在求解计数问题时，审题非常关键．往往一字之差就会有天壤之别．

枚举法是解决计数问题的基础，但是对于比较复杂的问题，如果直接枚举很容易出现重复或者遗漏．这时就需要预先把所有情形分成若干小类，针对每一小类进行枚举．

例题3

如下图所示，有7个按键，上面分别写着：1、2、3、4、5、6、7这七个数字．请问：

（1）从中选出2个按键，使它们上面的数字的差等于2，一共有多少种选法？

（2）从中选出2个按键，使它们上面的数字的和大于9，一共有多少种选法？

分析：第二问中的和大于9是什么意思？也就是最小等于10，那最大又是多少？和共有几种可能？

练习3

有一次，著名的探险家大米得到一个宝箱，但是宝箱有密码锁，密码锁下边有一行小字：密码是和大于11的两个数，而且这两个数不能相同．不用考虑数的先后顺序，你知道密码共有多少种可能吗？

例题4

数一数下图中包含星星的长方形（包括正方形）有多少个？

分析：含星星的长方形会由几个小方格组成呢？我们可以依据长方形的种类进行分类．

练习4

数一数下图中包含星星的正方形有多少个？

在分类时，一定注意类与类之间有没有重复的部分，或者还有没有漏掉的情况．只有在分类已经做到“不重不漏”的前提下，才能够进行进一步的枚举．

例题5

妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止．如果天数不限．可能的吃法一共有多少种？

分析：虽然题目对天数没有限制，但要求每天至少吃2个．照此推算，最多能吃几天？

例题6

午餐的时候，食堂为同学们准备了苹果、桃子和桔子三种水果，每种都有很多．东东想要挑3个水果吃．请问东东有多少种不同的选法？

分析：仔细审题，挑的3个水果能不能是同种的水果？若要分类枚举，应该如何分类呢？

作业

1. 有4支完全相同的铅笔要分给3位同学，每位同学至少分1支，共有多少种不同的分法？

2. 有面值分别为1元、10元和50元的纸币若干，每种面值的纸币张数都大于3．如果从中任取3张，那么能组成的钱数共有多少种？

3. 老师要求墨莫写4篇作文，题目不限，但是每天至少写1篇．那么墨莫完成这些作文共有多少种不同的可能？

4. 爷爷要墨莫多吃水果，于是给了他8个苹果，要求每天至少吃2个，吃完为止．那么墨莫一共有多少不同的吃法？

5. 体育馆里有很多足球和篮球，体育老师要小高从里面拿4个，请问小高有多少种不同的选择？