【319453】【课本】三年级(上)第02讲 枚举法中的字典排列
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基础例题:
在上一讲中我们学习了简单的枚举法——直接把所有情况一一列举出来.但如果问题较为复杂,直接枚举很有可能产生重复或者遗漏,这时就需要有一些特别的方法来帮助我们枚举出所有情况.本讲就主要介绍两种枚举的方法:字典排列法和树形图法.
同学们可以翻一下英汉字典,不难发现字典中单词排列的规律:整本字典按首字母从a到z排列,首字母相同的单词都在一起.在首字母相同的单词中,再按照第2个字母从a到z的顺序排列,然后是第3个字母,第4个字母……所谓“字典排列法”,就是指在枚举时,像字典里的单词顺序那样排列出所有答案.例如,用1、2、3各一次可以组成多少个不同的三位数?用字典排列法枚举时,每个位置都按从小到大排列,枚举的顺序是:123,132,213,231,312,321.下面我们用字典排列法来解决几个问题.
卡莉娅、墨莫、小高三个人去游乐园玩,三人在藏宝屋中一共发现了5件宝物,三人找到的宝物数量共有多少种不同的可能?(可能有人没有发现宝物)
分析:每个人最少找到几件宝物?最多呢?
练习:
老师准备了6个笔记本奖励萱萱、小高和墨莫三人,每人至少得到1本笔记本,请问:老师有多少种不同的奖励方法?
老师要求每个同学写出3个自然数,并且要求这3个数的和是8.如果两个同学写出的3个自然数相同,只是顺序不一样,则算是同一种写法.试问:同学们最多能得出多少种不同的写法?
分析:注意顺序不同算一种写法,也就是三个数分别为(1、2、5)、(2、5、1)和(5、1、2)都算同一种写法.
练习:
三个大于0的整数之和(数与数可以相同)等于10,共有多少组这样的三个数?
用字典排序法枚举的时候,判断题目要求到底是“交换顺序后算作两种”还是“交换顺序后仍然是同一种”非常关键.往往题目中要求“交换顺序后仍然是同一种”,那么枚举的每个结果里就没有明确的顺序关系;反之,那么枚举时要注意每个结果中应该都符合一定的顺序关系.
在求解计数问题时,审题非常关键.往往一字之差就会有天壤之别.
枚举法是解决计数问题的基础,但是对于比较复杂的问题,如果直接枚举很容易出现重复或者遗漏.这时就需要预先把所有情形分成若干小类,针对每一小类进行枚举.
例题3
如下图所示,有7个按键,上面分别写着:1、2、3、4、5、6、7这七个数字.请问:
(1)从中选出2个按键,使它们上面的数字的差等于2,一共有多少种选法?
(2)从中选出2个按键,使它们上面的数字的和大于9,一共有多少种选法?
分析:第二问中的和大于9是什么意思?也就是最小等于10,那最大又是多少?和共有几种可能?
练习3
有一次,著名的探险家大米得到一个宝箱,但是宝箱有密码锁,密码锁下边有一行小字:密码是和大于11的两个数,而且这两个数不能相同.不用考虑数的先后顺序,你知道密码共有多少种可能吗?
例题4
数一数下图中包含星星的长方形(包括正方形)有多少个?
分析:含星星的长方形会由几个小方格组成呢?我们可以依据长方形的种类进行分类.
练习4
数一数下图中包含星星的正方形有多少个?
在分类时,一定注意类与类之间有没有重复的部分,或者还有没有漏掉的情况.只有在分类已经做到“不重不漏”的前提下,才能够进行进一步的枚举.
例题5
妈妈买来7个鸡蛋,每天至少吃2个,吃完为止.如果天数不限.可能的吃法一共有多少种?
分析:虽然题目对天数没有限制,但要求每天至少吃2个.照此推算,最多能吃几天?
例题6
午餐的时候,食堂为同学们准备了苹果、桃子和桔子三种水果,每种都有很多.东东想要挑3个水果吃.请问东东有多少种不同的选法?
分析:仔细审题,挑的3个水果能不能是同种的水果?若要分类枚举,应该如何分类呢?
作业
有4支完全相同的铅笔要分给3位同学,每位同学至少分1支,共有多少种不同的分法?
有面值分别为1元、10元和50元的纸币若干,每种面值的纸币张数都大于3.如果从中任取3张,那么能组成的钱数共有多少种?
老师要求墨莫写4篇作文,题目不限,但是每天至少写1篇.那么墨莫完成这些作文共有多少种不同的可能?
爷爷要墨莫多吃水果,于是给了他8个苹果,要求每天至少吃2个,吃完为止.那么墨莫一共有多少不同的吃法?
体育馆里有很多足球和篮球,体育老师要小高从里面拿4个,请问小高有多少种不同的选择?
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