【323390】2023八年级数学上册 第一章 勾股定理1.1 探索勾股定理同步练习(新版)北师大版
1 探索勾股定理
在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗?
它的意思是说:如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位,那么它的斜边的长一定是5个长度单位,而且3、4、5这三个数有这样的关系:32+42=52.
(1)请你动动脑筋,能否验证这个事实呢?该如何考虑呢?
(2)请你观察下列图形,直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7,BC=4,请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72?
一、选择题:
1. 下列说法正确的是( )
A.若 a、b、c是△ABC的三边,则a2+b2=c2
B.若 a、b、c是Rt△ABC的三边,则a2+b2=c2
C.若
a、b、c是Rt△ABC的三边,
,则a2+b2=c2
D.若
a、b、c是Rt△ABC的三边,
,则a2+b2=c2
2.
△ABC的三条边长分别是
、
、
,则下列各式成立的是( )
A.
B.
C.
D.
3.一个直角三角形中,两直角边长分别为3和4,下列说法正确的是( )
A.斜边长为25 B.三角形周长为25
C.斜边长为5 D.三角形面积为20
二、填空题:
4.在
中,
,
(1)如果a=3,b=4,则c= ;
(2)如果a=6,b=8,则c= ;
(
3)如果a=5,b=12,则c= ;
(4) 如果a=15,b=20,则c= .
5.如图,三个正方形中的两个的面积S1=25,S2=144,则另一个的面积S3为________.
三、解答题:
6
.利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形,这个图形被称为弦图.观察图形,验证:c2=a2+b2.
7.下面是数学课堂的一个学习片段, 阅读后, 请回答下面的问题:
学习勾股定理有关内容后, 张老师请同学们交流讨论这样一个问题: “已知直角三角形ABC的两边长分别为3和4, 请你求出第三边.”
同学们经片刻的思考与交流后,
李明同学举手说:
“第三边长是5”;
王华同学说:
“第三边长是
.”
还有一些同学也提出了不同的看法……
(1)假如你也在课堂上, 你的意见如何? 为什么?
(2)通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受? (用一句话表示)
1.1.2 探索勾股定理
一.填空题
(1)某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏,现在要在相对角的顶点间加固一条木板,则木板的长应取米.
(2)有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼,其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行,另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行,它们离开港口一个半小时后相距海里.
(3)如图1:隔湖有两点A、B,为了测得A、B两点间的距离,从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C,若测得CA=50 m,CB=40 m,那么A、B两点间的距离是_________.
图1
二、解答题:
1.已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm和10 cm,求这个三角形的面积.
2.在△ABC中,∠C=90°,AC=2.1 cm,BC=2.8 cm
(1)求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长.
(2)求斜边被分成的两部分AD和BD的长.
3
.如图2:要修建一个育苗棚,棚高h=1.8
m,棚宽a=2.4
m,棚的长为12
m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜,试求需要多少平方米塑料薄膜?
4
.如图3,已知长方形ABCD中AB=8
cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E,将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F,求CE的长.
1.1.1参考答案:
一、选择题:1.D 2.B 3.C
二、填空题:4.5;
10; 13; 25
5.169
三、解答题:6.中空正方形的面积为
,也可表示为
,∴
=
,整理得
.
7.(1)分两种情况:当4为直角边长时,第三边长为5;当4为斜边长时,第三边长为
.(2)略
1.1.2参考答案
一、填空题:
1.(1)2.5 (2)30 (3)30米
二、解答题:
1
.如图:等边△ABC中BC=12
cm,AB=AC=10
cm
作AD⊥BC,垂足为D,则D为BC中点,BD=CD=6 cm
在Rt△ABD中,AD2=AB2-BD2=102-62=64
∴AD=8 cm
∴S△ABD=
BC·AD=
×12×8=48(cm2)
2
.解:(1)∵△ABC中,∠C=90°,AC=2.1
cm,BC=2.8
cm
∴AB2=AC2+BC2=2.12+2.82=12.25
∴AB=3.5 cm
∵S△ABC=
AC·BC=
AB·CD
∴AC·BC=AB·CD
∴CD=
=
=1.68(cm)
(2)在Rt△ACD中,由勾股定理得:
AD2+CD2=AC2
∴AD2=AC2-CD2=2.12-1.682
=(2.1+1.68)(2.1-1.68)
=3.78×0.42=2×1.89×2×0.21
=22×9×0.21×0.21
∴AD=2×3×0.21=1.26(cm)
∴BD=AB-AD=3.5-1.26=2.24(cm)
3.解:在直角三角形中,由勾股定理可得:直角三角形的斜边长为3 m,所以矩形塑料薄膜的面积是:3×12=36(m2)
4.解:根据题意得:Rt△ADE≌Rt△AEF
∴∠AFE=90°,AF=10 cm,EF=DE
设CE=x cm,则DE=EF=CD-CE=8-x
在Rt△ABF中由勾股定理得:
AB2+BF2=AF2,即82+BF2=102,
∴BF=6 cm
∴CF=BC-BF=10-6=4(cm)
在Rt△ECF中由勾股定理可得:
EF2=CE2+CF2,即(8-x)2=x2+42
∴64-16x+x2=x2+16
∴x=3(cm),即CE=3 cm
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