【323390】2023八年级数学上册 第一章 勾股定理1.1 探索勾股定理同步练习（新版）北师大版

1 探索勾股定理　

在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？

它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：3²+4²=5².

（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？

（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于4²+7²？

一、选择题：

1. 下列说法正确的是（　　）

A.若 a、b、c是△ABC的三边，则a²＋b²＝c²

B.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a²＋b²＝c²

C.若 a、b、c是Rt△ABC的三边， ，则a²＋b²＝c²

D.若 a、b、c是Rt△ABC的三边， ，则a²＋b²＝c²

2. △ABC的三条边长分别是 、 、 ，则下列各式成立的是（　　）

A． B. 　　　

C. 　　　D.

3．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）

A．斜边长为25 B．三角形周长为25

C．斜边长为5 D．三角形面积为20

二、填空题：

4．在 中， ，

（1）如果a=3，b=4，则c=　　　　；

（2）如果a=6，b=8，则c=　　　　；

（ 3）如果a=5，b=12，则c=　　　　；

(4) 如果a=15，b=20，则c=　　　　.

5．如图,三个正方形中的两个的面积S₁＝25，S₂＝144，则另一个的面积S₃为________．

三、解答题：

6 ．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．观察图形，验证：c²＝a²＋b²_.

7．下面是数学课堂的一个学习片段, 阅读后, 请回答下面的问题:

学习勾股定理有关内容后, 张老师请同学们交流讨论这样一个问题: “已知直角三角形ABC的两边长分别为3和4, 请你求出第三边.”

同学们经片刻的思考与交流后, 李明同学举手说: “第三边长是5”; 王华同学说: “第三边长是 .” 还有一些同学也提出了不同的看法……

（1）假如你也在课堂上, 你的意见如何? 为什么?

（2）通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受? (用一句话表示)

1.1.2　探索勾股定理

一.填空题

(1)某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应取米.

(2)有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行，另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距海里.

(3)如图1：隔湖有两点A、B，为了测得A、B两点间的距离，从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C，若测得CA=50 m,CB=40 m，那么A、B两点间的距离是_________.

图1

二、解答题：

1.已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm和10 cm，求这个三角形的面积.

2.在△ABC中，∠C=90°,AC=2.1 cm,BC=2.8 cm

（1）求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长.

（2）求斜边被分成的两部分AD和BD的长.

3 .如图2：要修建一个育苗棚，棚高h=1.8 m,棚宽a=2.4 m,棚的长为12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？

4 .如图3，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.

1．1．1参考答案：

一、选择题：1.D 2.B 3.C

二、填空题：4.5; 10; 13; 25 5.169 三、解答题：6.中空正方形的面积为 ，也可表示为 ，∴ = ，整理得 . 7.（1）分两种情况:当4为直角边长时，第三边长为5；当4为斜边长时，第三边长为 .（2）略

1．1．2参考答案

一、填空题：

1.(1)2.5 (2)30 (3)30米

二、解答题：

1 .如图：等边△ABC中BC=12 cm，AB=AC=10 cm

作AD⊥BC，垂足为D，则D为BC中点，BD=CD=6 cm

在Rt△ABD中，AD²=AB²－BD²=10²－6²=64

∴AD=8 cm

∴S_△ABD= BC·AD= ×12×8=48(cm²)

2 .解：(1)∵△ABC中，∠C=90°，AC=2.1 cm，BC=2.8 cm

∴AB²=AC²+BC²=2.1²+2.8²=12.25

∴AB=3.5 cm

∵S_△ABC= AC·BC= AB·CD

∴AC·BC=AB·CD

∴CD= = =1.68(cm)

(2)在Rt△ACD中，由勾股定理得：

AD²+CD²=AC²

∴AD²=AC²－CD²=2.1²－1.68²

=(2.1+1.68)(2.1－1.68)

=3.78×0.42=2×1.89×2×0.21

=2²×9×0.21×0.21

∴AD=2×3×0.21=1.26(cm)

∴BD=AB－AD=3.5－1.26=2.24(cm)

3.解：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为3 m,所以矩形塑料薄膜的面积是：3×12=36(m²)

4.解：根据题意得：Rt△ADE≌Rt△AEF

∴∠AFE=90°,AF=10 cm,EF=DE

设CE=x cm，则DE=EF=CD－CE=8－x

在Rt△ABF中由勾股定理得：

AB²+BF²=AF²，即8²+BF²=10²，

∴BF=6 cm

∴CF=BC－BF=10－6=4(cm)

在Rt△ECF中由勾股定理可得：

EF²=CE²+CF²，即(8－x)²=x²+4²

∴64－16x+x²=x²+16

∴x=3(cm),即CE=3 cm