9．2　分式的运算

1．分式的乘除

1．理解并掌握分式的乘除法运算法则，能运用其进行运算并解决实际问题；(重点)

2．理解并掌握分式的乘方运算法则，分清乘方、乘除的运算顺序，能够解决分式的乘除、乘方的混合运算．(重点、难点)　　　　　　　　　　　　　　　　　

一、情境导入

观察下列运算：

×＝，×＝，

÷＝×＝，÷＝×＝.

以上是以前学习的分数的乘法与除法，分数乘法与除法的运算法则分别是什么？

今天我们仿照分数的乘除来研究分式的乘除．

二、合作探究

探究点一：分式的乘除

【类型一】 利用分式的乘法法则进行计算

计算：

(1)·；

(2)·.

解析：找出公因式，然后进行约分，约分时能分解因式的先分解因式．

解：(1)·＝－＝－＝－；

(2)·＝·＝·＝－.

方法总结：分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运算，其运算步骤为：(1)符号运算；(2)按分式的乘法法则运算；(3)各分式中的分子、分母都是多项式时，先因式分解，再约分．

【类型二】 利用分式的除法法则进行计算

计算：

(1)－3xy÷； (2)(xy－x²)÷.

解析：先将除法变为乘法，再利用分式的乘法法则进行运算，做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，再约分．

解：(1)－3xy÷＝－3xy·＝－；

(2)(xy－x²)÷＝(xy－x²)·＝－x(x－y)·＝－x²y.

方法总结：确定商的符号，再把除式的分子、分母的位置颠倒与被除式相乘．

【类型三】 分式的乘除混合运算

计算：·÷.

解析：先将除法变为乘法，再根据分式的乘法运算法则进行运算．

解：原式＝··＝(a－2)(a＋1)＝a²－a－2.

方法总结：分式乘除混合运算要注意以下几点：(1)利用分式除法法则把除法变成乘法；(2)进行约分，计算出结果．特别提醒：分式运算的最后结果是最简分式或整式．

【类型四】 分式的化简求值

先化简，再求值：

(1)·，其中x＝，y＝；

(2)÷，其中x＝＋1.

解析：(1)利用分式的乘法法则进行计算化简．(2)将除法转化为乘法后约分化简，然后代入求值．

解：(1)原式＝·＝，当x＝，y＝时，原式＝24；

(2)原式＝·＝·＝x－1，当x＝＋1时，原式＝.

方法总结：根据分式乘除法法则将代数式进行计算化简，再代入求值．

探究点二：分式的乘方

【类型一】 分式的乘方运算

下列运算结果不正确的是(　　)

A．()²＝()²＝

B．[－()²]³＝－()⁶＝－

C．[]³＝()³＝

D．(－)ⁿ＝

解析：A、B、C计算都正确；D中(－)ⁿ＝(－1)ⁿ，原题计算错误．故选D.

方法总结：分式的乘方就是分子、分母分别乘方，最后化为最简分式．

【类型二】 分式的乘除、乘方混合运算

计算：

(1)(－)²·(－)³·(－)⁴；

(2)÷()²·.

解析：(1)先算乘方，然后约分化简，注意符号；(2)先算乘方，再将除法转换为乘法，把分子、分母分解因式，再进行约分化简．

解：(1)原式＝·(－)·＝－；

(2)原式＝··＝.

方法总结：进行分式的乘除、乘方混合运算时，要严格按照运算顺序进行运算．先算乘方，再算乘除．注意结果一定要化成一个整式或最简分式的形式．

三、板书设计

1．分式的乘除法则

两个分式相乘，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母．两个分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．

2．分式的乘方法则

分式的乘方就是把分子、分母分别乘方．即()ⁿ＝(ab^－1)ⁿ＝aⁿ·b^－n＝.

本节是从分数的乘除法则的角度引导学生通过观察、探究、归纳总结出分式的乘除法则．采用这种温故知新的做法不仅有利于学生接受新知识，而且能体现由数到式的发展过程．通过回忆乘法的定义，结合分式的乘除法进行练习，这样不仅加深了学生对知识的理解和记忆，而且锻炼了他们的数学表达能力，为以后的学习打下基础