8．3　完全平方公式与平方差公式

第1课时　完全平方公式

1．能根据多项式的乘法推导出完全平方公式；(重点)

2．理解并掌握完全平方公式，并能进行计算．(重点、难点)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

一、情境导入

计算：

(1)(x＋1)^2; (2)(x－1)²；

(3)(a＋b)^2; (4)(a－b)².

由上述计算，你发现了什么结论？

二、合作探究

探究点：完全平方公式

【类型一】 直接运用完全平方公式进行计算

利用完全平方公式计算：

(1)(5－a)²；

(2)(－3m－4n)²；

(3)(－3a＋b)².

解析：直接运用完全平方公式进行计算即可．

解：(1)(5－a)²＝25－10a＋a²；

(2)(－3m－4n)²＝9m²＋24mn＋16n²；

(3)(－3a＋b)²＝9a²－6ab＋b².

方法总结：完全平方公式：(a±b)²＝a²±2ab＋b².可巧记为“首平方，末平方，首末两倍中间放”．

【类型二】 构造完全平方式

如果36x²＋(m＋1)xy＋25y²是一个完全平方式，求m的值．

解析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m的值．

解：∵36x²＋(m＋1)xy＋25y²＝(6x)²＋(m＋1)xy＋(5y)²，∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，∴m＋1＝±60，∴m＝59或－61.

方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．

【类型三】 运用完全平方公式进行简便计算

利用完全平方公式计算：

(1)99^2; (2)102².

解析：(1)把99写成(100－1)的形式，然后利用完全平方公式展开计算．(2)可把102分成100＋2，然后根据完全平方公式计算．

解：(1)99²＝(100－1)²＝100²－2×100＋1²＝10000－200＋1＝9801；

(2)102²＝(100＋2)²＝100²＋2×100×2＋4＝10404.

方法总结：利用完全平方公式计算一个数的平方时，先把这个数写成整十或整百的数与另一个数的和或差，然后根据完全平方公式展开计算．

【类型四】 灵活运用完全平方公式求代数式的值

若(x＋y)²＝9，且(x－y)²＝1.

(1)求＋的值；

(2)求(x²＋1)(y²＋1)的值．

解析：(1)先去括号，再整体代入即可求出答案；(2)先变形，再整体代入，即可求出答案．

解：(1)∵(x＋y)²＝9，(x－y)²＝1，∴x²＋2xy＋y²＝9，x²－2xy＋y²＝1，4xy＝9－1＝8，∴xy＝2，∴＋＝＝＝＝；

(2)∵(x＋y)²＝9，xy＝2，∴(x²＋1)(y²＋1)＝x²y²＋y²＋x²＋1＝x²y²＋(x＋y)²－2xy＋1＝2²＋9－2×2＋1＝10.

方法总结：所求的展开式中都含有xy或x＋y时，我们可以把它们看作一个整体代入到需要求值的代数式中，整体求解．

【类型五】 完全平方公式的几何背景

我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a＋b)²－(a－b)²＝4ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是(　　)

A．a²－b²＝(a＋b)(a－b)

B．(a－b)(a＋2b)＝a²＋ab－2b²

C．(a－b)²＝a²－2ab＋b²

D．(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²

解析：空白部分的面积为(a－b)²，还可以表示为a²－2ab＋b²，所以，此等式是(a－b)²＝a²－2ab＋b².故选C.

方法总结：通过几何图形面积之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．

【类型六】 与完全平方公式有关的探究问题

下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如(a＋b)ⁿ(n为正整数)展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出(a＋b)⁶展开式中所缺的系数．

(a＋b)¹＝a＋b，

(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²，

(a＋b)³＝a³＋3a²b＋3ab²＋b³，

则(a＋b)⁶＝a⁶＋6a⁵b＋15a⁴b²＋________a³b³＋15a²b⁴＋6ab⁵＋b⁶.

解析：由(a＋b)¹＝a＋b，(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²，(a＋b)³＝a³＋3a²b＋3ab²＋b³可得(a＋b)ⁿ的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于(a＋b)^n－1的相邻两个系数的和，由此可得(a＋b)⁴的各项系数依次为1、4、6、4、1；(a＋b)⁵的各项系数依次为1、5、10、10、5、1；因此(a＋b)⁶的系数分别为1、6、15、20、15、6、1，故填20.

方法总结：对于规律探究题，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．

三、板书设计

1．完全平方公式

两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．

(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²；(a－b)²＝a²－2ab＋b².

2．完全平方公式的运用

本节课通过多项式乘法推导出完全平方公式，让学生自己总结出完全平方公式的特征，注意不要出现如下错误：(a＋b)²＝a²＋b²，(a－b)²＝a²－b².为帮助学生记忆完全平方公式，可采用如下口诀：首平方，尾平方，乘积两倍在中央．教学中，教师可通过判断正误等习题强化学生对完全平方公式的理解记忆