【331246】23.2 解直角三角形及其应用（第3课时）

第3课时　解直角三角形及其应用（3）

【学习目标】

使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．

【学习重点】

要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．

【学习难点】

方位角的辨别和使用．

旧知回顾：

方位角：指北或指南方向与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫方位角．如图中的目标方向线OA、OB、OC、OD的方向角分别表示北偏东60°，南偏东45°(或东南方向)，南偏西80°及北偏西30°.

基础知识梳理

例：(1)如图，小红从A地向北偏东30°方向走100m到B地，再从B地向西走200m到C地，这时小红距A地(　B　)

A．150m　　　　B．100m　　　　C．100m　　　　D．50m

（第(1)题图) （第(2)题图) （第(3)题图)

(2)如图，C、D是两个村庄，分别位于一个湖的南、北两端A和B的正东方向上，且D位于C的北偏东30°方向上，CD＝6km，则AB＝3km.

(3)如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B处，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中，距灯塔S的最近距离是6海里．

例：如图所示，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上．该货船航行30分钟后到达B处，此时又测得该岛在北偏东30°方向上，已知在岛C周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．

解：过C作CD⊥AB于点D.由题意可知：AB＝24×＝12，∠CAB＝90°－60°＝30°，∠CBD＝90°－30°＝60°.在Rt△BDC中，tan60°＝，∴BD＝CD.在Rt△ADC中，tan30°＝，∴AD＝CD.又AD＝AB＋BD，∴CD＝12＋CD，∴CD＝6＞9.∴若继续向正东方向航行，该货船没有触礁危险．

例：已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向，且其到A观测点正北方向的距离BD的长为16km，一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC方向航行，15min后达到C处，现测得C处位于A观测点北偏东79.8°方向，求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长(精确到0.1km)．(参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50，≈1.41，≈2.24)

解：过B作BH⊥AC交AC延长线于H.在Rt△ABD中，sin∠DAB＝，AB＝≈20.在Rt△ABH中，∠BAH＝79.8°－53.2°＝26.6°，tan∠BAH＝，tan26.6°＝≈，∴AH＝2BH.由BH²＋AH²＝AB²＝20²得BH＝4(取正值)、AH＝8.在Rt△BCH中，BC＝40×＝10，CH＝＝2.故AC＝AH－CH＝8－2＝6≈13.4(km)

变式：如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确到0.01海里)?

解：如图，在Rt△APC中，PC＝PA·cos(90°－65°)＝80×cos25°≈72.505.在Rt△BPC中，∠B＝34°，∵sinB＝，∴PB＝＝≈129.66.因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约129.66海里．

基础知识训练

1．上午8时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，8时30分到达B处(如图所示)，从A、B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么在B处船与小岛M的距离为(　B　)

A．20海里 B．20海里

C．15海里 D．20海里

2．一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为(　D　)

A．10海里/小时 B．30海里/小时

C．20海里/小时 D．30海里/小时

本课内容反思

1．收获：________________________________________________________________________

2．困惑：________________________________________________________________________